Wektory i warto´ sci w lasne

(1)

Wyk lad 11

Wektory i warto´ sci w lasne

1 Wektory i warto´ sci w lasne

Niech V b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a nad cia lem K. Ka˙zde przekszta lcenie liniowe f : V → V

_,

nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V . Powiemy, ˙ze a ∈ K jest warto´ sci a

_,

w lasn a endomorfizmu f przestrzeni V , je˙zeli istnieje niezerowy wektor α ∈ V taki, ˙ze

_,

f (α) = a ◦ α.

M´ owimy w´ owczas, ˙ze α jest wektorem w lasnym endomorfizmu f odpowiadaj acym warto´

_,

sci w lasnej a.

Twierdzenie 11.1. Niech a

₁

, a

₂

, . . . , a

_n

b ed

_,

a r´

_,

o˙znymi warto´ sciami w lasnymi endomorfizmu f przestrzeni liniowej V nad cia lem K. W´ owczas odpowiadaj ace im wektory w lasne

_,

α

₁

, α

₂

, . . . , α

_n

s a liniowo niezale˙zne.

_,

Dow´ od. Zastosujemy indukcj e wzgl

_,

edem n. Dla n = 1 teza wynika st

_,

ad, ˙ze α

_, 1

6= Θ. Niech teraz n b edzie tak

_,

a liczb

_,

a naturaln

_,

a, dla kt´

_,

orej teza zachodzi. Niech a

1

, . . . , a

n

, a

n+1

b ed

_,

a

_,

parami r´ o˙znymi warto´ sciami w lasnymi endomorfizmu f i niech α

₁

, . . . , α

_n

, α

_n+1

b ed

_,

a odpowia-

_,

daj acymi im wektorami w lasnymi. W´

_,

owczas f (α

i

) = a

i

◦α

_i

dla i = 1, . . . , n+1. We´ zmy dowolne c

1

, . . . , c

n+1

∈ K takie, ˙ze c

₁

◦ α

₁

+ . . . + c

n

◦ α

_n

+ c

n+1

◦ α

_n+1

= Θ. Wtedy θ = f (c

1

◦ α

₁

+ . . . + c

_n+1

◦α

_n+1

) = c

₁

◦f (α

₁

)+. . .+c

_n+1

◦f (α

_n+1

) = (c

₁

a

₁

)◦α

₁

+. . .+(c

_n

a

_n

)◦α

_n

+(c

_n+1

a

_n+1

)◦α

_n+1

oraz (a

n+1

c

1

) ◦ α

1

+ . . . + (a

n+1

c

n

) ◦ α

n

+ (a

n+1

c

n+1

) ◦ α

n+1

= Θ. St ad po odj

_,

eciu stronami tych

_,

r´ owno´ sci uzyskamy, ˙ze c

₁

(a

_n+1

− a

₁

) ◦ α

₁

+ . . . + c

_n

(a

_n+1

− a

_n

) ◦ α

_n

= Θ. Zatem z za lo˙zenia indukcyjnego c

_i

(a

_n+1

− a

_i

) = 0, sk ad c

_, _i

= 0 dla i = 1, . . . , n, gdy˙z a

_n+1

6= a

_i

dla i = 1, . . . , n.

Zatem c

n+1

◦ α

_n+1

= Θ, a st ad c

_, n+1

= 0, bo α

n+1

6= Θ. Zatem c

_i

= 0 dla i = 1, . . . , n, n + 1 i wektory α

₁

, . . . , α

_n

, α

_n+1

s a liniowo niezale˙zne.

_,

2 Niech dalej V b edzie sko´

_,

nczenie wymiarow a przestrzeni

_,

a liniow

_,

a nad cia lem K i niech

_,

(α

₁

, α

₂

, . . . , α

_n

) b edzie uporz

_,

adkowan

_,

a baz

_,

a V oraz niech f b

_,

edzie endomorfizmem przestrzeni

_,

V oraz niech A = [a

ij

]

i,j=1,...,n

b edzie macierz

_,

a f w tej bazie. Wielomianem charaktery-

_,

stycznym endomorfizmu f nazywamy wyznacznik

W

f

(x) =

a

11

− x a

12

a

13

. . . a

1n

a

₂₁

a

₂₂

− x a

₂₃

. . . a

_2n

a

31

a

32

a

33

− x . . . a

3n

.. . .. . .. . . .. .. . a

_n1

a

_n2

a

_n3

. . . a

_nn

− x

. (1)

Mo˙zna udowodni´ c, ˙ze istniej a c

_, ₀

, c

₁

, . . . , c

_n−1

∈ K takie, ˙ze

W

_f

(x) = (−1)

ⁿ

x

ⁿ

+ c

_n−1

x

ⁿ⁻¹

+ . . . + c

₁

x + c

₀

. (2)

(2)

Ponadto c

0

= det(A) oraz c

n−1

= (−1)

ⁿ⁻¹

· (a

₁₁

+ a

22

+ . . . + a

nn

). Mo˙zna te˙z wykaza´ c,

˙ze wsp´ o lczynniki c

₀

, c

₁

, . . . , c

_n−1

wielomianu charakterystycznego nie zale˙z a od wyboru bazy

_,

przestrzeni V .

