dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II0. 21 pa¹dziernika 2015
Miara i caªka Lebesgue'a cz. 3: caªka Lebesque'a
Zadania
1. Wyznacz na podstawie de nicji nast¦puj¡ce caªki Lebesgue'a:
a) R
[−3,3]
f dl, gdzie f(x) :=
2 dla |x| < 2,
3 dla |x| > 2 i |x| ≤ 3, 5 dla |x| = 2,
b) R
[0,1]
f dl, gdzie f(x) = 2 + x, c) R
[0,1]
f dl, gdzie f(x) = x2, d) R
[0,1]
f dl, gdzie f(x) = 3 · sgn(5x − 2).
2. Niech b¦dzie dana funkcja
f (x) :=
(x2 dla x ∈ [0, 1] \ Q, 1 dla x ∈ [0, 1] ∩ Q.
Rozwa» istnienie (ewentualnie wyzancz) caªki Riemana i Lebesgue'a na przedziale [0, 1].
3. Niech E(x) to funkcja entier oraz b¦dzie dana funkcja
f (x) := 1
E(x) · (−1)E(x),
Rozwa» istnienie (ewentualnie wyzancz) caªki Riemana i Lebesgue'a na przedziale [1, +∞).
4. Niech C b¦dzie zbiorem Cantora na odcinku [0, 1] oraz b¦dzie dana funkcja
f (x) :=
(0 dla x ∈ C,
n dla ka»dego usunietego przedziaªu w n−tym kroku.
Oblicz caªk¦ wzgl¦dem miary Lebesque'a R
[0,1]
f dl.
5. Niech C b¦dzie zbiorem Cantora na odcinku [0, 1]. Okre±lmy funkcj¦
f (x) :=
sin(πx) dla x ∈ [0;12] \ C, cos(πx) dla x ∈ [0;12] \ C, x2 dla x ∈ C.
Oblicz caªk¦ wzgl¦dem miary Lebesque'a R
[0,1]
f dl.
1
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II0. 21 pa¹dziernika 2015
6. Niech b¦dzie dana funkcja
f (x) :=
(0 dla xy b¦d¡cego liczb¡ wymiern¡, 3 dla xy b¦d¡cego liczb¡ niewymiern¡.
Oblicz caªk¦ wzgl¦dem miary Lebesque'a R
[0,1]×[0,1]
f dl.
7. Zbadaj istnienie caªki Lebesgue'a, ewentualnie oblicz nast¦puj¡ce caªki:
a) R
[0,+∞)
f dl, gdzie f(x) = √51
x3. b) RR
[0,1]×[0,1]
E
1 (x1+x2)2
dx1dx2 c) R
A
x2dx,gdzie A = S∞
n=1
2
3n,3n−11 ; d) RR
[0,1]×[0,1]
f (x1, x2)dx1dx2,gdzie
f (x1, x2) = (n
2n dla (x1, x2) ∈ (21n,2n−11 ] × [0,n1], n ∈ N+;
0 w pozostaªych punktach kwadratu [0, 1] × [0, 1].
8. Niech b¦d¡ dane ci¡gi funkcyjne a) fn : R → R, fn(x) := n · χ[n,n+1
n](x).
b) fn(x) :=
(n dla 0 < x < n1
0 w przeciwnym przypadku c) fn(x) :=
(n2 dla 0 < x < n1
0 w przeciwnym przypadku d) fn(x) :=
(1
n dla 0 < x < n
0 w przeciwnym przypadku Oblicz lim
n→∞fn,R
R
n→∞lim fndx, lim
n→∞
R
R
fndx.
9. Wyznacz granic¦ ci¡gu caªek Lebesgue'a:
a) lim
n→∞
+∞
R
0
n√ x 1+x2dx;
b) lim
n→∞
π
R
0 sin x
n√ xdx;
c) lim
n→∞
1
R
0
1 + xn e−xdx;
d) lim
n→∞
+∞
R
0
(1+x)n 1+(1+x)n
e−2xdx.
2
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II0. 21 pa¹dziernika 2015
10. Zwery kuj prawdziwo±¢ twierdzenia 2 dla caªki Riemana na przedziale [0, 1] z ciagiem funkcyj- nym
fn(x) :=
(1 je»eli x = qi dla pewnych 1 ≤ i ≤ n 0 w przeciwnym razie
gdzie qi to ró»ne liczby wymierne z przedziaªu [0, 1].
