10. Funkcje trygonometryczne

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Inżynieria Środowiska

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

10. Funkcje trygonometryczne

1. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym.

b

a c

α

sin α =

^b_c

cos α =

^a_c

tg α =

_a^b

ctg α =

^a_b

2. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta.

(x,y)

O x

y r a

sin α =

^y_r

cos α =

^x_r

tg α =

^y_x

x ̸= 0 ctg α =

^x_y

y ̸= 0

3. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej.

f (x) = sin x

• Dziedzina R;

• Zbiór wartości [ −1, 1];

• Funkcja okresowa: okres podstawowy 2π;

• Funkcja nieparzysta (sin(−x) = − sin x).

0 x

y

2?

? 3 2 1

1

-1

f(x)=cosx

? 2?

f (x) = cos x

• Dziedzina R;

• Zbiór wartości [ −1, 1];

• Funkcja okresowa: okres podstawowy 2π;

• Funkcja parzysta (cos(−x) = cos x).

f (x) = tg x

• Dziedzina R \ {

^π₂

+ kπ }, gdzie k ∈ Z;

• Zbiór wartości R;

• Funkcja okresowa: okres podstawowy π;

• Funkcja nieparzysta (tg(−x) = − tg x).

(3)

0 x y

2?

1 ? ₂³?

f(x)=ctgx

2?

f (x) = ctg x

• Dziedzina R \ {kπ}, gdzie k ∈ Z;

• Zbiór wartości R;

• Funkcja okresowa: okres podstawowy π;

• Funkcja nieparzysta (ctg(−x) = − ctg x).

4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kata.

sin

²

x + cos

²

x = 1 jedynka trygonometryczna

tg x = sin x

cos x ctg x = cos x sin x tg x · ctg x = 1

5. Funkcje podwojonego kąta.

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos

²

x − sin

²

x = 1 − 2 sin

²

x = 2 cos

²

x − 1

tg 2x = 2 tg x

1 − tg

²

x , gdy cos x ̸= 0, cos 2x ̸= 0 ctg 2x = ctg

²

x − 1

2 ctg x , gdy sin x ̸= 0, sin 2x ̸= 0 6. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y cos(x − y) = cos x sin y + sin x cos y

tg(x + y) = tg x + tg y

1 − tg x tg y , gdy cos x cos y ̸= 0, cos(x + y) ̸= 0 ctg(x + y) = ctg x ctg y − 1

ctg x + ctg y , gdy sin x sin y ̸= 0, sin(x + y) ̸= 0 tg(x − y) = tg x − tg y

1 + tg x tg y , gdy cos x cos y ̸= 0, cos(x − y) ̸= 0 ctg(x − y) = ctg x ctg y − 1

ctg x − ctg y , gdy sin x sin y ̸= 0, sin(x − y) ̸= 0

(4)

7. Suma i różnica funkcji trygonometrycznych.

sin x + sin y = 2 sin x + y

2 cos x − y

2 sin x − sin y = 2 cos x + y

2 sin x − y 2 cos x + cos y = 2 cos x + y

2 cos x − y

2 cos x − cos y = −2 sin x + y

2 sin x − y 2 tg x + tg y = sin(x + y)

cos x cos y , gdy cos x cos y ̸= 0 ctg x + ctg y = sin(x + y)

sin x sin y , gdy sin x sin y ̸= 0 tg x − tg y = sin(x − y)

cos x cos y , gdy cos x cos y ̸= 0 ctg x − ctg y = sin(y − x)

sin x sin y , gdy sin x sin y ̸= 0 8. Związki między sin x i cos x a tg

^x₂

.

sin x = 2 tg

^x₂

1 + tg

^{2 x}₂

cos x = 1 − tg

^{2 x}₂

1 + tg

^{2 x}₂

tg x = 2 tg

^x₂

1 − tg

^{2 x}₂

ctg x = ctg

^{2 x}₂

− 1 2 ctg

^x₂

9. Tabela wartości funkcji trygonometrycznych kątów z pierwszej ćwiartki.

α 0

^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂

sin α 0

¹₂

√2 2

√3

2

1 cos α 1

√3 2

√2 2

1

2

0 tg α 0

√3

3

1 √

3 ∗ ctg α ∗ √

3 1

^√₃³

0 ∗ nie istnieje

10. Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach.

α (0,

^π₂

) (

^π₂

, π) (π,

³₂

π) (

³₂

π, 2π)

sin α + + − −

cos α + − − +

tg α + − + −

ctg α + − + −

11. Wzory redukcyjne.

I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka α

^π₂

− α

^π₂

+ α π − α π + α

³₂

π − α

³₂

π + α 2π − α sin α cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg α ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α

ctg α tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α

(5)

12. Elementarne równania trygonometryczne.

sin x = sin α ⇐⇒ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z cos x = cos α ⇐⇒ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z tg x = tg α ⇐⇒ x = α + kπ, k ∈ Z

ctg x = ctg α ⇐⇒ x = α + kπ, k ∈ Z

Przykładowe zadania

1. Obliczyć: sin

⁴⁰¹₆

π.