Przyk lad 11.2. Znajdziemy wielomian charakterystyczny endomorfizmu f przestrzeni R

³

danego wzorem analitycznym:

f ([x

1

, x

2

, x

3

]) = [5x

1

− 3x

₂

+ 2x

3

, 6x

1

− 4x

₂

+ 4x

3

, 4x

1

− 4x

₂

+ 5x

3

].

Macierz a tego endomorfizmu w bazie kanonicznej jest

_,

A =







5 −3 2 6 −4 4 4 −4 5





 .

Zatem wielomian charakterystyczny endomorfizmu f ma posta´ c:

W

_f

(x) =

5 − x −3 2

6 −4 − x 4

4 −4 5 − x

w2−w₁

=

5 − x −3 2

1 + x −1 − x 2

4 −4 5 − x

k1+k2

=

2 − x −3 2

0 −1 − x 2

0 −4 5 − x

k2+k3

=

2 − x −1 2

0 1 − x 2

0 1 − x 5 − x

w3−w₂

=

2 − x −1 2

0 1 − x 2

0 0 3 − x

= (2 − x) · (1 − x) · (3 − x).2

Twierdzenie 11.3. Skalar a jest warto´ sci a w lasn

_,

a endomorfizmu f sko´

_,

nczenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cia lem K wtedy i tylko wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego tego endomorfizmu.

Dow´ od. Za l´ o˙zmy, ˙ze a jest warto´ sci a w lasn

_,

a endomorfizmu f . Wtedy istnieje niezerowy

_,

wektor α ∈ V taki, ˙ze f (α) = a ◦ α. Niech (α

1

, . . . , α

n

) b edzie uporz

_,

adkowan

_,

a baz

_,

a przestrzeni

_,

V i niech A = [a

_ij

]

i,j=1,...,n

b edzie macierz

_,

a endomorfizmu f w tej bazie. Istniej

_,

a a

_, ₁

, . . . , a

_n

∈ K takie, ˙ze α = a

1

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

. Ponadto f (α) = b

1

◦ α

₁

+ . . . + b

n

◦ α

_n

dla pewnych b

₁

, . . . , b

_n

∈ K. Wtedy





 b

1

.. . b

_n





 = A ·





 a

1

.. . a

_n





 . Ale f (α) = a ◦ α = (aa

₁

) ◦ α

₁

+ . . . + (aa

_n

) ◦ α

_n

,

wi ec A ·

_,





 a

₁

.. . a

_n





 =





 aa

₁

.. . aa

_n





 , czyli A ·





 a

₁

.. . a

_n





 = a ◦





 a

₁

.. . a

_n





 . Zatem wektor [a

1

, . . . , a

n

] jest rozwi azaniem uk ladu jednorodnego

_,



 



(a

₁₁

− a)x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ . . . + a

_1n

x

_n

= 0 a

21

x

1

+ (a

22

− a)x

₂

+ . . . + a

2n

x

n

= 0

.. .. .. .. . .. .. .. .. .. . (3)

(3)

Ponadto [a

1

, . . . , a

n

] 6= [0, . . . , 0], bo inaczej α = θ. St ad z twierdzenia Cramera otrzymujemy,

_,

˙ze det(A − aI

_n

) = 0, czyli a jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego endomorfizmu f .

Na odwr´ ot. Za l´ o˙zmy, ˙ze a jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego endomorfizmu f . Wtedy det(A − a · I

_n

) = 0, sk ad r(A − a · I

_, _n

) 6= n. Istniej a zatem a

_, ₁

, . . . , a

_n

∈ K nie wszystkie r´ owne 0 takie, ˙ze a

₁

◦







a

11

− a .. . a

_n1





 + . . . + a

_n

◦







a

1n

.. . a

_nn

− a





 =





 0

.. . 0





 , a wi ec [a

_, ₁

, . . . , a

_n

] jest niezerowym rozwi azaniem uk ladu (3), sk

_,

ad

_,

(A−a·I

_n

)·





 a

1

.. . a

n





 =





 0

.. . 0





 , a wi ec A·

_,





 a

1

.. . a

n





 = a◦





 a

1

.. . a

n





 . Wtedy α = a

₁

◦α

₁

+. . .+a

_n

◦α

_n

6= Θ

oraz f (α) = b

₁

◦ α

₁

+ . . . + b

_n

◦ α

_n

, gdzie





 b

1

.. . b

_n





 = A ·





 a

1

.. . a

_n





 = a ◦





 a

1

.. . a

_n





 . St ad f (α) = a ◦ α,

_,

czyli a jest warto´ sci a w lasn

_,

a endomorfizmu f i α jest wektorem w lasnym odpowiadaj

_,

acym

_,

warto´ sci w lasnej a. 2

Przyk lad 11.4. Wielomian charakterystyczny endomorfizmu f z przyk ladu 11.2 jest r´ owny W

