LICZBY ZESPOLONE

LICZBY ZESPOLONE

JJ, IMiF UTP

23

LICZBY ZESPOLONE

DEFINICJA. Liczba zespolona, to liczba z = a + bi ,

gdzie a oraz b to liczby rzeczywiste, natomiast i to jednostka urojona o własności

i²= −1.

Liczba a to część rzeczywista liczby z, liczba b to część urojona liczby z.

Sprzężeniem liczby z nazywamy liczbę ⁻z = a − bi . Czasami jednostkę urojoną i oznacza się przez j .

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 2 / 1

DZIAŁANIA

DZIAŁANIA na liczbach zespolonych definiuje się następująco:

(a1+ b1i ) + (a2+ b2i ) = (a1+ a2) + (b1+ b2)i ; (a₁+ b₁i ) − (a₂+ b₂i ) = (a₁− a₂) + (b₁− b₂)i ; (a₁+ b₁i )(a₂+ b₂i ) = (a₁a₂− b₁b₂) + (a₁b₂+ b₁a₂)i ;

a1+b1i

a2+b2i = ^a1a_a²2^+b1b2

2+b²₂ +^b1_a^a22^−a1b2

2+b²₂ i , o ile a²₂+ b²₂ 6= 0.

Rozwiązania równania kwadratowego.

TWIERDZENIE. Rozwiązaniami równania kwadratowego

az²+ bz + c = 0 (tutaj a, b, c to dowolne liczby zespolone oraz a 6= 0) są z1= ^−b−p_2a oraz z2 = ^−b+p_2a , gdzie p jest taką liczbą, że

p² = b²− 4ac (czyli p =√

∆, a mówiąc precyzyjniej, p jest dowolnie wybranym − jednym z dwóch − pierwiastków z ∆).

Uzasadnienie. Wykażemy, że

az²+ bz + c = a(z − z₁)(z − z₂).

P = a z − ^−b−p_2a
z − ^−b+p_2a
= a z +_2a^b +_2a^p
z + _2a^b −_2a^p
=

a^ z +_2a^b
2− _2a^p
2= a z²+ 2_2a^bz +_4a^b22 −_4a^p2₂
= az²+ bz +^b2_4a^−p2 = az²+ bz +^b2−b_4a^2+4ac = az²+ bz + c = L

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 4 / 1

Rozwiązania równania kwadratowego.

TWIERDZENIE. Rozwiązaniami równania kwadratowego

az²+ bz + c = 0 (tutaj a, b, c to dowolne liczby zespolone oraz a 6= 0) są z1= ^−b−p_2a oraz z2 = ^−b+p_2a , gdzie p jest taką liczbą, że

p² = b²− 4ac (czyli p =√

∆, a mówiąc precyzyjniej, p jest dowolnie wybranym − jednym z dwóch − pierwiastków z ∆).

Uzasadnienie. Wykażemy, że

az²+ bz + c = a(z − z₁)(z − z₂).

P = a z − ^−b−p_2a
z − ^−b+p_2a
= a z +_2a^b +_2a^p
z + _2a^b −_2a^p
=

a^ z +_2a^b
2− _2a^p
2= a z²+ 2_2a^bz +_4a^b22 −_4a^p2₂
= az²+ bz +^b2_4a^−p2 = az²+ bz +^b2−b_4a^2+4ac = az²+ bz + c = L

Rozwiązania równania kwadratowego.

TWIERDZENIE. Rozwiązaniami równania kwadratowego

az²+ bz + c = 0 (tutaj a, b, c to dowolne liczby zespolone oraz a 6= 0) są z1= ^−b−p_2a oraz z2 = ^−b+p_2a , gdzie p jest taką liczbą, że

p² = b²− 4ac (czyli p =√

∆, a mówiąc precyzyjniej, p jest dowolnie wybranym − jednym z dwóch − pierwiastków z ∆).

Uzasadnienie. Wykażemy, że

az²+ bz + c = a(z − z₁)(z − z₂).

