Arkusze maturalne – poziom podstawowy

Nr zadania 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Prawidłowa

odpowiedź ^{a c a b d d c d b a}

Liczba punktów 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Arkusze maturalne – poziom podstawowy

zadania zamknięte

zadania otwarte

Nr zadania Prawidłowa odpowiedź Punkty

11.1. Q = mg = 200 N.

Z III zasady dynamiki wynika, że siła S jako siła reakcji ma taką samą wartość jak siła Q. 

Zatem S = 200 N.

1 4

11.2. Na podstawie II zasady dynamiki mamy: 

F_C − T = ma, gdzie T oznacza siłę tarcia.

Przekształcając wzór otrzymujemy: 

T = F_C − ma = 220 − 100 = 120 N.

Narysowanie wektora T wymaga uwzględnienia jego długości, która stanowi nieco ponad  połowę długości wektora F_C.

2

11.3. Siła tarcia wyraża się wzorem: T = f N, gdzie N oznacza siłę naciskającą na podłoże.

Skrzynia naciska na podłoże swoim ciężarem, dlatego tutaj: N = Q, T = fQ.

Stąd mamy: f = T / Q = 0,6.

1

12.1. Zapisując wzorem wartość siły wyporu dla obu kulek: 

F g V

wyp1= ⋅ ⋅ρ 2,   F_wyp2= ⋅ ⋅ρ g V,

przekonujemy się, że siła działająca na kulkę 2 jest dwa razy większa (kulki zanurzono w tej  samej cieczy i mają taką samą objętość).

1 5

12.2. Na kulki oprócz siły wyporu działa siła ciężkości. Skoro kulka 2 utonęła, to znaczy, że jej ciężar  jest większy niż działająca na nią siła wyporu. Wynika stąd wniosek, że kulki mają różną gęstość –   są zrobione z różnych substancji.

1

F_C

→

T→

12.3. Kulka 1 unosi się w wodzie, co oznacza, że działająca na nią siła ciężkości jest zrównoważona  przez siłę wyporu:

F_wyp1= , czyli  ρ⋅ ⋅ =Q g V

2 mg.  Po przekształceniu tego wzoru do postaci:

ρ = 2 m

V można zauważyć, że po prawej stronie występuje  ρ =_kulki m V.

To pozwala na wniosek, że:  ρ = 2ρ_kulki.  Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy wynik:

1000 2= ρ_kulki, z czego wynika:  ρ_kulki= 500kg m³.

3

13.1. Z  karty  wzorów  i  stałych  fizycznych  odczytujemy  promień  Ziemi  i  obliczamy  odległość   Księżyca od Ziemi:  r = 60 ⋅ 6370 km = 382 200 km = 3,82 ⋅ 10⁸ m.

Wykorzystujemy wzór definiujący natężenie pola:  γ =F m

g.

W sytuacji opisanej w zadaniu w liczniku będzie siła przyciągania między Ziemią i Księżycem,  a w mianowniku – masa Księżyca: 

γ = =

⋅ F =

m

GM M Mr GM

r

g

Z K

K 2 Z

2 . 

Po podstawieniu danych otrzymujemy:  γ =GM = ⋅ r

Z

2 2 7 10, ⁻³N

kg. Masę Ziemi i stałą G odczy- tujemy z karty wzorów.

2 5

13.2. Obliczamy  masę  Księżyca:  M_K = 7,38 ⋅ 10²² kg.  Przekształcając  wzór  definiujący  natężenie  pola, otrzymujemy:  F= ⋅γ M_K. Skąd, po podstawieniu wartości liczbowych, mamy:

F =2 7 10 7 38 10, ⋅ ⁻³⋅ , ⋅ ²²≈20 10⋅ ¹⁹N .

1

13.3. Stosunek siły przyciągania grawitacyjnego na Ziemi do siły przyciągania grawitacyjnego na  Księżycu wyrażamy poprzez wielkości, które są znane:

F F

GM m R GM m

R

M R M R

Z K

Z Z K

K

Z K

K Z

=

⋅

⋅ = ⋅

⋅

2

2

2

2 .  Podstawienie  do  powyższego  wzoru:  M_Z = 81  M_K  oraz  R_Z = 3,7  R_K 

daje: F F

M R

M R

Z K

K K

K K

= ⋅

⋅ =

81

3 7_{2 2}² 5 92 6

( , ) , ≈ .

2

14.1.

N→

l

x α

1 5

14.2. Z podobieństwa trójkątów utworzonych przez wektory sił oraz przez nitkę i połowę odległości 

między piłeczkami wynika, że: F Q

d x

d x

e= =2

2 .

Podstawiając odpowiednie wzory w miejsce sił F_e oraz Q, otrzymujemy: 

kq mgd

d x

2 2

=2 . Po uporządkowaniu mamy:  kq

mgd d

x

2

2 =2 , czyli: 2xkq mgd²= ³, skąd otrzymujemy wzór na wiel- kość szukaną m:  m kq x

= gd²2₃

. Pamiętając, że wielkości znane to m, q, g, k oraz długość nitki l, 

 widzimy, że do wyznaczenia m brakuje tylko x. Wyznaczamy x poprzez wielkości znane z twier-

dzenia Pitagorasa:  x= l² d²

− 4 . Ostatecznie wyrażenie na masę przyjmuje postać:

m kq l d gd

kq l d

= = gd

2 2 2

3

2 2 2

4 43

− −

.

