12. Rzucamy kostk ˛ a symetryczn ˛ a 3 razy. Oblicz prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze:

1 Rok Bioinformatyki Wybrane działy matematyki wy˙zszej — lista 2 3.03.2014 11. Rzucamy monet ˛ a symetryczn ˛ a 4 razy. Oblicz prawdopodobie´nstwo zdarze´n polegaj ˛ acych na:

(a) wypadni˛eciu dokładnie dwóch orłów;

(b) wypadni˛ecia samych orłów.

12. Rzucamy kostk ˛ a symetryczn ˛ a 3 razy. Oblicz prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze:

(a) wypadn ˛ a dokładnie dwie jedynki;

(b) nie wypadnie ani jedna jedynka.

13. Wiadomo o pewnym koszykarzu, ˙ze wykonuj ˛ ac rzut osobisty trafia do kosza z prawdopodobie´nstwem 0,8.

Oblicz prawdopodobie´nstwo zdarzenia polegaj ˛ acego na tym, ˙ze rzucaj ˛ ac 5 razy:

(a) trafi do kosza dokładnie 4 razy;

(b) trafi do kosza co najmniej 3 razy;

(c) nie trafi do kosza ani razu.

Zakładamy, ˙ze wyniki kolejnych rzutów nie zale˙z ˛ a od siebie — wi˛ec liczba trafie´n uzyskanych w pi˛eciu rzutach ma rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami.

14. Wiadomo o pewnym łuczniku, ˙ze strzelaj ˛ ac do tarczy z bardzo du˙zej odległo´sci trafia w dziesi ˛ atk˛e z prawdopodobie´nstwem 0,02. Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze łucznik ten wykonuj ˛ ac 50 strzałów (z tej odległo´sci) trafi w dziesi ˛ atk˛e:

(a) co najwy˙zej jeden raz;

(b) co najmniej trzy razy.

Zakładamy, ˙ze wyniki kolejnych strzałów nie zale˙z ˛ a od siebie — wi˛ec liczba trafie´n uzyskanych po stu rzutach ma rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami.

15. (zadanie o podwy˙zszonym stopniu trudno´sci) Udowodnij nast˛epuj ˛ ace twierdzenie: Niech λ > 0 b˛edzie ustalon ˛ a liczb ˛ a rzeczywist ˛ a dodatni ˛ a. Je´sli zmienna losowa X

ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p

(czyli Bin(n, p

)), przy czym

p

= λ

n , n = 1, 2, . . . , to dla dowolnej ustalonej liczby naturalnej k

P (X

= k) → P (Y

= k), gdzie Y

ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0.

16. Oblicz przybli˙zon ˛ a warto´s´c prawdopodobie´nstw, które nale˙zało obliczy´c w zadaniu 14, wykorzystuj ˛ ac twierdzenie z poprzedniego zadania. Porównaj wyniki otrzymanych oblicze´n z wynikami otrzymanymi w zadaniu 14.

Mariusz Grz ˛ adziel