• Nie Znaleziono Wyników

(1) nale˙zy sprawdzi´c, czy zachodza warunki, RTR = I3, RRT = I3, det R = 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(1) nale˙zy sprawdzi´c, czy zachodza warunki, RTR = I3, RRT = I3, det R = 1"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Lista nr 2 z Robotyki 1

Poczawszy od tej listy, pojawi, a si, e zadania dodatkowe oznaczone (?). Nie b, ed, a one rozwi, azywane w trakcie, zaj,c, jednak ich rozwiazanie pozwoli na uzyskanie plus´, ow z aktywno´sci.

1. Majac podan, a macierz R,,

R =

0

2 2

2 2

1 0 0

0

2 2

2 2

(1)

nale˙zy sprawdzi´c, czy zachodza warunki,

RTR = I3, RRT = I3, det R = 1.

Je´sli tak, to co mo˙zna powiedzie´c o macierzy R?

2. Prawoskretny uk lad wsp´, o lrzednych jest zbudowany z wersor´, ow i, j i k w podanej kolejno´sci. W pewnym uk ladzie dany jest wersor i =

3 2 , 0,12T

, za´s wersor k = (0, 1, 0)T. Wyliczy´c wersor j. Zwr´oci´c uwage, na kolejno´c element´ow w iloczynie wektorowym.

3. Mamy dwa uk lady wsp´o lrzednych zaczepione w jednym punkcie., Wersory uk lad´ow sa r´, owne: i0 =



2 2 , 0, −

2 2

T

, j0 = (0, 1, 0)T, k0 = 

2 2 , 0,

2 2

T

oraz i1 = 

1 2,

3 2 , 0T

, j1 = 

3 2 ,12, 0T

, k1 = (0, 0, −1)T. Nale˙zy sprawdzi´c, czy uk lady sa prawoskr, etne, a je´, sli nie, to nieznacznie poprawi´c wersory, aby uzyska´c prawoskretno´, c. Dla skorygowanych uk lad´ow prawoskretnych nale˙zy wyznaczy´, c macierz obrotu R10przekszta lcajac, a wsp´, o lrzedne z uk ladu 1 do uk ladu 0. Z kolei, nale˙zy wyznaczy´, c wsp´o lrzedne pewnego, punktu wzgledem uk ladu 1, gdy dane s, a jego wsp´, o lrzedne wzgl, edem uk ladu 0, czyli p, 0= (1, 1, 1)T. 4. Macierze bazowe dla grupy obrot´ow SO(3) to elementarne obroty wzgledem osi g l´, ownych, czyli

rot(x, φ) =

1 0 0

0 cφ −sφ

0 sφ cφ

, rot(y, θ) =

cθ 0 sθ

0 1 0

−sθ 0 cθ

, rot(z, ψ) =

cψ −sψ 0 sψ cψ 0

0 0 1

.

Pokaza´c na konkretnym przyk ladzie (wykorzystujac og´, olna posta´, c macierzy bazowych), ˙ze mno˙zenie ma- cierzy obrotu wzgledem r´, o˙znych osi jest nieprzemienne, za´s wzgledem tej samej osi – jest przemienne., 5. Wyznaczy´c og´olna macierz reprezentacji dla k, at´,ow Roll-Pitch-Yaw (Ko lysanie-Kiwanie-Myszkowanie)

RP Y (α, β, γ) = rot(z, α) · rot(y, β) · rot(x, γ)

6. Majac macierz reprezentacji RP Y , wyznaczy´, c macierz obrotu odpowiadajac, a reprezentacji, R = RP Y π

2,π 3, 0

7. Dla macierzy podanej wzorem (1) znale´c reprezentacje k, at´,ow RP Y oraz kat´,ow Eulera.

8. (?) Czy macierz obrotu ma zawsze jednoznaczna konkretn, a reprezentacj, e? Czy mo˙zna poda´, c prosty przyk lad ilustrujacy odpowied´, z na to pytanie?

9. (?) Wiedzac, ˙ze ka˙zda macierz obrotu,

R =

r1 r2 r3  spe lnia nastepuj, ace warunki:,

k r1k=k r2k=k r3k= 1

r1× r2= r3, r2× r3= r1, r3× r1= r2, pokaza´c, ˙ze wyznacznik macierzy obrotu jest r´owny 1.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Kroneckera-Capellego: [JuSk], przyk lad

Zestaw do samodzielnego rozwi ˛ azania po wykładzie o

[r]

[r]

To oznacza, ˙ze T nie jest epimorfizmem i kolumny jego macierzy s¸ a liniowo zale˙zne... W´ owczas, macierz F w tej bazie ma wszystkie elementy w diagonale r´

[r]

Najpierw odejmujemy od wierszy drugiego i trzeciego wiersz pierwszy, a nast epnie dodajemy wiersz drugi

je´sli za´s wypadnie reszka, to przeznacza po low e koron wykupionych tego miesi , aca na zakup z lotych , monet. Obliczy´ c przybli˙zone prawdopodobie´ nstwo, ˙ze w przeci agu