P = a z − ^−b−p_2a
z − ^−b+p_2a
= a z +_2a^b +_2a^p
z + _2a^b −_2a^p
= a^ z + _2a^b
2− _2a^p
2= a z²+ 2_2a^bz +_4a^b22 − ^p2

4a²

= az²+ bz +^b2_4a^−p2 = az²+ bz +^b2−b_4a^2+4ac = az²+ bz + c = L

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 4 / 1

Rozwiązania równania kwadratowego

PRZYKŁAD. Rozwiązać równanie z²+ 4z + 5 = 0.

∆ = b²− 4ac = 16 − 20 = −4, p =√

∆ = 2i , ponieważ (2i )²= 4i² = 4 · (−1) = −4 (możemy także przyjąć p = −2i ). Zatem:

z₁= −4 − 2i

2 = −2 − i , z2= −4 + 2i

2 = −2 + i .

Rozwiązania równania kwadratowego

PRZYKŁAD. Rozwiązać równanie z²+ 4z + 5 = 0.

∆ = b²− 4ac = 16 − 20 = −4,

p =√

∆ = 2i , ponieważ (2i )²= 4i² = 4 · (−1) = −4 (możemy także przyjąć p = −2i ). Zatem:

z₁= −4 − 2i

2 = −2 − i , z2= −4 + 2i

2 = −2 + i .

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 5 / 1

Rozwiązania równania kwadratowego

PRZYKŁAD. Rozwiązać równanie z²+ 4z + 5 = 0.

∆ = b²− 4ac = 16 − 20 = −4, p =√

∆ = 2i , ponieważ (2i )²= 4i² = 4 · (−1) = −4 (możemy także przyjąć p = −2i ).

Zatem:

z₁ = −4 − 2i

2 = −2 − i , z2 = −4 + 2i

2 = −2 + i .

TWIERDZENIE. Suma krotności wszystkich rozwiązań równania n-tego stopnia wynosi n.

PRZYKŁAD. Rozwiązać równanie z⁷+ 11z⁵+ 19z³+ 9z = 0.

z⁷+ 11z⁵+ 19z³+ 9z = 0 z(z⁶+ 11z⁴+ 19z²+ 9) = 0 z^z⁴(z²+ 9) + 2z²(z²+ 9) + z²+ 9^= 0

z(z²+ 9)(z⁴+ 2z²+ 1) = 0 z(z²+ 9)(z²+ 1)² = 0

z₁= 0, z₂= 3i , z₃ = −3i , z₄ = z₅ = i , z₆= z₇= −i

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 6 / 1

TWIERDZENIE. Suma krotności wszystkich rozwiązań równania n-tego stopnia wynosi n.

PRZYKŁAD. Rozwiązać równanie z⁷+ 11z⁵+ 19z³+ 9z = 0.

z⁷+ 11z⁵+ 19z³+ 9z = 0 z(z⁶+ 11z⁴+ 19z²+ 9) = 0 z^z⁴(z²+ 9) + 2z²(z²+ 9) + z²+ 9^= 0

z(z²+ 9)(z⁴+ 2z²+ 1) = 0 z(z²+ 9)(z²+ 1)² = 0

z₁= 0, z₂= 3i , z₃ = −3i , z₄ = z₅ = i , z₆= z₇= −i

Postać trygonometryczna.

UWAGA. Każdej liczbie zespolonej z = a + bi odpowiada punkt(a, b) na płaszczyźnie oraz każdemu punktowi (a, b) na płaszczyźnie odpowiada liczba zespolona z = a + bi .

1 x

y

2 0

(a, b)

a b

1

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 7 / 1

Postać trygonometryczna.

UWAGA. Każdej liczbie zespolonej z = a + bi odpowiada punkt (a, b) na płaszczyźnie oraz każdemu punktowi (a, b) na płaszczyźnie odpowiada liczba zespolona z = a + bi .

1 x

y

2 0

a + bi

a bi

i

Postać trygonometryczna.

