Optimaliseren en systeemanalyse in de scheepsbouw en scheepvaart. Deel A: Statisch optimaliseren Deel B: Dynamisch optimaliseren

Dr. C. de Wit

Collegedictaat a165

-

1974/75

o oeC12

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT

ONDERAFDELING DER SCHEEPSBOUWKUNDE

L.bomn

s-Milislwsg Z 2028 CD DeM

1IO15-7bee73. Faic O1678183e

Cptimalisering en Systeemanalyse in

Scheepsbouw en Scheepvaart

(A: Statisch Optimaliseren)

TECHNISCBE HOGE SCHOOL DELFT

Onderafdeling der

SC HE E PS B OUWK UN DE

Optimalisering en Systeemanalyse in Soheepabouw en Soheepvaart,

(A: Statisch Optirnaliaeren)

do o r

Dr. C. de Wit

-1-h4pvye,.

Bis. $

i. _{Introduotie van hat begrip "Optimaliseren". Enig.}

8ideu. :

4 1.1. Itatleoh eu D3rnanieoh Optimaliseren.

4

1,2. Toorbesiden van etatieohe

_{optimalis.rizgsprobls*.n.}

₆

1,2.1. Conatriacti. v-an eon aluminium luikdksi

met miniia1 gewicht. ₆

1.2.2. Bepalin _{van do afmetingen ven e.0}

_.oh..ps

*gchroef mt maxinaal rendeLent.

7

1.2.3. }iinimalieering van de vaartwe.rstand

van .n.sohip.

_$

1.2.4. Minimalicring van de bouwkoatsu

van ein sohi.

₉

1,3. Voorbeeldon van dynwieche _{optimaliaeringsproble*en. 10}

1.3.1. Optiriaal nazioouvreren t eon echip in ..n

nauw vaarweter.

_io

1.3.2.

Optimale koereverandering van eon sohip. ₁₀

1.3.3. TiJd-optimale metaorologiach.

navigati,

10

2,

_{Statisch Optima.ieeren.}

11 2.0. _{nig. notatiea en definitiee.}

11

2.1. Minimalisering van funotiee _{zond.r b.perkingen.}

Nadiga en v"1d.oende 'voorvaardsn _{loor ein leosal}

*iAi3ma1p11nt.

13

2.1.1..

Voorbeald van eau funotie,

_{waarvoor gun}

expliciete analytisohi

vorm

bested.

₁₅

2.2. Nuurieke methoden voor bepaling van

_e.0

_{vn) looaal}

inikumpunt.

17

2.2.1, De gericht. _{oekaethoúe van Hook.}

_{en Jeivs.}

17

2.2.2. Kwa&rati,oh convergent. _{m.thod.. van Powell.}

22

2.2.3. De anti-gnadiut- of

_{at.ilate d.a.lingsaethod..}

₂₈

2.2.4. Geconjugeerde gradinta.thod..

₃₀

2.3, Minimalieering van funotie _{met beperking.n.}

34

2.3.1

_{Ong.lfjkh.idsbeperkingon. Kuhn-T*ck.r}

voorwsardn.

34

2.3,2. GeijJkh.idioond.itiss,

36 2,4.

V.zw.rking van ongelijkheidaconditiee

_{door *idd.i}

van etraffuncties.

37

2.4.1, latrednotie met eon _{ndiLsnsionaal voorbs.ld..}

37

2.4.2.

Algenene gtraffunctieaithde,

39

2.4.5. Num.ni.ke _aepect.u. 41

2.4.4. Inwandige

_{otraffunoti.e.}

42

2.5,

Xiniaaiisening van funotiea _onder

_{li%air. ongs]4jk}

-h.its- en/of

_{gulj1ch.idebepenkingsn.}

43

2.6. Ret zeken

_{van eon good. atartpiint.}

44

2.7. Vraagetukken,

46

Literatuinl ijet.

tatisch

Optimaìiseren

-k-1. Introductie van het begrip 'Cptima1iseren. Enige

concrete voorbeelderi.

1.1. Statisch en Dynamische Optimaliseren.

Vrij algemeen en ook bu problemen, die nauw aan de Scbeepsbouw- en Scheepvaartkunde zijn gerelateerd

kan men een optimaliseringaprobleem stellen, ale

een technisch constructie- of besturingsprobleem

meer--dere oplossingen toelaat.

Bij een constructieprobleem kan men vaak een

aan--tal variabelen x1,...,x binnen zekere grenzen vrij

kiezen. Kiest men nu een reelwaardige, van onderen begrensda functie1van die variabelen - voor zo'n f

wordt meestal een kosten of verliesfunctie geriomen -dan kan men als optirnaliseringsprobleem stellen:

"Kies de variabelen x t/m x binnen de vanuit

I n

de techniek volgende grenzen zo, dat f(x1,...x) minimaal wordt,"

Hen noemt dit "Statisch Optimaliseren".

Bij besturingsproblemen ugt de zaak duidelujk

anders. Men heeft in zo'n geval te maken met een

nan--tal fase- of toestandsvariabelen, die met de ttjd

ver--anderlijk zjnz x1(t) t/m x(t). Deze variabelen

veran--deren met de tijd ali. gevoig van

de waarde, die ze op elk moment hebben en t.g.v. de waarde van buitenaf op het systeem werkende ingangsgrootbeden u1(t) t/m um(t) Bovendien kan dit

drnamische gedrag nog expliciet van de tijd afhangen.

Er geldt due

= f(x(t)u(t),t) ,

i = l(1)n

fu1t\

met _{x(t) =(} : _J en u(t)

=f

tx(t))

I3ij zo'n dynamisch systeem is het vaak mogeltjk,

de fasevector x(t) vanaf een zekere toestand x op tijd to op meer dan n manier over te brengen naar de

toestand X1 gp ttjd t1. Dit kan dan door goede keuze van de stuurva: jabelen u1(t) t/m Um(t) voor t E [t,t1).

Zi.i er meerdero besturings.-vectoríunctiea u , die hot Byeteei van x(t0) = naar x(tf) X

kunnn

breiigen, dan

i8

bet zinvol, een naar beneden egrened.

werliesfunctie L te definigran, werkend op x(t),

op u(t) en eventueel op t zeit:

Men beschouwt nu binnen die klasse van toelaatbare

stiaurfuncties u de daarbij behorende waardo van de

into--graal 1(u)

_{rL(X(),U(),)d}

, (r.l

o

da zogeheten "objectfunctionaal".

Deze untegraa]. heeft,

gezien de eerdere

beeturinge--mogelijkheden, ook meerdere waarden, waarbij uiteraard 1(u) L0.(t -

t0)

Hot dynamische optima1iserungaprobiee kan nia

gesteld worden ale:

Breng x(t) vanuit x(t0) = via

Et)

= f(x(t),u(t),t)

door keuze van u zodanig naar _{x(tf) = Xf}

dat daarbtj t

IL((t),u(t),t)dt

o

ntinimaal wordt.'

Lit.z O.I,!lger. _{Control Systems Theory, Ch. IO & il,}

6

1.2. Voorbeelden van statische optimaliseringaproblemen.

1.2.1. Constructie van een aluminium luikdeksel met rninimaal gewicht.

()warsdoorsnede), t1

10, b en t zjn geReven, h en tf zijn "vrij te kiezen.

Als

de keuze van aluminium als materiaal vast ugt, is het gewicht van zo'n luik recht evenredig

met F(tf,h) =

2 th

+ 2bt h + l2Otf tr zjn bepanide restricties.

(1) De vervorrningsspanning t, gelijk aan 1800/h , mag

niet groter

zíjn

dan sen bepaalde waarde 1f50 Dit betekent dus dat h + _cm

De

_{buigsparining Ç}

= Lf50O/(th) , mag sen bepaalde waarde

T

niet overschrijden. Dit betekent dat

b,all

tfh ? 6.k286

ifet buigmoment moet kleiner blijven

dan

het knikmoment. Dit betekent zovee]. als

c7 _7OOt

=

Ç d.w.z.

fh . 2

(k) Tenslotte is er een aximaa1 toelaaitbare doorbuiging,

e1ijk aan Kl = 1.5 cm. De doorbuiging bedraagt

k81.71k28

-

tfh

Dit betekent dus, dat

_tJ12>

321.1k285

/

Triviaal voor de technicus, maar van belang voor de, niet zeif denkende rekenautomaat zjn voorts e feiten (5) tf ) O en (6) h O

Het probleem is dus:

Mini F(tf,h) = 120t1 h sub (i) h - k 0,

th -

.k28b ₃ O tjh - 6.k286 o (k) tfh2-32l.14285 O (5) t O , (6) h O

Dit probleem is ontleend aan een artikel van Moe & Lund: Cost and weight inimization of Structures with Emphasis

on Longitudinal 3trength i1embers of Tankers, in "De

-7-1.2.2. Bepaling van de afmetingen van een echeapsechroef

met iaxjmaa1 rendement,

BIJ dit probleem apelen de volgende grootheden een rol:

n : schroeftoerenta1

D : schroefdiameter,

A/A: bladopperviak in verhoading tot totale

cirkel--oppezvlak,

P : apoed van de achroef, P/D: spoedverhoudiflg,

intreer3nelheid van het water btj de echroef, : aantal achroefb1aden

T atuwkracht, Q : aekoppel,

vermogen, aan de eohroefaa toegevo.rd,

2 Qn ,

dichtbeid van hat water,

Hat door de achroef geleverde vermogen bedraagt TV

:'roefrendement

_TV/PD

J

enelìioidegraad

V/(nD).

