• Nie Znaleziono Wyników

Całkowanie po przedziale symetrycznym:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całkowanie po przedziale symetrycznym:"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 13, 2014-01-17

Całkowanie przez podstawienie: Jeżeli g :< a , b >→< g(a) , g(b) > jest klasy C1 to:

Zb

a

f (g(x)) · g0(x)dx =

g(b)

Z

g(a)

f (t)dt

przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.

Uwaga: Twierdzenie to jest prawdziwe zarówno dla g(b) > g(a) jak i w przypadku g(b) ¬ g(a). Jest też prawdziwe dla b ¬ a .

Uwaga: Całkowanie przez podstawienie jest prostsze dla całki Riemanna niż dla całki nie- oznaczonej ponieważ po podstawienie i zmianie granic całkowania nie musimy wracać do zmiennej x.

Przykład: Obliczyć

1

Z

0

6x2 x3+ 1xdx Stosujemy podstawienie:

Z1

0

6x2

x3+ 1xdx =

t = x3+ 1 dt = 3x2dx x = 0 =⇒ t = 1 x = 1 =⇒ t = 2

=

Z2

1

2

tdt =h2 ln |t|i2

1 = 2 ln 2 − 2 ln 1 = 2 ln 2

Całkowanie przez części: Jeżeli f, g :< a , b >→ R są klasy C1 to:

b

Z

a

f (x) · g0(x)dx =hf (x) · g(x)ib

a

b

Z

a

f0(x) · g(x)dx

Uwaga: Proszę pamiętać o granicach przy iloczynie funkcji: hf (x) · g(x)ib

a . Przykład: Obliczyć

1

Z

0

xexdx Całkujemy przez części:

1

Z

0

xexdx =

( f (x) = x g0(x) = ex f0(x) = 1 g(x) = ex

)

=hx · exi1

0

1

Z

0

1 · exdx = e − 0 −hexi1

0 = e − (e − 1) = 1

Całkowanie po przedziale symetrycznym:

Twierdzenie: Jeżeli f :< −a , a >→ R jest parzysta (f (−x) = f (x)) to:

a

Z

−a

f (x)dx = 2 ·

a

Z

0

f (x)dx

przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.

Twierdzenie: Jeżeli f :< −a , a >→ R jest nieparzysta (f (−x) = −f (x)) i istnieje całka

a

Z

−a

f (x)dx to:

Za

−a

f (x)dx = 0

Przykład: Obliczyć

1

Z

−1

sin x ex2+ cos xdx

1

(2)

Funkcja f (x) = sin x

ex2 + cos x jest nieparzysta (na przedziale < −1, 1 >) : f (−x) = sin(−x)

e(−x)2 + cos(−x) = − sin x

ex2 + cos x = −f (x) Funkcja ta jest ciągła, a więc jest całkowalna. Stąd:

Z1

−1

sin x

ex2 + cos xdx = 0 Przykład: Obliczyć

1

Z

−1

(10x4− 3x2)dx

Funkcja f (x) = 10x4 − 3x2 jest parzysta (na przedziale < −1, 1 >) : f (−x) = 10(−x)4− 3(−x)2 = 10x4− 3x2 = f (x). Stąd

1

Z

−1

(10x4− 3x2)dx = 2

1

Z

0

(10x4− 3x2)dx = 2h2x5− x3i1

0 = 2 · (2 − 1) = 2 Przykład: Obliczyć

3

Z

−3

(sin3x + x2)dx

Ponieważ funkcja sin3x jest nieparzysta i ciągłą, a funkcja x2 jest parzysta, więc:

Z3

−3

(sin3x + x2)dx =

Z3

−3

sin3xdx +

Z3

−3

x2dx = 0 + 2

Z3

0

x2dx = 2hx3 3

i3

0 = 2 · (9 − 0) = 18

Wartość średnia funkcji

Definicja wartości średniej: Jeżeli f :< a , b >→ R jest całkowalna to wartością średnią funkcji f na przedziale < a , b > nazywamy:

f = 1 b − a

b

Z

a

f (x)dx

Uwaga 1: Jeżeli podzielimy przedział < a, b > na n równych części, obliczymy średnią arytmetyczną wartości funkcji w punktach podziału i przejdziemy do granicy n → ∞ to dostaniemy tak zdefiniowaną wartość średnią funkcji.