DEFINICJA. Moduł liczby zespolonej z = a + bi (gdzie a, b ∈ R), to liczba |z| =√

a²+ b².Argument liczby z 6= 0, to każda liczba ϕ taka, że cos ϕ = _|z|^a , sin ϕ = _|z|^b.

ϕ

1 x

y

2 0

(a, b) a + bi

a bi

i |z|

WNIOSEK. Liczbę z = a + bi można zapisać w postaci trygonometrycznej

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 8 / 1

Postać trygonometryczna.

DEFINICJA. Moduł liczby zespolonej z = a + bi (gdzie a, b ∈ R), to liczba |z| =√

a²+ b².Argument liczby z 6= 0, to każda liczba ϕ taka, że cos ϕ = _|z|^a , sin ϕ = _|z|^b.

ϕ

1 x

y

2 0

a + bi

a bi

i |z|

WNIOSEK. Liczbę z = a + bi można zapisać w postaci trygonometrycznej

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

Postać trygonometryczna.

DEFINICJA. Moduł liczby zespolonej z = a + bi (gdzie a, b ∈ R), to liczba |z| =√

a²+ b².Argument liczby z 6= 0, to każda liczba ϕ taka, że cos ϕ = _|z|^a , sin ϕ = _|z|^b.

ϕ

1 x

y

2 0

a + bi

a bi

i |z|

WNIOSEK. Liczbę z = a + bi można zapisać w postaci trygonometrycznej

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 8 / 1

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD.

Moduł liczby z =√

3 − i jest równy |z| = q

(√

3)²+ (−1)²= 2, argument ϕ = ¹¹₆π, gdyż cos¹¹₆π =

√3

2 , sin¹¹₆π = −¹₂.

Zatem

√

3 − i = 2(cos11

6 π + i sin11 6 π).

PRZYKŁAD

PRZYKŁAD.

Moduł liczby z =√

3 − i jest równy |z| = q

(√

3)²+ (−1)²= 2, argument ϕ = ¹¹₆π, gdyż cos¹¹₆π =

√3

2 , sin¹¹₆π = −¹₂. Zatem

√

3 − i = 2(cos11

6 π + i sin11 6 π).

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 9 / 1

Mnożenie i dzielenie.

WŁASNOŚĆ. Gdy z₁ = |z₁|(cos ϕ₁+ i sin ϕ₁) oraz z₂ = |z₂|(cos ϕ₂+ i sin ϕ₂), to

z₁z₂ = |z₁||z₂|^cos(ϕ₁+ ϕ₂) + i sin(ϕ₁+ ϕ₂)^, z₁

z₂ = |z₁|

|z₂|

cos(ϕ₁− ϕ₂) + i sin(ϕ₁− ϕ₂)^ (dla z₂ 6= 0).

WZÓR DE MOIVRE’A.

Dla dowolnej liczby naturalnej n:

(cos ϕ + i sin ϕ)ⁿ= cos nϕ + i sin nϕ.

PRZYKŁAD. Oblicz (−1 + i )¹⁴.

(−1 + i )¹⁴=^

√ 2 cos3

4π + i sin3

4π
^14=

√

2
¹⁴ cos3

4π + i sin3 4π
¹⁴

=

√

2
¹⁴ cos 14 · 3

4π + i sin 14 ·3

4π
= 2⁷ cos21

2 π + i sin21 2 π

= 128^cos 10π + 1

2π
+ i sin 10π +1 2π
^

= 128 cos1

2π + i sin1

2π
= 128i

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 11 / 1

WZÓR DE MOIVRE’A.

Dla dowolnej liczby naturalnej n:

(cos ϕ + i sin ϕ)ⁿ= cos nϕ + i sin nϕ.

PRZYKŁAD. Oblicz (−1 + i )¹⁴.