Betekenia van J g

Na n echroefomwent.ling

i5 de afgelegde weg van

hat uitoinde van ecu achroefblad in de langscheepae richting t.o.v. bet aanatromende water _P

Due _Va nP waaruit voigt dat

Va/CAD)

JP/D

Ten aanzien van T en _Q geldt :

rn2D14KT

met Kz )cjjkJi(A./A)i(P/D)1c

i

,

j ,

k=O

n'

aiet KQ=

i,j,kO

Techniache reetrictiee:

Voor de bladoppervlakte-verhouding A0/A0 geldan maximale

waarden, ahanke1jk van z:

As/A (L(z)

_O.00875z5

o.i875k

₊

_l.55625z3

-

63375z2

+ 12.96e - 10

Verder

mag de schroef niet te veel caviteren. Volgens

Auf 'in Keller inoet daarom voldaan worden

aan

A

>

(1.3 + o.3z)T

K A

(po - e)D2

+

waarin P, e en K gegeven zjn.

Voor P/D geldt:

_-.

voor

z =

,3,4,5

P/D

i k

en

P/D )\

0.6

voor

z = 6,7

Btj optirnalisering van bet

schroefontwerp kan men

bj

voor--beeld uitgaan van

gegeven waarden voor z, D en T.

De gegeven waarde van T wordt genoteerd als

_Tr

Men kan nu het schroefrendeineflt maximaliseren. Voeren

we als variabelen in

J

,

_{X2 = Ae/Ao}

= P/D

dan luidt bet

prableem:

K(x1,x2,x3)

Kt(xi,x21x3).xi

sub

(1): x10

,

(2):

_x1

_<x3

(3):

X2

L(z)

,

(k):

(1.3 + O.3z)T

_{+ K}

(Po - e)D

(5):

x > 0.5 (z=2,3,k,5) (6):

_{x <1.4}

' 0.6 (z=6,') (7):

VD2Kt(xl,x2Ix3)/Ï

_{= T}

Dit procleem is

tot standaardprocedure utgewerkt door

J.G.L. fljfers in Rapport no. 10, Centrale

_erkgroep

Wiskunde, Onderafd.

cheepsbouwkunde, T.H.

Deift.

1.2.3. Minimalisering van de vaartweerstand

van

een schip.

Een rederij bestelt

_{een LASH-schip met}

_{dienstsnelheid}

18 mijl/uur. De

_{afinetingen van de}

laadruirnte liggen vast.

Men is nog

betrekkelìjk vrij

in bet kiezen

_{van de diverse}

scheepsafinetingen en scheepsvormparameters

_{zoals de}

lengte, de äiepgang,

_{de verhouding breedte}

grootspant/lengte,

de blok- en

_{groctspaiitcofficinten.}

Kiassieke vraag:

_{Wanne- is}

_{de, bj die 18}

_rnijlsvaart

be--horende weerstand in

_{stil en diep water}

_{winimaal ?}

Hvperrnoderne vraag:

_{Hinimaliseer eerst bet vaartverlies}

in golven van 6m

_{hoogte t.o.v. een vart van 18 mìjl/u}

in stil water. Beperk

_{de kans op paaltjes}

_{pikken in een}

vol ontwikkelde zee tot een minimum. Als er dan flog vrij

-heaen zijn,

minimaliseer

_{dan alanog de weerstand}

in

stil

1.2.4. Minimalisering van de bouwkoeten van eau ichip.

De bouwkosten Lb zijn een bekende functia van de

ocheepelengte i , de breedte b , de hoogte h en

de diepgang d ¿

Lb L(i,b,h,d)

Hetzelfde geldt voor hot draagvermogen Dv ende

laadruite

: Dv D(i,b,h,d) Ta _T(l,b,h,d).

Er is eon atandaardechip met lengte, breedte onz. ge11k aan le,, b0, d0, Lb0, Dv0 eu Ta0

Eon redar bastelt eau echip niet eau andere

waarde voor Dv on To. Gevraagd uordt nu, de variatiea

in hot stand.ard.modol ¿1, Lb, h en za aan te

brengen dat

(i) Lb niinimaa]. wordt,

(ji) de veraiste waarden van Dw en Ta worden bereikt on

(iii) de dwaroecheepie metaceuterhoogte binnen

bepaalde grenzen bltjft.

1.2.5. Optimale echatting van de echeepepoaitie.

Tar bepaling van de positio van eau achip in

volle z.e ziju eon n-tal (n _{3) oter'e hoogtametingen} verriaht _{et btjbehorende tdmeteraanw1jzingen. Van da}

hoogtemetingen zJn de varianties goechat.

Gegeven doze metingn en variantieschattingen

wordt gevraagd, de niseot waarschJn11jke etandplaate te

bepalen d.w.z. die positie, waarvoor de variantie mini--maa1 is.

10

-1.3. Voorbeelden van dynamische optirnaliseringsproblernen.

1.3.1. Optiinaal znanoeuvreren met een schip in een nauw vaarwater.

Van een schip is de schroefstuwkraht T als functie

van het schroeftoerental n0 bekend. Dit toerental n0

iordt via een

bekende

overdrachtsfunctie

bepaald door

een op

de brug in te

stellen re.ferentietoerental

Ook de overdracht van de stuwkracht T op de vaart van

hat schip is via een differentiaalvergelijking bekend.

Met dit schip wil men een bepaald traject

afleg--gen, b.v. van Hoek van

}olland naar de ingang

van de

Eemhaven.

1s minimaliseringscriterium kan men drbij

de t&jd, het

brandstofverbruik of

een gewogen

combinatie

vari deze groothederi kiezen. Het

probleem is nu, hoe men

als functie van t moet kiezen om aan de gestelde ein

te voldoen.

1.3.2, Optimale koersverandering van een schip.

Van een schip is de overdracht van de roerhoek

op de draaisnelheid r bekend, alsook de overdracht

van het roerhoeksighaal

L

op de roerhoek

Gevraagd wordt, dit schip in zo kort mogelijke tijd

vanaf een

zekere koers

naar een

andere koers te

brengen.

1.3.3. Tijd-optimale meteorologieche navigatie.

Van een schip is de maximale vaart als functie

van de aigniuicante golfhoogte en relatieve

golfrìch-.-ting bekend. Gegeven de meteorologische

omstandigheden

in eeri bepaald gebied wordt gevraagd, dit schip in

minimale tjd over de ocean te navigeren, b.v. van

11

2. ßtatiocb

optimaliere.

2.0. Enige notatiee

en deinitiee.

Kolom- en Aangezien in dit college met ectorenwordt gewerkt, rìjvectoren

waa"mee uatrixrekening wordt badreven, wordt ean vector x met kentallen X1 t/m x, opgevat ale can n*1-matrix:

/x '

(

:1)

= (x1

x)

e _{X heet} "kolom-'ti/ -veoti,r heet "rJvector".

De gotal1en X1 t/m X gjn daarbij eteeda rele

getaUen. Za geven eon nuneriek beeld van de sïtu--atie, waarin oen

bepaald aantal grootheden, tezamen

de eyeteemvector x vormend, zieh beviridt.

De n-vector X io due eaxi element vazi de rele

n-dimensionale vectorruimte R: X

E R.

Vaak worden vectoren zeif ook van eon

letter-of o1Îerindex voorzien. Daarbtj wordt afgeoprokon dat = (xlk,x2k,....xflk) , d.w.z. btj de

ken--tallen komt,de vectoindex op de tweede plaate.

BIj matrices kout de rj-index op de cerote en

de kolomindex op de tweede plaats:

A a11 s

.

e e s e

.

e

nl'

.

. a

nj)

(j° kolom)

Functi.