f

(x) = (2 − x) · (1 − x) · (3 − x). Zatem z twierdzenia 11.3 wszystkimi warto´ sciami w lasnymi endomorfizmu f s a liczby: 1, 2 i 3. Z twierdzenia 11.1 wynika, ˙ze wektory w lasne odpowiadaj

_,

ace

_,

tym warto´ sciom w lasnym s a liniowo niezale˙zne, a poniewa˙z dim R

_, ³

= 3, wi ec te wektory tworz

_,

a

_,

baz e przestrzeni R

_, ³

i w tej bazie macierz a endomorfizmu f jest

_,







1 0 0 0 2 0 0 0 3





 . 2

Definicja 11.5. Powiemy, ˙ze cia lo K jest algebraicznie domkni ete, je˙zeli ka˙zdy wielomian

_,

f ∈ K[x] dodatniego stopnia posiada pierwiastek w ciele K.

Podstawowym przyk ladem cia la algebraicznie domkni etego jest ciao C liczb zespolonych. Z

_,

twierdzenia 11.3 wynika zatem od razu nast epuj

_,

acy

_,

Wniosek 11.6. Niech f b edzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V wymiaru n ∈ N nad

_,

cia lem algebraicznie domkni etym K. W´

_,

owczas f posiada warto´ s´ c w lasn a.

_,

Z zasadniczego twierdzenia algebry mo˙zna wyprowadzi´ c, ˙ze ka˙zdy wielomian nieparzystego stopnia o wsp´ o lczynnikach rzeczywistych posiada pierwiastek rzeczywisty. Zatem z twierdzenia 11.3 mamy

Wniosek 11.7. Niech V b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a wymiaru nieparzystego nad cia lem liczb

_,

rzeczywistych. W´ owczas ka˙zdy endomorfizm przestrzeni V posiada warto´ s´ c w lasn a.

_,

Z dowodu twierdzenia 11.3 mamy od razu nast epuj

_,

ace

_,

(4)

Twierdzenie 11.8. Niech A = [a

ij

]

i,j=1,...,n

b edzie macierz

_,

a endomorfizmu f przestrzeni

_,

liniowej V w bazie (α

₁

, . . . , α

_n

). Niech a b edzie warto´

_,

sci a w lasn

_,

a endomorfizmu f . W´

_,

owczas α = a

1

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

jest wektorem w lasnym odpowiadaj acym warto´

_,

sci w lasnej a wtedy, i tylko wtedy, gdy [a

1

, . . . , a

n

] jest niezerowym rozwi azaniem uk ladu r´

_,

owna´ n:



 



 



(a

11

− a)x

₁

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ (a

22

− a)x

₂

+ . . . + a

2n

x

n

= 0 .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. . .. . .. . a

n1

x

1

+ a

n2

x

2

+ . . . + (a

nn

− a)x

_n

= 0

.

Przyk lad 11.9. Wyznaczymy wektory w lasne endomorfizmu f z przyk ladu 11.2. Z przyk ladu 11.4 wiemy, ˙ze warto´ sciami w lasnymi tego endomorfizmu s a jedynie liczby: 1, 2, 3. Stosuj

_,

ac

_,

twierdzenie 11.8 wyznaczymy teraz kolejno wektory w lasne odpowiadaj ace tym warto´

_,

sciom w lasnym.

1. Dla warto´ sci w lasnej a = 1 mamy uk lad:



 

 

4x

1

− 3x

₂

+ 2x

3

= 0 6x

1

− 5x

₂

+ 4x

3

= 0 4x

₁

− 4x

₂

+ 4x

₃

= 0

.

Rozwi azujemy ten uk lad metod

_,

a eliminacji Gaussa. Po zastosowaniu operacji:

_, ¹₄

· r

₃

, r

3

↔ r

₁

, a nast epnie r

_, ₂

− 6 · r

₁

i r

₃

− 4 · r

₁

, wykre´ sleniu trzeciego r´ ownania oraz wykonaniu operacji r

₁

+ r

₂

uzyskamy uk lad:

(

x

1

− x

3

= 0

x

2

− 2x

₃

= 0 ,

wi ec x

_, ₃

= t, x

₁

= t, x

₂

= 2t, gdzie t jest dowoln a liczb

_,

a rzeczywist

_,

a. Ale nasze rozwi

_,

azania

_,

musz a by´

_,

c niezerowe, wi ec dodatkowo t 6= 0.

