Lista nr 2 z Robotyki 1
Poczawszy od tej listy, pojawi, a si, e zadania dodatkowe oznaczone (?). Nie b, ed, a one rozwi, azywane w trakcie, zaje´,c, jednak ich rozwiazanie pozwoli na uzyskanie plus´, ow z aktywno´sci.
1. Majac podan, a macierz R,,
R =
0 −
√2 2
√2 2
1 0 0
0
√2 2
√2 2
(1)
nale˙zy sprawdzi´c, czy zachodza warunki,
RTR = I3, RRT = I3, det R = 1.
Je´sli tak, to co mo˙zna powiedzie´c o macierzy R?
2. Prawoskretny uk lad wsp´, o lrzednych jest zbudowany z wersor´, ow i, j i k w podanej kolejno´sci. W pewnym uk ladzie dany jest wersor i =√
3 2 , 0,12T
, za´s wersor k = (0, 1, 0)T. Wyliczy´c wersor j. Zwr´oci´c uwage, na kolejno´s´c element´ow w iloczynie wektorowym.
3. Mamy dwa uk lady wsp´o lrzednych zaczepione w jednym punkcie., Wersory uk lad´ow sa r´, owne: i0 =
√
2 2 , 0, −
√ 2 2
T
, j0 = (0, 1, 0)T, k0 = √
2 2 , 0,
√ 2 2
T
oraz i1 =
1 2,
√ 3 2 , 0T
, j1 =
−
√ 3 2 ,12, 0T
, k1 = (0, 0, −1)T. Nale˙zy sprawdzi´c, czy uk lady sa prawoskr, etne, a je´, sli nie, to nieznacznie poprawi´c wersory, aby uzyska´c prawoskretno´, s´c. Dla skorygowanych uk lad´ow prawoskretnych nale˙zy wyznaczy´, c macierz obrotu R10przekszta lcajac, a wsp´, o lrzedne z uk ladu 1 do uk ladu 0. Z kolei, nale˙zy wyznaczy´, c wsp´o lrzedne pewnego, punktu wzgledem uk ladu 1, gdy dane s, a jego wsp´, o lrzedne wzgl, edem uk ladu 0, czyli p, 0= (1, 1, 1)T. 4. Macierze bazowe dla grupy obrot´ow SO(3) to elementarne obroty wzgledem osi g l´, ownych, czyli
rot(x, φ) =
1 0 0
0 cφ −sφ
0 sφ cφ
, rot(y, θ) =
cθ 0 sθ
0 1 0
−sθ 0 cθ
, rot(z, ψ) =
cψ −sψ 0 sψ cψ 0
0 0 1
.
Pokaza´c na konkretnym przyk ladzie (wykorzystujac og´, olna posta´, c macierzy bazowych), ˙ze mno˙zenie ma- cierzy obrotu wzgledem r´, o˙znych osi jest nieprzemienne, za´s wzgledem tej samej osi – jest przemienne., 5. Wyznaczy´c og´olna macierz reprezentacji dla k, at´,ow Roll-Pitch-Yaw (Ko lysanie-Kiwanie-Myszkowanie)
RP Y (α, β, γ) = rot(z, α) · rot(y, β) · rot(x, γ)
6. Majac macierz reprezentacji RP Y , wyznaczy´, c macierz obrotu odpowiadajac, a reprezentacji, R = RP Y π
2,π 3, 0
7. Dla macierzy podanej wzorem (1) znale´z´c reprezentacje k, at´,ow RP Y oraz kat´,ow Eulera.
8. (?) Czy macierz obrotu ma zawsze jednoznaczna konkretn, a reprezentacj, e? Czy mo˙zna poda´, c prosty przyk lad ilustrujacy odpowied´, z na to pytanie?
9. (?) Wiedzac, ˙ze ka˙zda macierz obrotu,
R =
r1 r2 r3 spe lnia nastepuj, ace warunki:,
k r1k=k r2k=k r3k= 1
r1× r2= r3, r2× r3= r1, r3× r1= r2, pokaza´c, ˙ze wyznacznik macierzy obrotu jest r´owny 1.