De realwaardige funotic f beeldt

zo'n vector

x af op de rele gota1lerirecte

:

f: x 6 R'.,r.i(x) £ R

.4

e

Gradient f(x) = f(x) = kolomvector met ala i kental

de partile afgeleide van f naar

Xj

in hot

Locaal

minimum--punt

ilobaal

rinimum--punt 12

-Hesse- V2f(x)

= H(x)

nan-matrix met op de e nj en in de matrix e kolom bet getal

i J

TJîtspraak: Hes8e-matrix van f in het punt x.

Norm De norm van een vector x wordt genoteerd als fix_It

_.

Hierbij gelden de volgende eigenschappen:

¡gxfl

.O

flx)J

= O dan

en slechts dan als x O

x

+

( qxfl +

It4Ik ki .HxU .

. is hierin een rele scalar.

Veel gebruikte normen zijn

ftxfl =

(x + . . . +

x)+

?IxIj =

x1J

+ jx2$

+ . . . . +

¡j xfi = Max

Ix.

_I

(i)

i

Het punt z E R'1 hect "locaal minirnumpunt

van f" als

er een regel positief getal r bestaat, zo dat uit

- r voigt dat ) f(1)

z beet "glo.baal rninimumpunt van f in V" als voor elke

13

-2.1. Minimalisering van functico zondor beparkingen.

Nodige en vo1doede voorwaarden voor een vrij locaal

minimumpunt.

Be3chouwen we earot ean

_{n-diienaionaa1 geval:}

Voor x e (0,v«*) z&j f gedefinieerd door

f(x)

x - in z

Dani'i

f'(x)=l-l/x=Ovoorx=l,

t(x)

= _,

dci)

1>0

Het feit dat de 10

afgeleide nui is voor X

i

garandoert aileon, dat x i een stationair punt van f is-. .Het pocitiof zij van de 2e afgeleid.e voor x

zegt ono, dat ¿(x) daar stjgend io. Nu is voor

z(1 : f'(x)<O

, f(x) is dalend,

voor

x ) i

:

f' (x)

_{> O}

f(z) is stijgerid.

Hiermee is duidoiìjk, dat x = I een minimuxpunt ie van f.

13ij variabelen mut dimensie > i wordt de zaak

ingewikkelder, odt hier niet meer gesproken kan

worden van het te- of afnernen van de

variabele

veo--tor er duo ook niet noer van hot

etijgend of dalend

zljn van f bj to

eiade(i) x

De enige

naìogie met hot &gn-diinensionale

ge--val ugt

hier in de

Tay2.or-forinule.

Voor n i geldt

f(x0+x) = f(x) +.f(x0)

+

+exf"(x0+x)

riet Voor n> i ge1.dt

= f(x) +

LXTr(X)

+ iXHf(X+4X)AX

eveneenc

.et 0<

O

<1

Is in het éndimeisiona10 geval x0 een

locaal

minimumpunt van f, dan mag f

in dat punt in oereto

aanieg niet veranderen, d.w.z.

moot nul zjn.

Voor het

meerdimensionale

geval

moet

evenzeer

in hot

minimuipunt

_{gelcan, dat do functie bti}

klei--ne verauderingon van

Un

_{of meer componenten van x}

Nodig: in eerote in.etantie niet

verandert. Dit

_betekent,.

dat de compononten van f(30)

allen nu]. moeten z&jn.

Voor aen verkiaring van

deze uitdrukking wordt

fooerLde:

e.e-ratrix

i

4

In bet nóinensionale geval moet, als x

eon miniumpunt is, de vorm +x2f(x0$x)

00 zin voor elke x O . 1.angezien

4X'

altild positief

is, betekent dit, dat f (x

+ %x)

O moet zjn.

o

3telt men als eis, dat f"(x0),>O en neemt men aan dat 1(x) continu is, dan is antoonbaar, dat er

een

r>

O bestaat, zodanig dat voor %azt <r

steods 1 (x 4x) O is.

In het.meerdimeusionale.ReVal voigt uit het feit,

dat X een niniumpunt van î is, at

dat d

_{vorm AX .H1(x}

+ 9x)Ax

O moet z&jn voor

Ax

O Dit stelt bepaalde eisen aan de Hesse-matrix

in de buurt van x0. Ons beroepend ode conti-e

-nuiteit van de 2 - artiele afele.den in

-

èx.x

bet punt x

o

, kan men als voldoende voorwaade3voor

eon miniaumpunt

_o

x

stellen,

dat de vorm

is voor

alle x Wa:rvOOr = i

Is dat het

geval,

_{dan noemt men de matrix} H (x )

_{f a}

'positief definiet'.

Voor

het positief definiet zijn van een

symietrische matrix A = /aj.'z;in

diver--se criteria:

D. O

voor i

= l(i)n.

Hierbj is

D. ₌ Det[ahk)met zowel h = l(1)i

(ii-matrix) als k =

l(l)î

De,

hJ eon syrmetrische matrix met

regle elementen altijd reale eigen--waarden

t/m

inoeton allen

positief zjn.

De angewezen weg voor bet opsporen van oea globaal

miniitîmpunt

van een f'unctie f ljkt nu:

Zoek cen punt

of

_{een aantal punten}

Xk

(k is oea

ar--bitraire num:ering)

met

de eigenschap dat

=

O voor

i =

lOin

ereken 'oor elke k de Hesse-matrix

_{Hf(xk) en}

_schrap

die gevallen, wa'rvoor H1(.)

_{niet positief definiet}

is.

Bereken in de overgebleven gevallen

_{de functiewaarden}

Het

punt _{et de kleinste iunctiewa:rde}

is

dan

15

-Helaas is het in de practjk vaak juist heel rnoei1jk

of bijna onmogeLik, orn langs analytische weg de

ciernen--tes van die Hease-matrix uit te rekenen. I-let enige

redmiddel,

at dan overblijft, is nul7erieke berekening

van Hf(x).

utneriek differentieren is helaas een

weinig betrouwbaar procedé, zodat men hiermee in

rensgeva1len de kans heeft,

bedrogen uit te komen.

Cok het analytisch berekenen van de

gradintvec--tor en het analytisch opsporen van de

nuipunten vaa

grad fC.) blljkt in de practljk steeds vaker op

moei--1jkheden te stuiten. Dit vindt zn oorzaak

in het

.feit, dat men de diverse

unctie-minimoliserings--technieken steeds meer gaat toepasen op functies,

waarbij het rekenvoorschrift weliwaar

nduidig is

- ande.-s mag men het geen functie noemen - maar

warhi rut r'kenvoorschrift niet is weer te geven

door de &n of andere gesloten analytische vorm.

De in deze taragraa

gegeven beschouwingen zíjn

dan ook niet voor directe practische toepassinen

bedoeld. W1 is het de becoe1ing, hiermee een inzicht

te

even in de structuur van functies

en in

de, op

die structuur gebaseerde werking van

minimaliserings--technieken.

2.1.A. Voorbeeld van een ±'unctie van

&n variabele, waarvoor

geen expliciete analytische vorm bestaat.

Een gedwongen slingering kan in eerste

instan--tie beschreven

worden door

de lineire

differentiaal--vergelijking

_{(t) + 5(t) + 6y(t) = sin .t}

Hierbij is bekend dat y(0) = O

en y/2) = i

De algemene oplossing van (.l.A.i) luidt

y(t)

C1e

+

C2e_3t

+ O.l(sin t

- cos t)

en C2 volgen uit

O = C1 + 02 - 0.1

-1

+

¡en vindt

C1 = 26.266

en

C2 =-26.166

Ej nadere beschouwing hljkt de

differentiaal--vere1ijking lets

ecompìiceerder

te zijn;

(t) + 5(t) -

3(t) + 6y(t) = sin t

Hiervoor is geen alr-emene oplossing in expliciete

vorm te

even. Opios.ing met de gegeven randwaarden

kan als voigt.

Voer als nieuwe variabele in

x =

,

dan

16

-ontataat het oyatee!n

{

=-5x

+x3

-

6y +ein t

Hiervan veten we y(0) = O en y(7i2) = i .

Numerieke oplossing kan alleen als we x(0) veten. Stel x(0) a

Dan wordt x(t) X(t,a) en y(t) !(ta.)

On te zorgen dat

y7'2)

1

mosten we a zo kiezen,

dat t(a) = (Y('lr/2,a) - 1)2 minimaal wordt.

De functie f bestaat, is continu en zelfa 2* continu differeAtieerbaar als

ftznctievan a. Vari f(a)

is echter gesa gecloten vorm te geven, dus

00k

niet

van

f'(n)

of van f"(a) . Men kan alleen een arialoog of

digitaal

rekenprogra*ma schr&ven, waaruit f(a) bJ gegevon a te berekenen ia

- 17

2.2.

Nutnerieke methoden voor bepaling van een vrj locaal minimumpunt.

Deze methoden kunnen worden onderverdeeld in

twee klassen:

Methoden, die alleen gebruik maken van functiewaar--denerekeningen.

