3m 3m

---

E=205GPa at 1.2 10× ^-51

×K

=

Przekrój: I200 h=0.2m Ix=2140cm⁴ E I×x=4387 kN m× ²

Układ podstawowy metody sił (UPMS)

Stan "p"

---

Stan X₁=1

Reakcje w stanie X₁=1

1 / 8

Stan X₂=1

Reakcje w stanie X₂=1

---

Stan X₃=1

Reakcje w stanie X₃=1

---

Wyznaczenie współczynników układu równań

11

1 E Ix

d =

×

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

7m 1 1 + +

d11

1 E I×_x

1 2× 71× m2

×3×1

æçè ö÷ø

= d11 5.319´10^-4 1

kN m×

= E I×_xd11=2.333 m

d11 5.319´10^-4 1 kN m×

×

=

22

1 E Ix

d

+ + +

= ×

+ +

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

2m 2m 2m + 2m 2m +

3m + +

3m 3m + + 3m 3m 3m

3m – – 3m

3m – – 3m

2m 2m 2m + +

d22

1 E I×_x

1

2× m3× 3× m× 2

×3× m3× 2× +3 m× 3× m× 3× m× 1

2× m2× 2× m× 2

× 2m 23 ×

+ +2m 3× m 2× m

æçè ö÷ø

×

=

d₂₂ 1.421´10^-2m

= kN E I×_xd₂₂=62.333 m³

d22 1.421´10^-2m

= kN

3 / 8

33

1 E Ix

d = + +

×

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

3m + + 3m 5m 3m

3m – – 3m

3m

3m – – 3m

d33

1 E I×_x

1

2× m3× 3× m× 2

×3× m3× 2× +3 m× 5× m× 3× m×

æçè ö÷ø

×

= d33 1.436´10^-2m

= kN E I×_xd33=63 m³ d33 1.436´10^-2 m

×kN

=

12

1 E Ix

d = ×

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë 5m û

0,714 2m +

+ – 3m

d12

1 E I×_x

1

2×0.714× m5× 2

3×(- m2× ) 1 3× m3 éê +

ë ùúû

éê ×

ë ùúû

×

=

d12 -1.356´10^-4 1

= kN E I×xd12=-0.595m² d12 -1.356´10^-4 1

×kN

=

d21=d12

13

1 E Ix

d = ×

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

0,714 + + 3m 5m

d13

1 E I×_x

1

2× m5× 0.714× × 3m× m

æçè ö÷ø

×

=

d13 1.221´10^-3m 1

= kN E I×_xd13=5.355 m³

d13 1.221´10^-3m 1

= kN

d31=d13

23

1 E Ix

d = + +

×

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

3m

3m – –

3m

2m + – 3m

+ 3m 5m

3m

3m – +

2m d23

1 E I×_x

1

2× m3× ×(- m3 )×(- m3 ) 5m 3× m 1

×2[3m+(- m2 )]

+ 2m 3× m 1

×2(- m3 ) éê +

ë ùúû

×

=

d23 2.735´10^-3m

= kN E I×_xd23=12 m³

d23 2.735´10^-3 m

= kN

d32=d23

Wyznaczenie wyrazów wolnych układu równań

1

1

p

E Ix

D = + +

×

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë 3m û

0,428 + 45 +

kNm

57,703

kNm 2m

+ 48,852 kNm 0,428 + 0,714 57,703

kNm 2m

+ 1 48,852 +

kNm 0,714

D1p

1 E I×x

1

2× m 0.4283 × 1

345kN m× 2

3×57.703kN m× æç +

è ö÷ø

× 1

2×0.428× m2 2

357.703kN m× 1

3×48.852kN m× æç +

è ö÷ø

× +

1

2×0.714× m2 1

357.703kN m× 2

3×48.852kN m× æç +

è ö÷ø

× 1

2× m 48.8522 × kN m× 2 30.714 1

3×1 æç +

è ö÷ø

× +

+ é ...

