SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 13, 2014-01-17
Całkowanie przez podstawienie: Jeżeli g :< a , b >→< g(a) , g(b) > jest klasy C1 to:
Zb
a
f (g(x)) · g0(x)dx =
g(b)
Z
g(a)
f (t)dt
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Uwaga: Twierdzenie to jest prawdziwe zarówno dla g(b) > g(a) jak i w przypadku g(b) ¬ g(a). Jest też prawdziwe dla b ¬ a .
Uwaga: Całkowanie przez podstawienie jest prostsze dla całki Riemanna niż dla całki nie- oznaczonej ponieważ po podstawienie i zmianie granic całkowania nie musimy wracać do zmiennej x.
Przykład: Obliczyć
1
Z
0
6x2 x3+ 1xdx Stosujemy podstawienie:
Z1
0
6x2
x3+ 1xdx =
t = x3+ 1 dt = 3x2dx x = 0 =⇒ t = 1 x = 1 =⇒ t = 2
=
Z2
1
2
tdt =h2 ln |t|i2
1 = 2 ln 2 − 2 ln 1 = 2 ln 2
Całkowanie przez części: Jeżeli f, g :< a , b >→ R są klasy C1 to:
b
Z
a
f (x) · g0(x)dx =hf (x) · g(x)ib
a−
b
Z
a
f0(x) · g(x)dx
Uwaga: Proszę pamiętać o granicach przy iloczynie funkcji: hf (x) · g(x)ib
a . Przykład: Obliczyć
1
Z
0
xexdx Całkujemy przez części:
1
Z
0
xexdx =
( f (x) = x g0(x) = ex f0(x) = 1 g(x) = ex
)
=hx · exi1
0−
1
Z
0
1 · exdx = e − 0 −hexi1
0 = e − (e − 1) = 1
Całkowanie po przedziale symetrycznym:
Twierdzenie: Jeżeli f :< −a , a >→ R jest parzysta (f (−x) = f (x)) to:
a
Z
−a
f (x)dx = 2 ·
a
Z
0
f (x)dx
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Twierdzenie: Jeżeli f :< −a , a >→ R jest nieparzysta (f (−x) = −f (x)) i istnieje całka
a
Z
−a
f (x)dx to:
Za
−a
f (x)dx = 0
Przykład: Obliczyć
1
Z
−1
sin x ex2+ cos xdx
1
Funkcja f (x) = sin x
ex2 + cos x jest nieparzysta (na przedziale < −1, 1 >) : f (−x) = sin(−x)
e(−x)2 + cos(−x) = − sin x
ex2 + cos x = −f (x) Funkcja ta jest ciągła, a więc jest całkowalna. Stąd:
Z1
−1
sin x
ex2 + cos xdx = 0 Przykład: Obliczyć
1
Z
−1
(10x4− 3x2)dx
Funkcja f (x) = 10x4 − 3x2 jest parzysta (na przedziale < −1, 1 >) : f (−x) = 10(−x)4− 3(−x)2 = 10x4− 3x2 = f (x). Stąd
1
Z
−1
(10x4− 3x2)dx = 2
1
Z
0
(10x4− 3x2)dx = 2h2x5− x3i1
0 = 2 · (2 − 1) = 2 Przykład: Obliczyć
3
Z
−3
(sin3x + x2)dx
Ponieważ funkcja sin3x jest nieparzysta i ciągłą, a funkcja x2 jest parzysta, więc:
Z3
−3
(sin3x + x2)dx =
Z3
−3
sin3xdx +
Z3
−3
x2dx = 0 + 2
Z3
0
x2dx = 2hx3 3
i3
0 = 2 · (9 − 0) = 18
Wartość średnia funkcji
Definicja wartości średniej: Jeżeli f :< a , b >→ R jest całkowalna to wartością średnią funkcji f na przedziale < a , b > nazywamy:
f = 1 b − a
b
Z
a
f (x)dx
Uwaga 1: Jeżeli podzielimy przedział < a, b > na n równych części, obliczymy średnią arytmetyczną wartości funkcji w punktach podziału i przejdziemy do granicy n → ∞ to dostaniemy tak zdefiniowaną wartość średnią funkcji.
Uwaga 2: Jeżeli f > 0 to wartość średnia jest długością boku prostokąta o polu równym polu pod wykresem funkcji (podstawa jest taka sama - przedział < a, b > ).
Uwaga 3: Widać, że zachodzą nierówności: inf
<a,b>f ¬ f ¬ sup
<a,b>
f .
Przykład: Obliczyć wartość średnią funkcji f (x) = x2 na przedziale < 1.4 >
f = 1 4 − 1
4
Z
1
x2dx = 1 3
hx3 3
i4 1 = 7
Definicja wartości średniej ważonej: Jeżeli f, g :< a , b >→ R są całkowalne , funkcja g 0 oraz
Zb
a
g(x)dx > 0 to wartością średnią funkcji f z wagą g na przedziale < a , b >
nazywamy:
f =
b
Z
a
f (x)g(x)dx
b
Z
a
g(x)dx
2
Przykład: Obliczyć wartość średnią funkcji f (x) = x z wagą g(x) = 1xna przedziale < 1.2 >
f =
Z2
1
x · 1 xdx
2
Z
1
1 xdx
Z2
1
x · 1
xdx = hxi2
1 = 1
2
Z
1
1
xdx = hln |x|i2
1 = ln 2 f = 1
ln 2
Uwaga: Widać, że zachodzą nierówności: inf
<a,b>f ¬ f ¬ sup
<a,b>
f .
Definicja wartości średniej kwadratowej: Jeżeli f :< a , b >→ R jest całkowalna to wartością średnią kwadratową funkcji f na przedziale < a , b > nazywamy:
fsk =
q
f2
Przykład: Obliczyć wartość średnią kwadratową funkcji f (x) = cos x na przedziale
< 0 , 2π >
(fsk)2 = 1 2π − 0
Z2π
0
cos2xdx = 1 2π
Z2π
0
1 + cos 2x
2 dx = 1
4π
hx +sin 2x 2
i2π
0 = 1
2 fsk =q12
Zastosowanie: Napięcie prądu zmiennego jest równe U (t) = U0cos(ωt) . Napięciem sku- tecznym nazywamy średnią kwadratową napięcia po pełnym okresie. Stąd Usk = U0
√2
Twierdzenie o wartości średniej: Jeżeli f :< a , b >→ R jest ciągła to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (c) = f
3