Methoden die gbruik uiaken van berekeningen van iunctiewaarden en van partile afgeleiden.

Bi Scheepsbouwpi-oblemen is er vaak geen

analyti--sche vorm voor berekening van de

functiewaarden

van

de objetfunctie f. Berekening van afgeleiden is dan

alleen mogeiijk met behuip van numerieke differentiatie.

Dit betekent evenwel, dat men de hiervoor berekende

functiewaarden niet optimaal gebruikt.

Men kan in zo'n

geval dan ook bet best gebruik maken van een methode

uit klasse (1).

Van klasse (1) worden twee voorbeelden behandeld. Van klasse (2) worden alleen onkele methoden genoemd. Voor gebruik van deze methoden wordt naar literatuur

verwezen.

2.2.1. De gerichte zoekmethode van Hooke en Jeeves.

Lit. R.Hooke, T.A.Jeeves - Direct Search Solution of Numerical and Statistical Problems, Journal of the Association of Computing Machines, Vol 8 (1961),

blz. 212 - 219.

Deze methode is opgebouwd uit twee procedures, n. 1.

de zoekstapprocedure E(s11x), Eng.: Exploratory move, weergegeven door het stroomdiagram op biz. 19,

de gerichte bewegingsprocedure, aangegeven door bet stroorndagram op biz.

20 s

De zoekstapprocedure werkt als voigt. Men gaat uit van een punt x

R, cordinaten x1 t/m x.

_In

dit punt wordt f(x) herekend. Dit getal heet De kentalien X. van x worden nu achtereenvolgens

veer i = 1(1)n vervangen door L , waarbj , een klein psitiefgeta1 voorstelt. Zo'n vervanging wordt gehandhaafd, als de functiewaarde kleiner wordt.

De uitkomst van de procedure is een (rneestal) nieuwe vector x en een nieuwe waarcie s _{= f(x)} , zo dat, als

de nieuwe x de oude x, dan is de nieuwe kleiner

De grichie beweging werkt _{odanig, dat na een} aucceeo110 zoekstap in een bopaclde richting een

be-..weging in die

rchting wrdt uitgvoord. Daze beweginga..

-atap wordt grotor,..naarinate hot suces in di.

rica.-.ttn vaker optreedt.

Ecot da zc'el:atap cen r3u].baat, dan wordtde co6rdinatenatap O. vervann door pz , waarb

O

<Ç

<.

A1a de cc _{inatenat5.pÄ kleiner wcrdt} dan een VcU1

to vcn vaetgteld bedrag

, dan etopt

de procedure. Hat dan vrkregc ;t crt ala

mini-..murpunt van i ar.vnard.

- Qpgmerkt woxdt, dat de goricte betcgingen uitaluitend door k

littiav

. du niet door

kt.ranti--tate7e

vranderingci van de functietaarde worden

bopaald.

Lettend p

_{.e bjde strooiwcbo'a zullen we}

nu nac.a, hoe het m

_{ir1ium gevonden wordt van de}

func t

f(x,y) 52x2 + 72x7 - _73y2 - 2k8x - 36ky

Hat tartpunt in (53), d _{stap'orkl.iningafactor}

in

0.2, de initl

_{co3rcìinatentap}

_in

_{0. en}

Zoekßtapprooethzre E(

,x)

Gerichte zoektnethode:

r.

:= S1

fC

,x)

20

-)

end

Z

L ; L :=

X

:= 2x - z

:=

L

¡ 8 o 81

21

-A

Commentaar

(5,3)

(5,3)

705

705

0.5 i E(a11x)-.2' rege].

(41,24-)

(4,2)

(41,24-) 293.25

293.25

-20

(5,3)

e

dfl9 via

E(81,X)_I1f regel

(31,1+)

-234.75

a1

dus via L2

(24-,4-)

(31,1+

234.75 -368.75 (41,2+)

E(a1,!)-6 regel

(2,1)

..k35

_ei-<

₀

du

via L2

(1,1)

(2,1) -435

-256.75 (31,1+)

E(B1,X)_.,8e

regel

(1,].)

-415

due nu ria 'L1

(2,1)

(2,1+)

435

-435,

-453.75

E(OX)_].Oe

_regel

duo via L2

(2,2)

(2,14). 453.75 -436

(2,1)

.

É(s1,x)-'12

regel

(11,2)

-475.

'

dus via L2

(1,2+) (11,2)

47

-469.75

(2,1+)

E(e11x)-.+lk' regel

(3,2+)

-474.75

due via L1

(11,2)

¿f75

..475

E(e1,x)i60 r.gel

(1,2)

(1,2)

(1,2)

488

-488

-475

(14,2)

a <

_a

due via L2

E(a11x)-*180 rege].

(1,2)

-488

e

dur via L1

(1,2)

488

-488

E(e1,)+20 rege].

(1,2)

-488

0l. e, nu ¿verk1ein.n

0.1

verkiejnen

Ç

¶L u0,enen

'0.004 4Ç, afgelopen

22

-2.2.2. Kwadratisch convergente methode van Powell.

Lit.: M.J.D.Powell - An efficient method for _finding the minimum of a function of several varia1les without calculating derivatives,

Computer Journal

7, 155 - 162, 1964/65.

Deze methode maakt alleen gebruik van berekende functiewaarden. Desondanks is de methode sneller dan

somrnige technieken, waarbj w1 gradinten analytisch

worden berekend.

Het kwadratisch convergeren zal aan de hand van een twee-dimensionaai voorbeeld worden verklaard.

De functie f, werkend op R2, heeft regle func--tiewaarden f(x), met x = (x1 x2)T.

Laat _{een minimumpunt van f zijn, d.w.z. nabij}

geldt voor alle punten x, dat

_{f(x)> fC30)}

Stelt men x =

+ ox ,

d.w.z.

X1 = X1

+ en X2 = X20 +

-2

dan kan

men stellen dat

f(x) = f(+x)

= r() +

_{X1-) + ¿3X2(X)}

+

+ _{+94x) + 24x14x2 ¿}

_(+ax)+

4 4(,+8x))

1 2

Hierbij is weer een getal tussen

_o

_{en 1.} ft

Met de notaties _{f. = en f.}

=

(,

+9x)

2.

ij

is dit, gebruik makend van de regels van matrixrekening,

te herschrijven als / ri ft f(x) f(x )

_{+ (x1 x2) () +}

I

11 12

o

I

)

i =

t f12

f22 t2/

= f(0) +

To

+

3THf(3Ø

+)

. _(22.1)

Aangezien _{een minimumpunt van f iii, moet de}

gradintvector van f daar nui zjn; Vf()

O ,

zodat nabj geldt dat

2)

-In tweede-orde-benadering

Btelt

men ata de

Hesse-matrix van Z in het onbekende punt

₃

geljk aan de Hee.-matrix van f in x zeit. Andere

gezegd: Man reet de Hesse ..atrix van î in ean

orn--ßdving vari conetant. De fout, die men daarbj

rnaakt is van de orda

O(xI)3:

f(x)

f()

+THx)

&

Noteert men de cicr!enton van H(x) aie

fa11

a12

t12 a22

wordt in de buurt van

en stelt an A

f(o)

+ 2a124x1A2

dan +

a224i4)

(23.2)

(23 3) (23.1)

Men epreekt bier van can 2°..orde-beaadering van f

nabij . De nivoau1jnen van f, d.z. ltjnen, waarop f(x) constant is, worden b5j die aariname ellipeen.

Kwadratie ch BJ eon kwadratiacb convergente minimaiieerings

convergente _{-methode wordt er nu van uitgegaan1 dat hat} start-rninimaliserings- -punt x za dicht bij _{ugt, dat (23.2) oea niet al}

-methode te fout beeld geeft van de situatie nabj . Door

e

berekeningen van functieaarden en everitusol van

gradinten rond

wordt eon punt 1) opgespoord, dat minimumpunt van f zou z&Jn, ale do getallen

echte oonstantn zouden ri.

Is bet startpunt z good kozen, d4n zal dichterb&j x liggen dan et oorspronkelijke punt z zeit. Met 1) als nietaw ¿tartpunt kan men daze

kwadratische minimaiiseriigemethode herhalen, wat

y

voert tot eon 2° benadering van hat gezochte punt

, ene. Dit iteratieproces wordt afgebroken,

zodra aan eon bepaald criteriuin is voldaan, b.v.

E

Hot punt _{wordt dan ais beste}

_{benadering van}

niet tolerantie aanvaard.