Rozwiązanie:

sin

⁴⁰¹₆

π = sin(66π +

⁵₆

π) (ze wzoru sin(2kπ + α) = sin α) = sin

⁵₆

π = sin(π −

¹₆

π) (ze wzorów redukcyjnych) = sin

¹₆

π =

¹₂

Odpowiedź:

¹₂

. 2. Obliczyć: cos

²⁰₃

π.

Rozwiązanie:

cos

²⁰₃

π = cos(6π +

²₃

π) (ze wzoru cos(2kπ + α) = cos α) = cos

²₃

π = cos(π −

¹₃

π) (ze wzorów redukcyjnych) = − cos

¹₃

π = −

¹₂

Odpowiedź: −

¹₂

. 3. Obliczyć: tg

⁽

−

²⁷⁵₃

π

⁾

.

Rozwiązanie:

tg( −

²⁷⁵₃

π) = − tg

²⁷⁵₃

π (funkcja tangens jest nieparzysta) = − tg(90π +

⁵₃

π) (ze wzoru tg(kπ + α) = tg α) = − tg

⁵₃

π = − tg(2π −

¹₃

π) (ze wzorów redukcyjnych) = tg

¹₃

π = √

3 Odpowiedź: √

3. 4. Obliczyć: ctg

⁷¹₄

π.

Rozwiązanie:

ctg

⁷¹₄

π = ctg(16π +

⁷₄

π) (ze wzoru ctg(kπ + α) = ctg α) = ctg

⁷₄

π = ctg(2π −

¹₄

π) (ze wzorów redukcyjnych) = − ctg

¹₄

π = −1

Odpowiedź: −1.

5. Sprawdzić tożsamość (sin x + cos x)

²

+ (sin x − cos x)

²

= 2.

Rozwiązanie:

(sin x + cos x)

²

+ (sin x − cos x)

²

= sin

²

x + 2 sin x cos x + cos

²

x + sin

²

x − 2 sin x cos x + cos

²

x = 2 sin

²

x + 2 cos

²

x = 2(sin

²

x + cos

²

x) = 2

6. Sprawdzić tożsamość

¹−cos 2x+cos x

sin 2x−sin x

= ctg x.

Rozwiązanie: Tożsamość ta ma sens dla x ̸= kπ

1−cos x+cos 2x

sin 2x−sin x

=

¹−cos x+2 cos²x−1

2 sin x cos x

(bo cos 2α = 2 cos

²

α −1, sin 2α = 2 sin α cos α) =

sin x(2 cos x^{2 cos}²^x^{−cos x}−1)

=

cos x(2 cos x−1)

sin x(2 cos x−1)

=

^{cos x}_{sin x}

= ctg x

(6)

7. Rozwiązać równanie sin x =

^√₂³

. Rozwiązanie:

_√

3

2

= sin

¹₃

π, zatem sin x = sin

¹₃

π

x =

¹₃

π + 2kπ ∨ x = π −

^π₃

π + 2kπ =

²₃

π + 2kπ, k ∈ Z Odpowiedź: x =

¹₃

π + 2kπ ∨ x =

²₃

π + 2kπ, k ∈ Z.

8. Rozwiązać równanie cos 3x =

¹₂

. Rozwiązanie:

Wprowadzamy zmienną pomocniczą u = 3x.

Wówczas otrzymujemy równanie cos u =

¹₂

. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie:

u =

¹₃

π + 2kπ ∨ u = −

¹₃

π + 2kπ

Zatem x =

¹₉

π +

²₃

kπ ∨ x = −

¹₉

π +

²₃

kπ, k ∈ Z Odpowiedź: x =

¹₉

π +

²₃

kπ ∨ x = −

¹₉

π +

²₃

kπ, k ∈ Z.

9. Rozwiązać równanie tg x = √ 3.

Rozwiązanie:

√ 3 = tg

¹₆

π, zatem tg x = tg

¹₆

π x =

¹₆

π + kπ, k ∈ Z

Odpowiedź: x =

¹₆

π + kπ, k ∈ Z

10. Rozwiązać równanie sin

²

x + 2 sin x − 3 = 0.

Rozwiązanie:

Wprowadzamy zmienną pomocniczą sin x = t, t ∈ [−1, 1].

t

²

+ 2t − 3 = 0, ∆ = 16, t

1

= −3 /∈ [−1, 1], t

2

= 1

Rozwiązujemy równanie sin x = 1. Ponieważ 1 = sin

¹₂

π, zatem sin x = sin

¹₂

π, czyli x =

¹₂

π + 2kπ, k ∈ Z

Odpowiedź: x =

¹₂

π + 2kπ, k ∈ Z.

11. Rozwiązać równanie ctg x · cos x + 1 = cos x + ctg x.

Rozwiązanie:

ctg x · cos x + 1 − cos x − ctg x = 0 ctg x(cos x − 1) − (cos x − 1) = 0 (cos x − 1)(ctg x − 1) = 0

cos x − 1 = 0 ∨ ctg x − 1 = 0 cos x = 1 ∨ ctg x = 1

x = 2kπ ∨ x =

¹₄

π + kπ, k ∈ Z

Odpowiedź: x = 2kπ ∨ x =

¹₄

π + kπ, k ∈ Z.