Uwaga 2: Jeżeli f > 0 to wartość średnia jest długością boku prostokąta o polu równym polu pod wykresem funkcji (podstawa jest taka sama - przedział < a, b > ).

Uwaga 3: Widać, że zachodzą nierówności: inf

<a,b>f ¬ f ¬ sup

<a,b>

f .

Przykład: Obliczyć wartość średnią funkcji f (x) = x2 na przedziale < 1.4 >

f = 1 4 − 1

4

Z

1

x2dx = 1 3

hx3 3

i4 1 = 7

Definicja wartości średniej ważonej: Jeżeli f, g :< a , b >→ R są całkowalne , funkcja g ­ 0 oraz

Zb

a

g(x)dx > 0 to wartością średnią funkcji f z wagą g na przedziale < a , b >

nazywamy:

f =

b

Z

a

f (x)g(x)dx

b

Z

a

g(x)dx

2

(3)

Przykład: Obliczyć wartość średnią funkcji f (x) = x z wagą g(x) = 1xna przedziale < 1.2 >

f =

Z2

1

x · 1 xdx

2

Z

1

1 xdx

Z2

1

x · 1

xdx = hxi2

1 = 1

2

Z

1

1

xdx = hln |x|i2

1 = ln 2 f = 1

ln 2

Uwaga: Widać, że zachodzą nierówności: inf

<a,b>f ¬ f ¬ sup

<a,b>

f .

Definicja wartości średniej kwadratowej: Jeżeli f :< a , b >→ R jest całkowalna to wartością średnią kwadratową funkcji f na przedziale < a , b > nazywamy:

fsk =

q

f2

Przykład: Obliczyć wartość średnią kwadratową funkcji f (x) = cos x na przedziale

< 0 , 2π >

(fsk)2 = 1 2π − 0

Z

0

cos2xdx = 1

Z

0

1 + cos 2x

2 dx = 1

hx +sin 2x 2

i

0 = 1

2 fsk =q12

Zastosowanie: Napięcie prądu zmiennego jest równe U (t) = U0cos(ωt) . Napięciem sku- tecznym nazywamy średnią kwadratową napięcia po pełnym okresie. Stąd Usk = U0

2

Twierdzenie o wartości średniej: Jeżeli f :< a , b >→ R jest ciągła to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (c) = f

3

Cytaty

Powiązane dokumenty

niu do poziomu wód gruntowych (70-200 cm). Przeciętny poziom zalegania tych wód w granicach ok.. Zmiany szaty roślinnej torfowiska węglanowego Sawin.... Zmiany szaty

Spytaj twojego rozmówcę, czy zna inne ciekawe osoby, które mogą rozszerzyć jego opowieść, zapytaj go, w jaki sposób mógłbyś/mogłabyś się z nimi skontaktować.. Jak

Niech funkcja f ma w przedziale [−l, l] co najwy»ej sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci pierwszego rodzaju oraz co najwy»ej sko«czon¡

Z definicji brzegu wynika, że zbiór ∂A jest równy zbiorowi punktów nieciągłości funkcji χ A więc z istnienia całki z jedności wynika, że brzeg ma miarę Lebesgue’a

Ponieważ w rozważanym przykładzie funkcją podcałkową jest pierwiastek kwadratowy, punktami podziału powinny być liczby, których pierwiastki kwadratowe są liczbami wymiernymi,

Podczas takiego określania monotoniczności funkcji jeśli ludzik w pewnym przedziale wspina się ku górze to mówimy, że funkcja jest rosnąca.. przypadku, gdy schodzi na dół

Zdobycie g³ównego wierzcho³ka Mutnowskiego (2323 m) uniemo¿liwi³y nam niestety pogorszenie pogody i koniecznoœæ wspinaczki po lodowcu, który zreszt¹ po 2 tygo- dniach od

Na okrągłym stoliku gracze kładą złotówki, przy czym nie mogą one wystawać poza stolik ani nachodzić na siebie oraz nie wolno przesuwać leżących już monet.. W