Toe evoe gde

rich t in en

2k

-De wijze, waarop deze

_{locaal-kwadraticche}

struc--tuur wordt henut, is bLj diverse

_{methoden nogal}

ver--schillend. Aanvankelìjk werden

_{methoden ontwikkeid,}

waarbij gradinten

_{analytisch of nuceriek moesten}

worden

_{herekend. (Fletcher & Powell,}

_{Hestenes &}

btiefel) Aangezien dit

_{orn eerder genoemde reden}

be--zwaarltjk is, ontwikkelde Powell deze methode,

waar--bij de gradintberekeningen

_{worden ornzeild door}

ef--fectiever

_{ebruikmaking van de verkregen}

_numerieke

informatie orntrent f.

Teneinde Powell's methode

_{voor n = 2}

_te

ver--klaren, wordt uitgegaan van formules (23.2 & 3).

oals reeds opgemerkt,

_{worden de niveaulijnen}

_van

f rond

_{ellipsen net}

_{X0 -}

_{het punt 4 in figuur}

2.2.2.1 - als middelpunt.

4

,/1'

J

I---

f

IC a

A

Figuur 2.2.2.1

Van zo'n ellips beschouwen

_{we twee}

"toegevoeg--de middellijnen" met

_richtingen

_en

.

Twee

middel--limen heten toegevoegd, ais de

_{ene midde11i}

_de

verzameling is van de

_{midde4s van koorden,}

_{// aan}

de andere middellijn

_{getrokken. Analytisch}

_{is aan te}

tonen, dat deze definitie

_{gelijkwaardig is met de}

karakterisering

_{A j = O. (De richtingen}

_en

L

heten onderling A-loodrecht)

F3eweegt

ten zieh vanuit A in

_een

_richting

1/

aan j, dan is aantoonbaar dat f(x) op die lijn

rnini

-maal wordt in C, het

_{midden van AB, tevens}

_liggend

25

-punt D atartend, kunnen we een tweede -punt van die

iniddelltjn

_7/

aan vinden, door op die lIjn door.D

/7 aan a

bet míniumpunt van f te bepalen.

Het punt M, minimumpunt van f,is nu te vinden

ala rniniuiuupunt van f op de 1jn CD.

Voor hat n-dimenaioitale gavai

wordt de zask

natuurlljk wat

gecomplicearder, maar in faite wordt ook hier via 1jriminimlicatie van f in div.rae rich -tingen eon

u-tal onderling toegevoegde richtingen

gecoriatrueerd.

De hierna voigende beachri.jving is ontleend aa.n

Powell's artikel in do Computer Journal. In paragraaf 2 wordt aangegeven, hoe hat minimua van ean

kvadra--tiache

functie met poaitief deini.te Heeso-za.trix

van n

variabelen in n iteratieetappen kan worden

gevonden.

(0) Men Iciest eau atartpunt naar echatting r.delijk dicht

btj het globale minimumpunt. Voor* worden

_n

onderling onafhankelijke zoekrichtingen

1 t/m

gekozen. Meestal neewt men hiervoor

ti

= (1,0

a

,0)T,

2

(0,1,0,.

Voor r

1(l)ri wordt nu

zo bepaald, dat

= f(1 +

minimaai ie voor ). Men eamt dan

= r-1 + a

(2)

Voor

r 1(1)n-1 worden dan de zoekrichtingen elk

Un naar voron geachoven:

_4;,

:=

_r+l

r = 1(1)n-.i

(5)

De lastete riobting wordt vervungen door

L!jrìinimaljsatje

- 26

Dit laatate betekent, dat bU

het n

keer

doorlo--pen van de cyclus (1) t/m (k) de

zoekrichtingen

.i

t/m allen

onderling toegevoegd zijn

d.w.z. voor

i,j = l(1)n en i

_j

geldt dan

A

= O

Minimaliseert men dan achtereenvolgens lange

lijnen in die richtingen, dan is het

laatste

lijn--minirnumpunt op

de

lun

x

= +

ook het

mi--nimumpunt van f. (Let wel, dat

dit alles

gebaseerd

is op de

aanname,

dat f(x)

een

kwadratische functie

is, d.w.z..

In paragraaf 3 van Powell's artikel worden de

hiervoor genoeinde zaken

bewe7.en.

In paragraaf k wordt een practische

modifica--tie

gegeven, dIe voorkonit, dat de convergentie

aanvankeLjk erg langzaam

gaat. Dit

kan naxnelijk optre-.

-den bj functies van meer dan vjf variabelen en

een siecht gekozen startpunt.

Ook de lijnminimalisatie van f

gebeurt op

een

kwadratisch

convergente manier.

I

\

I

\

J,-, I ' -. t fo i _i I

i

.4

o j _j,

Figuur 2.2.2.2

Met uitgangspunt

wordt in de zoekrichting

met

stapgrootte

q

de functie f berekend inpunten

+ kqz

,

k geheel. Deze

funetiewaar--den worden gerioteerd als

Aliereerst

wordt

nagegaan, welke van

_de

_twee,

f1 of f1

,

kleiner is dan f

.

Bljjkt dit b.v. f1

te zijn, dan gaat men in die richting door, net zo lang

27

-Door

de punten

k-l'k-3)

°

wordt dan eon parabool gelegd.

Van

doze parabool wordt

dan

hot minimumpunt bepaald, aangeduid

met

. Ligt

dit parabooLminiium voldoende dicht

btj

,

dan wordt

ale miniumpunt op

die

3ijn aanvaard. 18 dat niet

zo, dan worden de functiewaarden

r

₌ ,

f

c

_f

_-

_q)

₌

berekend. Door do punten

-

q,Î)

,

(i,!)

en ₊

wordt nu weer een parabool gelegd1 waarvan bet

mini--mumpunt

wordt

bepaald enz.

2.2.3. De anti-gradint- of steilste dalingsmethode.

Bu de

anti-gradintethode

_{moet men beschilçken}

over numerieke of analytische procedures ter bereke--ning van de componenten _{(x) van de gradiritvector} van f in bet punt x. i

richtiig van de

steilste daling

Figuur 2.2.3.

In het punt _{kan men in alle mogelijke}

riclitin--gen infinitesimale stappen van lengte ds _riemen. De--finjeert men zo'n richting door middel van een

-heidsvector _n

T

a = (a1 . . .

a)

met ¿_a. = i

1=1

dan wordt de infinitesimale toename van f over zo'n

stukje df(x ,a)

_o--

= 28 -')

(x )a.da = a1(x )ds

-0

:.

i=].

Krachtens de eigenschappen van

Euclidìschein--producten is nu df(,a) als functie

_{van a mininzaal,}

als men voor a een _{nheidsvector neemt, die tegen} de gradint in is gericht:

Uf(x )

=

-

ìíZai

Opgave: Gegeven is een functie g van de variabelen

a1 t/m a1

.a. + f (1

-11

n i=l

Eewijs dat g(...) ininimaal is voor

i = l(l)n-1

(i)

of

29

-Wanneer men bet minimumpunt van f(x) zoekt, ugt het dus enigazina voor de hand, dat men vanuit een

startpunt z gaat in de riehting van de anti-gradint. Er ziju nu in principe twee worten

steilste-dalings--methoden:

Men start in een punt en mini.maliseert f( langs de lijn z

_-

_-

z -Avf(x )

. Ret minìrauxnpunt x op die lijn

0

1

wordt nu nieuw startpunt en men gaat van hier uit veer

in de richting van de anti-gradient, nu berekend in x1 Dit herhaalt men, totd.at de iteratie afbreekt op grand van een.afbreekcriterium, zoals

-

f(_1)I

Deze z.g. lange-stap-anti-gradientmetbode, toegelicht

door figuur 2.2.3.2 , is in de practijk weinig succesvol gebleken.

Figuur 22.3.2 Figuur 2.2.3.3

(ii )Vanuit het startpunt conatrueert men de numerieke ap--lossingakromme van het systeem van d.ifferentiaalverge--li j kingen

dx.

-- j----

voor i 1(1)ii

De grootte,. van ) kan men dan nog van de grootte van de

gradiCnt van f laten aThanen.

00k deze methode, heeft vele practiache bezwaren.

Met name nabij het minimumpunt blijkt de numerieke

opios--sing ?bf vroegtijdig vast te lopen of eindeloos heen en terug ovár bet minimumpunt te schieten.

Lit.: E.Stiefel - Einfihrung in die numerische Mathatik,

2,2.4

G.eoon.jugeerde gradilntmethod.e vn

Hestenes & Stiefel,

geprograeerd door Fletcher & Reeves

LitC: R.,Fletoher, C.LReevea Function minimization by conjugate gradients, Computer Journal ₇

_(1964),

blz 149 t/m 154e

Bij daze methods wordt het bekend zijrt van de

gradintónbenut v-oor hat verkrjgen van

k'vadrati--ache convergentie

Teneinda de werking van de'e

methode te verkiaren, wordt

uitgegaan van ean

twee-dimenalonaal 'roorbeeld. illereeret

woHt aangen.omen

dat

f(x)

eon positief definiete kwadratisohe vorm is:

f(x)

a11x

+ 2a12x1x2 +

a22x

+

2a13x1

+

2a23x2

met a11> O

en

_{a11a22 - a2>O}

De niveaulijnan van f zijn ellipsen met hat punt

als

midcIelpunt

30

-Figuur

In een punt

i

van zen niveaulijn wordt de gradint-.