êê êë

ùú úú û

=

D1p=3.061´10^-2 E I×xD1p=134.285 kN m× ²

D1p=3.061´10^-2

2

1

p

E Ix

+ + +

D = ×

+ +

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

3m – – 3m 45 kNm

3m – – 3m

45

kNm 3m

+

+ 45 kNm

3m

57,703 kNm

+ 48,852 kNm 57,703

kNm

2m 2m

+ 2m

3m – +

20

kNm 2m

– + 2m

20 kNm

D2p

1 E I×_x

1

3(- kN m45 × ) 3× m3

×4(- m3 )+(- kN m45 × ) 3× m×(- m3 ) 1

2× m 33 × m 2

345kN m× 1

3×57.703kN m× æç +

è ö÷ø

× + 1

2× m2 ×(- m2 ) 2

348.852kN m× 1

3×57.703kN m× æç +

è ö÷ø

× +(- kN m20 × ) 2× m 3× m 1

3×(- kN m20 × )× m2 3

×4× m2 +

+ é ...

êê êë

ùú úú û

=

D2p=1.104´10^-1m E I×_xD2p=484.2 kN m× ³

D_2p=1.104´10^-1m

---

3

1

p

E Ix

+ +

D = ×

+

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

3m

– 3m –

45 kNm

+ 3m 3m 45 + kNm

57,703 kNm

+ 3m 2m

+ 48,852 kNm 57,703

kNm 3m

3m – –

20 kNm

D3p

1

E I×_x (-45×kN×m) 3× m× 1

×2×(- m3× ) 3 m× 3× m× 1

×2×(45 kN× ×m+57.703 kN× ×m) +

3 m× 2× m× 1

×2×(48.852 kN× ×m+57.703 kN× ×m) 3 m× ×(-20×kN×m) 1

×2×(- m3× ) +

+ é ...

êê êë

ùú úú û

×

=

D3p=2.449´10^-1m E I×xD3p=1.074´10³kN m× ³

D3p=2.449´10^-1m

D1D=-[0.143×(-0.01)] D1D=1.43´10^-3 D2D=0

D3D=0

D1t0=0

D2t0=at× K10 ×(-1)× m3 D2t0=-3.6´10^-4m D3t0=at× K20 ×(-1)× m5 D3t0=-1.2´10^-3m

D1Dt

at

h× K20 1

×2× m 0.7145 ×

= D1Dt=2.142´10^-3 D1Dt=2.142´10^-3

D2Dt

at

h× K20 1

2× m 33 × m 1 2× m2 ×(- m2 ) éê +

ë ùúû

×

= D2Dt=3´10^-3m

D3Dt

at

h× K 320 × m 5× m

= D3Dt=0.018 m

D10⁼D1p⁺(D1D+D1t0+D1Dt) ^D10=0.034 D20⁼D2p⁺(D2D+D2t0+D2Dt) D20=0.113 m D30⁼D3p⁺(D3D+D3t0+D3Dt) ^D30=0.262 m