Informacje pomocnicze
De nicja 1. (caªki Lebesque'a)
Niech (Rn, L, l)b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ Lebesgue'a. Caªk¦ Lebegue'a po zbiorze A z funkcji f ∈ L wzgl¦dem miary l oznaczamy przez R
A
f dl i de niujemy w nast¦puj¡cy sposób:
a) je»eli f jest funkcj¡ prost¡ tzn. przyjmuj¡c¡ sko«czon¡ liczb¦ sko«czonych warto±ci na zbiorze A to:
Z
A
f dl := a1l(A1) + a2l(A2) + · · · + anl(An) =
∞
X
n=1
ai· l(Ai), gdzie Ai := f−1({ai});
b) je»eli f jest nieujemn¡ funkcj¡ mierzaln¡ to:
Z
A
f dl := lim
n→∞
Z
A
fndl,
gdzie (fn)jest dowolnym niemalej¡cym ci¡giem funkcji prostych zbie»nych punktowo w zbiorze A do funkcji f;
c) je»eli f jest funkcj¡ mierzaln¡ (rownie» ujemn¡) to:
Z
A
f dl :=
Z
A
f+dl − Z
A
f−dl,
gdzie f+ = max{f (x), 0}, f−= min{−f (x), 0} oraz f+ lub f− jest liczb¡ sko«czon¡.
Twierdzenie 2. (tw. Lebegue'a o monotonicznym przechodzeniu pod znakiem caªki) Niech A ∈ L. Je»eli (fn) : A → R+ jest:
a) rosn¡cym ci¡giem nieujemnych (tzn. 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ · · ·) funkcji mierzalnych lub
b) malej¡cym ciagiem (tzn. f1(x) ≥ f2(x) ≥ f3(x) ≥ · · ·) funkcji caªkowalnych oraz
f (x) = lim
n→∞fn(x) dla x ∈ A.
Wówczas
n→∞lim Z
A
fndl = Z
A
f dl.
3
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II0. 21 pa¹dziernika 2015
Twierdzenie 3. (Lebegue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej)
Niech (fn) b¦dzie ci¡giem funkcji mierzalnych okre±lonych na zbiorze A. Ponadto istnieje caªkowalna na zbiorze A funkcja caªkowalna g taka, »e |fn| ≤ g dla ka»dego naturalnego n. Wówczas granica
n→∞lim fn jest funkcj¡ caªkowaln¡ oraz
n→∞lim Z
A
fndl = Z
A
n→∞lim fndl.
Twierdzenie 4. (caªka Riemanna a Lebesgue'a)
Niech b¦dzie dana ograniczona funkcja f : [a, b] → R. Wówczas:
a) je»eli funkcja f jest caªkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b], to jest mierzalna i caªkowalna w sensie Lebesgue'a na tym przedziale oraz obie caªki s¡ równe:
b
Z
a
f (x)dx = Z
[a,b]
f (x)dl(x)
b) funkcja f jest caªkowalna w sensie Riemana na przedziale [a, b], wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór punktów nieci¡gªo±ci jest miary Lebesgue'a zero.
De nicja 5. (patrz S. Tymowski)
Je»eli funkcja f : (a, b) → R, gdzie (a, b) ⊂ R jest przedziaªem ograniczonym lub nie, jest caªkowalna w sensie Lebesgue'a na kazdym podprzedziale [a0, b0] ⊂ (a, b) i istnieje granica
lim
a0→a+
b0→b−
Z
[a0,b0]
f dl
sko«czona lub nie, to nazywamy j¡ caªk¡ niewªasciw¡ Lebesque'a funkcji f.
Twierdzenie 6. Je»eli funkcja f : (a, b) → R, gdzie (a, b) ⊂ R jest przedziaªem ograniczonym lub nie, jest mierzalna w sensie Lebesgue'a i istnieje (w R) caªka niewla±ciwa Riemana Rb
a
f (x)dx to istnieje caªka niewªa±ciwa Lebesgue'a i obie caªki s¡ równe.
4