-vecter

g

_{i'(x )}

_-o

berekend0

ils aerste

zoskrich--ting ne

emt me n nu

;

-Op de lijn x ₊

Ap,

wordt nu hat

mini--mumpunt

van f bepaalt. Stel 1....waarde van )' ,

vaar--voor f(,);)

mmnimaal

is, gelijk aa.n A0

Hat punt

x1 +

A;

is nu startpimtvoor sen

tvee

de lijnminimalise ringo

Berekent men nu

Vf(x1) ,

dan is

aantooxa-.-baar, dat de aan.;

toegevoegcie (..

geoonjugeerde)

richting

E1 voigt uit

1 1 + T

o&o

31

-Hat

is nu, behaiv. ninimpunt van f

op da ii4n

_.

+; ,

oak bet zidden van de

koorda,d.i. van di. iin door da *ivunii1n door

v.rtt afg.sz.d.n

Start nan tua vanuit X1 in da

riehting

_Zi'

di. aa.a.; i. to.gevosgd, dan sai i.

113n

_-A.

aiddaiiijn van di chip. aijn0

XiniU1iurin van

+ A1) tan sansien van

>.

i.v.rt an ein vaut.

sp

vs&rbij g.ldt, dut

i

'jZj R4n

an kozti.t..nte ii iv..

tapp.z in hit nininuupunt

van de

sdrstiohs fnitstie f

I. f niai kvatrati.ob, tan v.rvsngt am

Loor

en h.rha&.t hit bvinvsrniidi pr.ot. Dit

diet non nat ai lang totd&t ann ein sfbre.kariteriwi

is v.ltae.n, zoale

-

3IIc

o

1«;)-

()I

:Teor hit a-tiaan.onais g.val v.riopt da zaak

ii princip, nit ..ndSz

Hit bijgaandi stroondiagran,

g..ft e.0 erirsioht. ±zl Lit stroondiagran haiti 4.

precedan

sin(o1) da vcanti b.tikuisz

Zj gsgsven

,

an z vird.t hat ainixz bipanid

van t(A+A2). .

is di waarda van A, vaarvoor dit

aminan verdi b.n.ikt.

i* b.vijs roer di kvadratisohe oonv.rg.ntie

van Liai procedure is te viudez in

J.Jt*ik.r - Optiaaiis.man

functiis,

Cehh.g.-.tictsat (a 74), T.H.Daitt, Ond.rafd.

procedure f x ; procedure V(,)

procedure min.); procedure

_HxU

J,

:=read

-

:=read

n:=read'

:=();

nee

k:= O;

:=(x);

_T

p

¡;

_-

₊

:= gn

Figuur 2.2.+.2

Opgave: Pa8 deze methode toe op

f(x,y) =x2+xy+y25x_L7

e

-uitvoer

_{, f(&,}

nee

33

-2.2.5.

Mog.ltjkheten mor

hot

&nroepen van r.kanprooij...

Kot ?.B0Rekeno.ntru heeft do

zaeke-gotsren-.bb]4.eth.ek van d. ha.idig.' IBM 360/65 r.k.nautontaat

v.rrkt et een aantal voorgepregramR.erda

iiniiali--uriagoprooetnx'.s.D viÖvs.arop dtze precedres

b gsbrikva* Algol of Fortran

m.o* worden

gehen-'t..rt,' stUt bsSohrsen in

eon tweeta,l R,C.-uitgsy*

(t)Izeri.k.

bpregaas*'e,

aenoluitbaar in Algol.

(ii) luasriGal Fortran eubroutines.

-

_{De hier behandelds tothotu ztjn in hot}

erst-"geLeondo bok te

inte* ender do volgendo

codo-on xpnsasn:

ssk. & JàY.. s

10.301

?sw13.

i

₁₀₃₀₇

- 34

.

2.3e Minima].isering van funotis met beerkiitgen

23.1

o

Ongelcheidsbeperkíngen. ¡u.!uokr..vóorwaarden0

De prob1eemstilinj1idt'voor dit gavai:

egeven de reeiwaardigR fnicties f en

_{g1 t/}

, alien werkend op

Ge'rraagd wordt,

het

minimmpu.t

X van

f

_{op to aperen, onder de}

voorvaarcien O voor j - i(1)k

'

Fezlieierige-

_{Ret zogenaande "r e a i i}

_{s o r i}

D. g s g e b i e d."

-eied

Lbetaatit de punten

X

waarvoor geldt

(z)

O

voor

j

1(1 )k

Voor het dniupunt

x

moet dna galden

,E B

t(x)

f(x)

VOOr aile & B

Figtaur 2.3ll

toont eon ie-dimension.al

voorbeeld, dat al inleiding dlent

Figuux

₂₃₁₁

In dee

f

iguur

_{is in hat punt x0 van B}

-

-De f-niveaD.liD. door z _{valt verder geheel buí-ten B0}

4.

v.a tir ysav.it

ar hit binnengebisi U B is

g.r..kt. !.tiunt.0

is du iinirnuipunt vsu f sub

E 63

De

itu&tie, die sich hier voordt, kan

v.r--tu. gskraktriseQrd door te stiien, dat in

g.ldt&

tA1-A2o,

i

terv1

un

..itieî zjn.

Dit laatsta is ess.ntiul. Tir to.liehtiag

*en f iguur

u'b.eLd. is gsehetst

Ttc

2,3.1.2,

vaar'in cen

tegenvoor-itgù

%i 2

1* ttzo *i1ttati.1eoptL.niv.au1ijn Ian f()

door' het inwendige van B.

is dus gee.n niniaiumpunt

M.n'v.rifisext bier

emaIcke1ijk, dat ist

-

+

)

₎

nu ),>O,aaar >4<O

Aan de hand hierv-aa is nu in te ziei, dat in

sun mini

punt z

van f sub B in hut aigeasen

vol--daan noet zfjn aan de volgende

zogenoemde

KuhnTuckar

-j-1

met

O

voor

j

1(1)k

Inden gj(;)

O , dan is Aa). O

ais

_{O, dan le}

_{- O}

toont figuur 2.313.

36

Dat de KuhnTucker..voorwaardan nodig,

maar

niet

_{e1doend.e zin ?oor een 1oc&l minirnumpunt,}

I

Figu.ur 2313

2,3.2, Geljjkheidaoendities.

Hei kent vaak voor, dat behalve aan een

aan-'tal ongelijkheidsLJnditios ook aan een aantal

gelijkheidsaondities mGet worden voldaan,

_Het

pro--bleem luidt dan:

MirLimaliseer 1 onder de

voorwaarden

gj(x)

O

veer

_J

h(x)

O

'roer

j

i(i)i

_,

et

_I

I <n

Ztjn de ge1jkhe1decondities

_{niet explieiet}

verwerkbaar, d,w0z0 is hei niet mogelijk, bierut de

variabelen x

i/rn z1 analytisch

_{uit te drukke in}

de o'rerige, x1

t/

x

_,

_{dan kan men de}

probleem--stelling formeel onder die

_{van de vorige paragraa!}

brengen, door als condities te stellens

h(x) >0

veer j

1(1)1

en

- h(x)

)

O

'roer j

1(1)1

In totaal zijn er dan dus

k + 2].

ongelijkheidscon--c1ities

2 4

Y.rwerking va inge ljkh. id.sre strio4ie s aoer midde i

4

I'Sióti.s.

241 Intr*d.uotie met eon

dimenaione.al voorbeeld.

Toor hot itoratief be]en van iiot minimuapunt

Van ìen fu3tetio i on eloten en b.grond rea].ies.

- áingagebi.d. makt mon vaak g,briiik van zogenaaade

a t r e. f f u n c t i.

" (sng.; penalty functiozis).

In principo wordt er thn

_{op hot feit, dat eon punt}

niet tot hot realiseringegebied 2

_{behoort, eon}

8t2sf gezet door in

o'n gevil bIj f(s) eon flink

$e.o$ ge'ai op te to llsm

Dit gri

gefll is d

di

w.tsrü, d.io ü traffunotie

Yoor di.

heeft. Ter

Thrk].*rig mogo hot voigends voorbosid

_dimen.

Zen f*nctie f zu gedofinie.r&

_{voor ails x}

_R.