(−1 + i )¹⁴=^

√ 2 cos3

4π + i sin3

4π
^14=

√

2
¹⁴ cos3

4π + i sin3 4π
¹⁴

=

√

2
¹⁴ cos 14 · 3

4π + i sin 14 · 3

4π
= 2⁷ cos21

2 π + i sin21 2 π

= 128^cos 10π + 1

2π
+ i sin 10π +1 2π
^

= 128 cos1

2π + i sin1

2π
= 128i

WZÓR DE MOIVRE’A - jedno z zastosowań

(cos α + i sin α)³=cos 3α+i sin 3α

(cos α + i sin α)³

=cos³α+3i cos²α sin α−3 cos α sin²α−i sin³α WNIOSEK.

cos 3α = cos³α − 3 cos α sin²α sin 3α = 3 cos²α sin α − sin³α

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 12 / 1

WZÓR DE MOIVRE’A - jedno z zastosowań

(cos α + i sin α)³=cos 3α+i sin 3α

(cos α + i sin α)³

=cos³α+3i cos²α sin α−3 cos α sin²α−i sin³α

WNIOSEK.

cos 3α = cos³α − 3 cos α sin²α sin 3α = 3 cos²α sin α − sin³α

WZÓR DE MOIVRE’A - jedno z zastosowań

(cos α + i sin α)³=cos 3α+i sin 3α

(cos α + i sin α)³

=cos³α+3i cos²α sin α−3 cos α sin²α−i sin³α WNIOSEK.

cos 3α = cos³α − 3 cos α sin²α sin 3α = 3 cos²α sin α − sin³α

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 12 / 1

Pierwiastki

TWIERDZENIE. Gdy z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0, to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z; są one opisane wzorem:

qn

|z| cosϕ + 2kπ

n + i sinϕ + 2kπ n

, dla k = 0, 1, . . . , n − 1.

Pierwiastki

PRZYKŁAD.

Znajdź wszystkie (trzy) pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

Postać trygonometryczna tej liczby to −8 = 8(cos π + i sin π). Pierwiastki w0, w1, w2 są opisane wzorem:

wk = ³

√

8 cosπ + 2kπ

3 + i sinπ + 2kπ 3

, dla k = 0, 1, 2.

Zatem w0=√³

8 cosπ

3 + i sinπ 3

= 2 1 2 +

√ 3

2 i
= 1 +√ 3i ,

w₁ =√³

8 cosπ + 2π

3 + i sinπ + 2π 3

= −2,

w₂ =√³

8 cosπ + 4π

3 + i sinπ + 4π 3

= 1 −√ 3i .

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 14 / 1

Pierwiastki

PRZYKŁAD.

Znajdź wszystkie (trzy) pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

Postać trygonometryczna tej liczby to −8 = 8(cos π + i sin π). Pierwiastki w0, w1, w2 są opisane wzorem:

wk = ³

√

8 cosπ + 2kπ

3 + i sinπ + 2kπ 3

,

dla k = 0, 1, 2. Zatem w0=√³

8 cosπ

3 + i sinπ 3

= 2 1 2 +

√ 3

2 i
= 1 +√ 3i ,

w₁ =√³

8 cosπ + 2π

3 + i sinπ + 2π 3

= −2,

w₂ =√³

8 cosπ + 4π

3 + i sinπ + 4π 3

= 1 −√ 3i .

Pierwiastki

PRZYKŁAD.

Znajdź wszystkie (trzy) pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

Postać trygonometryczna tej liczby to −8 = 8(cos π + i sin π). Pierwiastki w0, w1, w2 są opisane wzorem:

wk = ³

√

8 cosπ + 2kπ

3 + i sinπ + 2kπ 3

,

dla k = 0, 1, 2. Zatem w0=√³

8 cosπ

3 + i sinπ 3

= 2 1 2 +

√ 3

2 i
= 1 +√ 3i ,

w₁ =√³

8 cosπ + 2π

3 + i sinπ + 2π 3

= −2,

w₂ =√³

8 cosπ + 4π

3 + i sinπ + 4π 3

= 1 −√ 3i .

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 14 / 1

Pierwiastki

PRZYKŁAD.