(7)

Rozwiązanie:

cos 2x < −

¹₂

Z wykresu odczytujemy

1

3

π < x <

²₃

π ∨

⁴₃

π < x <

⁵₃

π

Odpowiedź:

¹₃

π < x <

²₃

π ∨

⁴₃

π < x <

⁵₃

π.

13. Rozwiązać nierówność sin x + cos x > 0.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego cos x = sin(

¹₂

π − x) Zatem sin x + sin(

¹₂

π − x) > 0

Stosujemy wzór na sumę sinusów sin x + sin y = 2 sin

^x+y₂

cos

^x^−y₂

2 sin

^x+(

1 2π−x)

2

cos

^x−(

1 2π−x)

2

> 0 2 sin

¹₄

π cos

(

x −

¹₄

π

)

> 0 2 ·

^√₂²

· cos

⁽

x −

¹₄

π

⁾

> 0 cos

(

x −

¹₄

π

)

> 0

Z wykresu funkcji cos odczytujemy

−

¹₂

π + 2kπ < x −

¹₄

π <

¹₂

π + 2kπ

−

¹₄

π + 2kπ < x <

³₄

π + 2kπ, k ∈ Z

Odpowiedź: −

¹₄

π + 2kπ < x <

³₄

π + 2kπ, k ∈ Z.

Zadania

Obliczyć:

1. sin

²₃

π.

2. ctg

⁴₃

π.

3. cos

¹¹₆

π.

4. sin

¹⁰⁰₃

π.

5. tg

²⁷₄

π.

6. ctg

⁹⁸⁸₃

π.

7. ctg

⁴₃

π.

8. sin

⁵₆

π.

9. cos

²⁰⁵₄

π.

10. ctg

³₄

π.

11. cos

⁹⁵₆

π.

12. tg

¹⁵₄

π.

Poniższe kąty wyrazić w mierze łukowej (w radianach):

13. 75

^◦

. 14. 125

^◦

. 15. 290

^◦

.

Poniższe kąty są podane w mierze łukowej. Wyrazić je w mierze stopniowej:

16.

²₅

π. 17.

¹¹₉

π. 18.

³³₁₈

π. 19. 3, 5.

Obliczyć pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, jeśli:

20. sin α =

¹₅

,

^π₂

< α < π.

21. cos α =

¹₃

,

^3π₂

< α < 2π.

22. tg α = −2,

^π₂

< α < π.

23. ctg x = 1, π < α <

^3π₂

.

(8)

Zbadać, czy wśród podanych funkcji są funkcje parzyste lub nieparzyste:

24. sin |x|. 25. − cos

¹₂

x. 26. cos

²

x. 27. | tg 2x|.

Określić znak liczby:

28. sin 10.

29. cos 15.

30. tg 1, 5.

31. ctg 2, 5.

32. tg

(

cos

^3π₄ )

. 33. tg(sin 2, 5).

Obliczyć:

34. tg x wiedząc, że cos x =

³₅

i x ∈ (0,

^π₂

).

35. cos x wiedząc, że sin x = −

³₅

i x ∈ (

³₂

π, 2π).

Sprawdzić tożsamość:

36.

(sin x+cos x)^{1+sin 2x} ²

= 1.

37.

_ctg^tg²2^xx^−sin−cos²²^xx

= tg

⁶

x.

38.

¹_1+tg^−tg²2^xx

= 1 − 2 sin

²

x.

Rozwiązać równanie:

39. tg x = 1.

40. ctg x =

^√₃³

. 41. sin

^x₂

= −

¹₂

.

42. cos 2x =

√3 2

.

43. 2 cos

²

x − 3 cos x = 2.

44. 2 cos x · cos 2x = cos x.

45. sin 4x = cos

⁴

x − sin

⁴

x.

46. sin x = | sin x|.

47. 2 tg x cos x+1 = 2 cos x+tg x.

Rozwiązać nierówność:

48. √

3 tg x − 1 < 0 w przedziale [0, 2π].

49. cos

²

x >

¹₂

.

50. √

3 sin x + cos x > 0.

51. sin x > cos x.

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji:

52. y = sin

²

x − 2 sin x + 4.

53. y = 1 − cos

²

x.

54. y =

¹₂

−

¹₂

sin x.

Naszkicować wykresy funkcji:

55. f (x) = 2 sin x.

56. f (x) = cos 2x.

57. f (x) = cos

¹₂

x + 1.

58. f (x) = 3 sin( −x) + 2.

59. f (x) = tg 2x.

60. f (x) = −| cos x + 1|.

61. f (x) = | ctg x| − 1.

62. f (x) = 3 cos

(1

4

x

)

. 63. f (x) = | ctg x| − 1.

64. f (x) =

¹₃

cos

⁽¹₂

x

⁾