De gmfiek va

_{f is in figuur 2.41,1 g.tskond.}

a

-Pitinr 24.i.1

et'

_{*iirnnt van f zu}

_z

8

, f(x)

_{- 5}

Lie enige beprking

n.mon ve nu

g(x)

_{- 5}

z

Lie esrate straffunctie

nomon we

_p1(x)

Beechouw nu dc funotie 7

_{, goôfinieerd door}

- 38 -.

De grafek van P1 heeft nu z'n minimumpunt x1 vri,j

d.icht bij ₅ In geld.t

n01.

F(x1) = f'(x1)

x1-5 zodat X1 = 5 + ln(-f (x1)),

iezen we als tweeds straffunetie

! (x)

en ali

ke stÀffunetie

-k+1

Pk(X)

10-k+1-g(x)/10

dan zien we b.v. bj F2(x) 1(x) + p2(x) , dat

voor

X < 5

do straffunetiewaarden bijzonder klein

zjn, terwiji voor i> 5

p2(x) duidelijk in F2(x)

domineert en dat vsi des te meer, naarmate we

ver-Ret miriimumpunt v&n P (z) voldoet aan

f(x2)

+e102).

Stellen we f f

₍₅₎

dan voigt r2 5 + 0.1 ln(-f (5))

Ret is nu thiidelijk, dat voor groters k deze

bena--d.ering steeds beter wordt. Men bedenke b.v.

p3(5.1)

220.264

terwljl

p3(4.9) = 0.00000045

Minlinalisering van P(x) levert als eerste

approxiaatie van het minimusipunt opz

= 5

10...k+1

(l'o)

We kunnen nu vaststellen, dat de nj van straf--funoties p1, p2 enz0 op de uitgebreide functies

F1, P2 euz. in het realiseringsgebied bij

oplopende

k steeds minder effect hebben0 Buiten het realise..

& '.ningsgebied

_{s voor elke}

_li

₊

zod.at ook Fk(x) daar naar +

gah

Ret ainimuzpunt van F(x) nadert bij toenemende k steeds dichter t.t de rand van B : 11m xk ₅

.k°

Ret resultaat 'ran de in'v-oering van deze nj

-der van de grons r

r

5 af zitten. p1(x) p2(x) 4.7 0.741 0.005 4.8 0.819 0.014

4.9

0.905

0:037

5 1 0.1 5.1 1.105 0.272 5,2 1.221

0.739

503

1.350

_2.0(9

van

_{traffunotieOE is, da}

d

nj van vrje

ininiumpun--ten

van de uitgehreide finoties Fk

_convergeert

naar hat aan de restniotie

_{"x Ç 5' gebenden}

mini-uunt van f

Indien het vnije minimumpunt x

vari f kleiner

dan 5 was geweest, dan ook

zeu, vanwege het felt,

dat in dat geval

ll

O , de nj van vnije

mìninumpmten van

k-Ç

naar

_convergeren.

2.4.2e Algenene straffuiactiemethode.

0m te konien tot ganeralisatie

_{veer het}

n-di--mensionale geval, worden serst

sen paar algemene

eisen vermeld., waaraan

_{atraffunction moeten voldoen.}

}en kiet senat seri monotoon

_{naar nul dalende}

nj getallon frk1. bj voorbeeld

_Ek

¿

_{met O<r<1.}

(In 241 was r

0.1) Tari aa.nzien

_{van een}

reatnic-'tie

O

wendt nu de atraffunetie

_{p, werkend.}

op g() en op k'

zodanig gekozen dat

p(g(z),) continu

en rnonotoon dalend

af--haikelijk is van g(x), trwil

lin p(g(),Ç

O

veer g(x)) O

_en

lin

_{=w voor g(x) (O}

k

--De cenete eis wendt

_{esstal veraoherpt door}

te eisen dat p als functie

_{van z convex most zn.}

'ú-)')

. (A i

Figuur 2.4.2.1

n

n

MexR

en f:R-*R

heot f cnvox, ale

_{veer elk}

voor

geldt dat

(1-A)f(x2)

+ (i-x)2

tweetal

elks

[o,ij

f(1)(Af(1)

+

waarbj Ï

Het convex zn van

_{p wordt geiat orn te}

voor--kornen, dít door invoering _{van p locale}

minimunpun--ten zouden worden

gentroduceerd, die

_{veor k-toc}

toch weer zòud.en verdvijnen0

Voorbeelder1 van straffunctiec, _{die aan} boyen--vermelde eisen voldoen, zjjn

1'

_{/ Po,.,}

(

-s 40

(,)

O voor g() )0

àor () <O

,

voor rekenpiogama's het gemakkeljkst te

program--meren als

p(.,,)

4(i - sign g(z))(g(x))2/E

p(.,.)'

ln(g(x)+Ç)

voor

()

o

en

Çln

.. g(x) +

_*((x))2/Ç

voor

_g(

<O.

Opm.rkingezL:

(i) ziet er envoudig uit, maar vraagt

o

specisle

rogra12leCrVoorziGniZ1gfl ii

rote waarden van

Doordat de

atrafuur' rond B met

-dze straffuno tie nogal steil wcrdt, is de'e fuotio practiscli 'raak obruikbaar gebleken.

is niet ovcral tw, ker eantnu

dIfferenti--serbaa. Dit levort in do praotjk vrijwol

aoit anig bwaar op

i, in felt. sen oo&pron±s, dat de

oordelen van

(i) en (2) vorenigt, saar de rLadelen niet heeft.

(Gevonden door Kaikor in 169).

Indican bij rairLimalieering ran f(x) hot

reali--soringegebied. B vord.t bcpaald. door de restrioties

o oor i 1(i)k

dan wøzdt o.ls totals atraffunotis gobruikt

k(A)

j(&'k)

iI

i

Voor

k golden dan dzelfde eig.nsohappon als voor

p 4iv.a (i)

k is continu an convex als funotie van z,

(40.1)

(ii) j B

₍₎

O

lin Pk(x)

Ret ainiu!aptnt van f(s) kan nu worden gevonden ale

li*ietpunt vaii de rj van vrjo miniwiipunten

-ens. v-an de funoties F1, F2 onz., gedefinieerd door

f(x)

_{+ Pk(z)}

_(40.2)

Daze straffunotienethodo heeft do zinvolle

naam

2.4.3. thimerieke aspecten.

Start met eeri punt x, it naar schattlng

re--de luk dicht b het minimumpunt van f sub B ligt )

Kies sen toelaatbaro straffunctie p, sen O b.v - i - en een r tuasen O en 1, b.v. r 0.5

Minimaliseer

k

1(x)

+ 5p(g.(x),E.)

j'1

volgena 4n

der biervoor gegeven vrje

minimaliserings--methoden. Dit levert het vrije minimimpunt _van F1 OPo

Nee nu E2 - r , minimliseer F2(x) met als startpunt. Men vindt het vrije miniumpunt

van P21 Ga. zo door1 totd.at

k+1

-tervJ]. tsvens voldaan is aan

Min

_(k+l)>

7

(j)

(t

en _{zijn willekeurige klein, positev, getallen)}

treffende de keuze van de vrije

minimaliaeringa--methode most veer sen paar dingen worden gewaarschuwd. (i) De methode van Hooke &

_Jeei-es

kan faute resultaten

even, ale de strafmuur te oteil is.

vÇ £')

8

41

-In de geschetete situ--atie is f(x) miniaal

ten opsiohte van de vIer eromheen gelegen

witen x en

-

-x +

¿(). H&J stopt hier, ale deon&argrexis Ç

van

A

nie t a]. te kie in

is, maar het minimum..

-punt is nog niet bereikt. Hocke & Jeeves!

_{methode is}

_{ve]. bruikbaar, als alle}

restrictiefuncties van de vorm

x

_{en/of Xj}

_zujn,

(ii) BjJ kwadratisoh _{convergente minimalieerfngsnethoden,} waarbij _{radi?nten werden gebruikt, is soma eon} pro--cedure ingebouwd ter numerieke be paling van die

gradint0 2o'n method. is bu een al

te hoge etrafanur

onbru±kbaar wegens het gevaar veer numerieke

onsta-biliteit. Door de sterk oplopend.e

etraff'unctie--waard.en worden de gradInten te groot.

a)

Aan het kiezen van sen goed startpunt wordt in para-graaf 2.6 rader aandacht beeteed.

42

2.4.4. Inwsndige atraffunotiee.

Nagst a1gmono

traffu.notieo word.t soma ook gewerkt net inwond.ie atraífD.nøties. Bu de restricties

v.rdt san do te minimalisoren

funotie t ein

etraf--tunctie i toegeveegd, die alleen op hot inw.ndige deel B van B is godefinieord.

Ond.r bat inwendie i-an het reali-seringogebiod B ierataat zion de

ver--zane lin van punten , vaarvoor

O

voor all, j van I t/m rn.