---

Rozwiązanie układu równań

d11×X₁+d12×X₂+d13×X₃+D10=0.01

d21×X₁+d22×X₂+d23×X₃+D20=0

d31×X1+d32×X2+d33×X3+D30=0

X1=-8.68kN m× X2=-4.85kN X3=-16.562kN

X1 -8.68 X2 -4.85 X3 -16.562

Mp M1 M2 M3 Most

AD 0 1 0 0 -8.680

DA 48.852 0.714 0 0 42.654

DC 48.852 0.714 -2 3 2.668

DG -20 0 2 -3 19.986

CD 57.703 0.428 0 3 4.302

CB 57.703 0.428 0 3 4.302

BC 45 0 3 3 -19.236

BE -45 0 -3 -3 19.236

EB -45 0 -3 0 -30.450

EF -45 0 -3 0 -30.450

FE 0 0 0 0 0.000

FG 0 0 0 0 0.000

GF -20 0 2 0 -29.700

GD -20 0 2 0 -29.700

Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach

MEB-MEF=0 kN m×

M_BE+M_BC=0 kN m×

5 / 8

M_GF-M_GD=0 kN m×

M_DC+M_DG-M_DA+20kN m× =0 kN m×

Wyznaczenie sił tnących Pręt DA

SM_A=0

TDA× m2 +MDA-MAD=0

SY=0 T_AD=T_DA

TDA=-25.667kN TAD=-25.667kN

Pręt BD

SM_C=0

TBC× m5 +MBC-MDC-10kN sin 60deg× ( )× m2 =0

SY=0

TBC-TDC-10kN sin 60deg× ( )=0 T_DC=-0.815kN T_BC=7.845 kN

Pręt BE

SM_E=0

T_BE× m3 +M_BE-M_EB=0

SY=0 T_EB=T_BE

T =-16.562kN T =-16.562kN

Pręt EG

SM_G=0

TEF× m5 +MEF-MGF 10kN m× m5 5m

× 2

- =0

SY=0

T_EF-T_GF 10kN m× m5

- =0

TGF=-24.85kN TEF=25.15 kN

Wyznaczenie maksymalnego momentu

TEF

x₀ TGF

- 5m-x₀

=

x₀=2.515 m Mmax MEF+TEF×x0 10kN

m×x0x₀

×2 -

= M_max=1.176 kN m×

Pręt GD

SM_D=0

T_GD× m3 +M_GD-M_DG=0

SY=0 TDG=TGD

TGD=16.562 kN TDG=16.562 kN

Równowaga węzłów - siły normalne i reakcje Węzeł E

SX=0 N_EF-T_EB=0 N_EF=-16.562kN

SY=0 NEB+TEF=0

NEB=-25.15kN

N_GF=N_EF N_BE =N_EB (z warunków równowagi pretów EG i BE)

---

Węzeł B

SX=0 N_BC+T_BE=0

N_BC=16.562 kN SY=0 N_BE+R_B-T_BC=0

R_B=32.995 kN Węzeł G

SX=0 T_GD+N_GF=0 kN (sprawdzenie)

SY=0 -N_GD+T_GF=0 N_GD=-24.85kN

NDG=NGD (z warunku równowagi preta DG) Pręt BD

SX=0

NDC+10kN cos 60deg× ( )-NBC=0 NDC=11.562 kN

Węzeł D

SY=0

N_DG+T_DC-T_DA=1.648´10^-3kN (sprawdzenie) SX=0

NDA+TDG-NDC=0 NDA=- kN5 N_AD=N_DA (z warunku równowagi preta DA)

Węzeł A

SM_A=0 M_A=M_AD M_A=-8.68kN m×

SX=0 H_A+N_AD=0

H_A=5 kN SY=0 V_A+T_AD=0

VA=25.667 kN

---

Ostateczne wykresy sił wewnętrznych

7 / 8

Sprawdzenia statyczne

SX=0 H_A

- +10kN cos 60deg× ( )=0 kN SY=0

R_B+V_A-10kN sin 60deg( ) 10kN m× m5

- =1.648´10^-3kN SM_G=0

R_B× m5 10kN m× m5 5m

× 2

- -10kN sin 60deg× ( )× m2 -10kN cos 60deg× ( )× m3 20kN m× -VA× m2 +HA× m3 -MA

+

...=1.295´10^-12kN m×

Sprawdzenie kinematyczne

1

1

p

E Ix

j = + +

×

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë ^2m û

+ 2,660 kNm 0,428 + 0,714 4,301

3m kNm 0,428 + 19,227

kNm

4,301 + kNm –

2m + 1 42,642

kNm 0,714

+ – 8,697 kNm

j_1p 1 E I×_x

1

2× m 0.4283 × 1 3×M_BC 2

3×M_CB æç +

è ö÷ø

× 1

2× m M2 × _CD 2 3×0.428 1

3×0.714 æç +

è ö÷ø

× 1

2× m M2 × _DC 1 3×0.428 2

3×0.714 æç +

è ö÷ø

× +

+

...

1

2× m M2 × _DA 2 3×0.714 1

3×1 æç +

è ö÷ø

× 1

2× m M2 × _AD 1 3×0.714 2

3×1 æç +

è ö÷ø

× +

+

...

éê êê êê ë

ùú úú úú û

=

j1p=6.45´10^-3

j1t=D1Dt j1t=2.142´10^-3

j1D=-(1 0.01× -0.143 0.01× ) j1D=-8.57´10^-3

j1=j1p+j1t+j1D j1=2.186´10^-5

D j1

=