Znajdź wszystkie (trzy) pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

Postać trygonometryczna tej liczby to −8 = 8(cos π + i sin π). Pierwiastki w0, w1, w2 są opisane wzorem:

wk = ³

√

8 cosπ + 2kπ

3 + i sinπ + 2kπ 3

,

dla k = 0, 1, 2. Zatem w0=√³

8 cosπ

3 + i sinπ 3

= 2 1 2 +

√ 3

2 i
= 1 +√ 3i ,

w₁ =√³

8 cosπ + 2π

3 + i sinπ + 2π 3

= −2,

w₂=√³

8 cosπ + 4π

3 + i sinπ + 4π 3

= 1 −√ 3i .

Narysuj wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

w0= 1 +

√

3i , w1= −2, w2= 1 −

√ 3i .

i

1 x

y

2 0

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 15 / 1

Narysuj wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

w0= 1 +

√

3i, w1= −2, w2= 1 −

√ 3i .

i

1 x

y

2 0

Narysuj wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

w0= 1 +

√

3i , w1= −2, w2= 1 −

√ 3i .

i

1 x

y

2 0

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 15 / 1

Narysuj wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

w0= 1 +

√

3i , w1= −2, w2= 1 −

√ 3i.

i

1 x

y

2 0

Narysuj wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

w0= 1 +

√

3i , w1= −2, w2= 1 −

√ 3i .

i

1 x

y

2 0

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 15 / 1

Narysuj wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

w0= 1 +

√

3i , w1= −2, w2= 1 −

√ 3i .

i

1 x

y

2 0

Narysuj wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby −8.

w0= 1 +

√

3i , w1= −2, w2= 1 −

√ 3i .

i

1 x

y

2 0

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 15 / 1

Narysuj wszystkie pierwiastki szóstego stopnia z liczby 1.

x y

1 0

1 2+ ¹₂√

−¹₂ +¹₂√ 3i 3i

−1

−¹₂ −¹₂√

3i ¹₂− ¹₂√

3i

Narysuj wszystkie pierwiastki szóstego stopnia z liczby 1.

x y

1 0

1 2+ ¹₂√

−¹₂ +¹₂√ 3i 3i

−1

−¹₂ −¹₂√

3i ¹₂− ¹₂√

3i

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 16 / 1

Narysuj wszystkie pierwiastki szóstego stopnia z liczby 1.

x y

1 0

1 2+ ¹₂√

−¹₂ +¹₂√ 3i 3i

−1

−¹₂ −¹₂√

3i ¹₂− ¹₂√

3i

Narysuj wszystkie pierwiastki szóstego stopnia z liczby 1.

x y

1 0

1 2+ ¹₂√

3i

−¹₂ +¹₂√ 3i

−1

−¹₂ −¹₂√

3i ¹₂− ¹₂√

3i

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 16 / 1

WZÓR EULERA.

e^{i ϕ} = cos ϕ + i sin ϕ.

WNIOSEK. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej:

z = |z|e^{i ϕ}.

WNIOSEK. Gdy z1 = |z1|e^{i ϕ1}, z2 = |z2|e^{i ϕ2}, to z1· z₂= |z1||z₂|e^{i (ϕ1+ϕ2)}

z1

z₂ = |z₁|

|z₂|· e^{i (ϕ1−ϕ2)} (z₁)ⁿ= |z₁|ⁿ· e^{ni ϕ1}

WZÓR EULERA.

e^{i ϕ} = cos ϕ + i sin ϕ.

WNIOSEK. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej:

z = |z|e^{i ϕ}.

WNIOSEK. Gdy z1 = |z1|e^{i ϕ1}, z2 = |z2|e^{i ϕ2}, to z1· z₂= |z1||z₂|e^{i (ϕ1+ϕ2)}

z1

z₂ = |z₁|

|z₂|· e^{i (ϕ1−ϕ2)} (z1)ⁿ= |z1|ⁿ· e^{ni ϕ1}

(IMiF UTP) LICZBY ZESPOLONE 23 17 / 1