De rand 'ran B, notatie 2B, wordt gevormd door de planten van

, warvoor

O

voor ninetens Un j,

ken kiest nu veer ean naar nul da.Iende i'lj

getallen '

f2, E3 enz0 en inwendige stralfunoti.

i op de restriotie g(x) >, O moot nu in principe

aan de volgende eisen vo1doen

11m i(g(),Ek)

O 'roar elke van B10 Al _{eon punt is van de rand èB, dan moot}

voor elke gobai. k geldeni liii i(g(x),

Ç

o'

on voorbeeld van zon inwedige etraffunotie

ist

Moet men f

minLmalieren mab j(&

_O

j-i(i)a,

dan kleot men ale st&rtpunt _{eon punt van B1 , dus}

so dat O "roer _{- 1(i)m. Voorts kiest men}

ein nj naar nul dc.lende gta1l.n £,

_{, ¶ ens.}

Men berekent nu voor k

- 1, 2 ens

d4

_{miniinimpunten}

van de functio

-

+

j-1

en bneekt de itoratie at, zodra io ioldaan ann

-

43-2.5. Minia1isering van fnoties onder lineaire

ongel!jk--hei.daen/of

e 1khe idebe perkingen.

Indien een funotlo f

zoet worden

ge-minimaliseeri onder i

n e a i r e

(on)ge]ijkheide--beperkingen van de vorr

-

o

, ±

-

O

i

k+1(1)1

dan kai men daze reriotiec, behalve door !liddel

van straffuncties, ook op oen andere wjze verwerken.

De

eeat effiointe miniralisoringsmethode voor

dit geval is die van

oldfarb & Lapidus.1) Deze

me--thode is in principe eon uitbreiding van de vrje

*inimaliseringmethode van Fletoher & Reeves,

be--handeld in pararaaf 2.2,4 van dit dietaat. De

uitbreding tot linaaire gelijkhoida- en/of

onge)4jk--heidarestriotie

vindt op de volgende wijze plaats.

Wordt of worden bu het vrij minimaliseron

vol--gens do geoonjugeerde gradintmethode Un of meer

lineaire beporkinen rnerkbaar, dan conetru.eert

men

ecu lineatre deelrniìat, die door die beperkingen

wordt bepaaid3 In die dec iruimte wordt dan

weer

verder geminimaliseerd rolgene de geconjugeerde

gradintme tho de.

Het kan daarbij voorkomeri, dat

een,

n zeker

punt wigerende ongelijk}acid.sbeperking bj de verdere

miniLlalisering wordt overheerst door een andere

beperking0 In dat geval noet de lineaire deeiruimte,

vaarbinnen near het

_{inimupunt van f(x) wordt}

ge--zocht, worden veranderd0

De methode vordt in het hieronder opgeeveì

artikel nitgobrsid beschreven en behandeld. In het

eerder genoemde Rekencentruinboek

"Numerieke subprogramnas, aan2luitbaar in Algol'

staat onder nr0 10.501, hoe men deze

voorgeprogram--meerde methode, ea

te roepen ala OPTCGP,

program--matiach most hanteren0

1)

D.Go].dfarb - Extens±on of Davidou's

Variable

Metric

Method to MaximizatIon under Linear Inequality and

Equality Constraints, SIAM J,urnal of Applied

- 44

26 Hot zeken

van

eon good startpunt.

Alle hiervoor gencemde ßlìnimali3eringetech--nie.on zijn alleeri en. uitsluitend geohikt voor riet viriden

vari

_{ecu locaal rninimuapunt. Het is}

daar--OL bj

hot zaekeu naar eon glosal _{inimuapunt van} een functie

f biïiiari

_{eon gogeven realiseringegebied} B ulterDlate

gewent

_{on eigenuijk vereist,}

_dst

_en

eon redeljke ochatting heeft van de liggirig van dat globale ininuinumpunt van f sub B.

B&J _{veo? technische problemen}

is

_{men op grond}

van practisehe ervaring in staat, eon vriJ goode earste

sohatting van

het

_{ninimumpunt te maken. Hier vanuit} kan het echte ninimumpunt dan gevonden worden via

van de hiervoor genoemde en behandelde minima--iseringstechnleken.

Ontbreekt die practieche ervaring voor hot

maken van eon goode schatting _{van hot atartpunt,} dan verdient hot aanbeveling, eon goed startpunt voor eon locale minirialieringsteohniek te bepalen

Random _{via sen zegenaamde stochastiche zoekmethode.} (Ran-search -doni search) In principe gebeurt _{dit op de}

volgen--de wzjze0

Via ceri bepaalde, in stochastische _zin

verant--woorde procedure kan

men eon geta? r, iet

_{O r 1 ,} produceren, zodanig &*t

f(x)

uni

P(x r

<xx)/4x

w i

4x-pO

r

voor

x

L0,l) andom Zo'n procei1re hoot eon

_randorn

_{generator't o}

enerater _{Hot realiseringegebiod B wordt nu zo nauv} mo--gelk onisloten door eon gebied G, dat men raohthoe--kig zou

_kunneri

_{noemen. Bedoeld wordt, dater}

veo--toren a en b in _{weiden bepaald, zodanig dat} voor elk punt z van G geldt

a.

_(bi

voor i

-Eon stchsatisch zoekpu.nt

i van

_{G wordt nu bepaald,}

door de randorn generator

_{sen u-tal getallen}

r4 t/m r

te laten produceren. Men neemt dan

z1

a. + (b.

_a1)r1

In hot aldus

_{verkregen punt x kan}

_{nu de te}

minhmaliseren

functie

_{f worden barekend.}

- 45

Werict man met aen atraffunotie

dan most men uiteraard f(x)

_{+ Pk(x)}

berek.nan0 Werkt men niet

et aen

trsffu.nctia, dan moot man,

alvo--rene f(1) t. berekenen, serat nagaan

of

X

al el niet tot 3 b.hoort.

Gebleken le, dat ean vJftigtal

_{op deae vjze}

berekinde furietiewaarden ruim veldoende

_{is voor}

hot vinclen. van een punt, dat als start voor h-t

vindan

ti

_{bet echte globale minimumpuntkan dienen.}

BJ hit T,E0-R.keno.ntrum zijn aen tweetal

random generatoren boeohikbaar. In hot

R.C.'-boek

Numorieke subprogramna's, aansluitbaar

in Algol

staan se vermald. oxidar de volgendo nunimers en titels*

1.201

RANDOM

1.202

RNA

Bu beide pregrammas moot

_{eon ztartgeal worden}

op--gegovexi. Mon kan cla,arvoor h.t beat do

computer-&agtljd in 0.01 zeo

opgeven

Dit geta]. is aanroep..

-baar met

_{IX0?D. De procedure staat in hetzelfde}

2.7.

VraaRstukken.

2.7.1. Voor x en y O is f(x,y)

y2/(3-x)

\Jerder moeten x en y voldoen aan

(1): x3y 16 , (2): xy 8 ,

(3):

y 1O , (4):x 2.9

'.inirnaliseer f(x,y) onder deze restricties met behuip

van de SUMT-methode.

Gebruik hierbj zowel OPrDiií

als OPTPOW, beide

gecom--bineerd met straffuncties van zowel type (1) als (2),

zoals verrneld op biz,

39

en +0 van dit dictaat.

Neem als startpunt steeds bet punt (0,10).

Ga na, of bet punt (2,2) voldoet aan de

Kuhn-Tucker-voorwarden.

Gebruik een random search techniek voor bet vinden

van een _{oed atartpunt binnen de vierhoek}

(0

x

_2.9

0y1O

Illustreer dit probleem door een schets van het

rea--liseringsgebied en enige niveaulijnen van f in bet xOY-vlak.

2.7.2.

Onder de voorwaard-e

(1): x2yl2

, (2): y/x2 _{f/27 ,}

(3): x5 (+): y5

wenst men de vorm

f(x,y) =

_{0.3x2+O.3xy2y2- 6e_5}

+2_8

32)

te minimaliseren.

Bepaal een locaal minimumpunt van f onder deze restric--ties volgens de SUMT-methode. Werk met _{OPTPOW en}

ge--bruik type (2) (zie blz. 1+0) als straffunctie.

Neem als startpunten respectieve1jk (5,5), (k.i,k.i) en (0,0).

Ga na, of bet punt (3,1.) aan de Kuhn-Tucker-voorwaarden

voldoet.

Ninim1iseer f onder deze restricties, uitgaande van een startpunt, dat door een random search binnen het

gehied [o

'x

.5fl

O y

wordt bepaald. werk

vanuit dit startpunt volgens SIJr4T met OP'TCGR en een

straffunctie van type (1).

Illustreer dit probleem door een schets van bet