4

15. Obliczamy stałą siatki:

d = 1 mm / 200 = 0,005 mm = 5 ⋅ 10⁻⁶ m.

Najwyższy rząd widma odnosi się do jasnego prążka, który jest najbardziej oddalony od prąż- ka centralnego. Jednak nie może on się znajdować w odległości, której odpowiada kąt 90°. 

 Zatem wygodnie jest obliczyć rząd widma, który odpowiadałby temu kątowi, a otrzymany  wynik zmniejszyć do liczby całkowitej (rząd widma jest liczbą całkowitą).

Dla siatki dyfrakcyjnej słuszny jest wzór:  nλ= sin .d α Uwzględniając, że sin 90°= 1, otrzymujemy:

n= =d ⋅

⋅ = =

λ 5 10 6 10

50 6 8 33

−

− 6

7 , .

Ponieważ nie może istnieć prążek 9. rzędu, mamy pewność, że najwyższy rząd widma to 8.

2

16.1. Na proton działa siła Lorentza, która powoduje jego ruch po okręgu i odgrywa tutaj rolę siły  dośrodkowej: F_L = F_d.

Podstawiając w miejsce obu sił odpowiadające im wzory, mamy:  q B m

ν rν

= ², czyli:  qB m

= rν . Po prawej stronie występuje pęd protonu:  qB p

= .r

Stąd obliczamy pęd:  p qBr= =1 6 0 2 0 1 0 032 10, ⋅ , ⋅ , = , ⋅ ⁻¹⁹=3 2 10, ⋅ ⁻²¹kgm s.

2 3

16.2.

Korzystamy ze wzoru:  λ = = ⋅

⋅ = ⋅

h p

6 63 10

3 2 10, ₂₁³⁴ 2 07 10¹³

, ₋⁻ , ⁻ m.

1

17.1.

t[h]

N×10⁸

00

50 100 150 200 250 300

2 4 6 8 10 12 14 16

18 2 3

17.2. Czas, po którym w próbce zostanie połowa początkowej liczby jąder, wynosi około 82 go- dziny.

1

18.1. Obliczamy energię elektronu na poziomie wzbudzonym n = 3: 

E₃ 13 6₂

3 1 5

=− , =−, eV i energię elektronu na poziomie podstawowym:  E₁ 13 6₂

1 13 6

=− , =− , eV.

Różnica  między  nimi  jest  wypromieniowana  z  atomu  w  postaci  fali  elektromagnetycznej.  

Fotony tego promieniowania mają więc energię: 

E_f =E₃−E₁=− − −1 5, ( 13 6, )=12 1, eV=12 1 1 6 10, ,⋅ ⋅ ⁻¹⁹J=19 36 10, ⋅ ⁻¹⁹J .

Energia fotonu zależy od częstotliwości fali:  E_f = ⋅ , skąd obliczamy częstotliwość światła h f  wysyłanego przez wodór: 

f E h

= f = ⋅

⋅ = ⋅

19 36 10

6 63 10, ₃₄¹⁹ 2 9 10¹⁵

, ₋⁻ , Hz.

3 4

18.2. Wszystkie fale elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością c, zatem:  c

T f

= = ⋅λ λ . Stąd po przekształceniu mamy:  λ = = ⋅

⋅ = ⋅

c f

3 10

2 9 10⁸₁₅ 1 03 10 ⁷

, , ⁻ m.

1

19.1. Fotony światła padającego na katodę muszą mieć energię co najmniej równą pracy wyjścia  elektronów z wolframu: W h f= ⋅ ._gr

Po przekształceniu obliczamy częstotliwość graniczną. Pracę wyjścia trzeba przy tym wyra-

2 4

20. Do polaryzacji światła odbitego dochodzi wtedy, gdy kąt, jaki tworzy promień odbity z pro- mieniem załamanym, wynosi 90°.

Analiza rysunku pozwala zauważyć, że kąt odbicia i tym samym kąt padania musi wynosić  60^°. Jest to kąt Brewstera, który spełnia warunek:  tgα = . Stąd obliczamy: n = tg60 1,73n ° = .

2

21. Korzystamy ze wzoru na moc, w którym pracę zastąpimy energią promieniowania: 

P W

t E

= = .t

Na energię wiązki światła laserowego składa się energia wszystkich fotonów. 

Jeżeli energia jednego z nich wynosi E_f, to energia n fotonów będzie n razy większa. Zatem: 

P n E t

n h f t

= ⋅ f

= ⋅ ⋅ .

Przekształcając ten wzór, otrzymamy wyrażenie pozwalające obliczyć liczbę fotonów:  n Pt

=hf. Możemy go wykorzystać, obliczając wcześniej częstotliwość światła laserowego:  f=c

λ. Po wstawieniu tego wyrażenia do wzoru na n ostatecznie mamy:

n Pt

= hc = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

λ 210 10 1 4 05 10 6 63 10 3 10

850 5 10 19

3 7

34 8

− − 0

−

, −

,

, ¹

,, ,

89 10₂₆ 42 76 10¹⁶

⋅ ₋ = ⋅ .

3