_,

Zatem wektory w lasne odpowiadaj ace warto´

_,

sci w lasnej a = 1 s a postaci: [t, 2t, t] dla t ∈ R\{0}.

_,

2. Dla warto´ sci w lasnej a = 2 mamy uk lad:



 

 

3x

1

− 3x

₂

+ 2x

3

= 0 6x

₁

− 6x

₂

+ 4x

₃

= 0 4x

₁

− 4x

₂

+ 3x

₃

= 0

.

Rozwi azujemy go metod

_,

a eliminacji Gaussa. Po zastosowaniu operacji: r

_, ₂

− 2 · r

₁

, r

₃

− r

₁

, r

1

↔ r

₃

, r

1

− 3 · r

₂

, (−1) · r

2

, r

1

− r

₂

, x

2

↔ x

₃

uzyskamy uk lad:

(

x

1

− x

₂

= 0

x

3

= 0 ,

wi ec x

_, ₂

= t, x

₁

= t, x

₃

= 0, gdzie t jest dowoln a liczb

_,

a rzeczywist

_,

a. Ale nasze rozwi

_,

azania

_,

musz a by´

_,

c niezerowe, wi ec dodatkowo t 6= 0.

_,

(5)



 

 

2x

1

− 3x

₂

+ 2x

3

= 0 6x

₁

− 7x

₂

+ 4x

₃

= 0 4x

1

− 4x

₂

+ 2x

3

= 0

.

Rozwi azujemy go metod

_,

a eliminacji Gaussa. Po zastosowaniu operacji:

_, ¹₂

·r

₃

, x

₁

↔ x

₃

, r

₁

↔ r

₃

, r

2

− 4 · r

₁

, r

3

− 2 · r

₁

, (−1) · r

2

, wykre´ sleniu trzeciego r´ ownania oraz wykonaniu operacji r

1

+ 2 · r

2

uzyskamy uk lad:

(

x

3

− 2x

₁

= 0

x

₂

− 2x

₁

= 0 ,

wi ec x

_, 1

= t, x

3

= 2t, x

2

= 2t, gdzie t jest dowoln a liczb

_,

a rzeczywist

_,

a. Ale nasze rozwi

_,

azania

_,

musz a by´

_,

c niezerowe, wi ec dodatkowo t 6= 0.

_,

Zatem wektory w lasne odpowiadaj ace warto´

_,

sci w lasnej a = 3 s a postaci: [t, 2t, 2t] dla t ∈

_,

R \ {0}.2

Definicja 11.10. Wektorem w lasnym macierzy A ∈ M

n

(K) nazywamy wektor w lasny przekszta lcenia liniowego f : K

ⁿ

→ K

ⁿ

, kt´ ore w bazie kanonicznej ma macierz A, tzn. f ([x

1

, . . . , x

n

]) = A ·





 x

₁

.. . x

n





 .

Przykad 11.11. Poka˙zemy, ˙ze je˙zeli cia lo K nie jest algebraicznie domkni ete, to pewna

_,

macierz kwadratowa nad K nie posiada warto´ sci w lasnej. Najpierw zauwa˙zmy, ˙ze je´ sli cia lo K nie jest algebraicznie domkni ete, to istniej

_,

a n ∈ N oraz a

_, 0

, . . . , a

n−1

∈ K takie, ˙ze wielomian w = x

ⁿ

− a

_n−1

x

ⁿ⁻¹

− . . . − a

₁

x − a

₀

nie posiada pierwiastka w ciele K. Przez prost a indukcj

_,

e

_,

mo˙zna wykaza´ c, ˙ze (−1)

ⁿ

· w jest wielomianem charakterystycznym macierzy

A =







0 1 0 . . . 0 0

0 0 1 . . . 0 0

0 0 0 . . . 0 0

.. . .. . .. . . .. .. . .. .

0 0 0 . . . 0 1

a

0

a

1

a

2

. . . a

n−2

a

n−1





 .

Zatem z twierdzenia 11.3, macierz A nie posiada warto´ sci w lasnej. W szczeg´ olno´ sci macierz

"

0 1

−1 0

#

∈ M

₂

(R) nie posiada rzeczywistej warto´sci w lasnej. 2

Twierdzenie 11.12 (Cayleya-Hamiltona). Dla dowolnego ciaa K ka˙zda macierz A ∈

M

_n

(K) jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego tzn. je´ sli det(A − x · I

_n

) =

c

₀

+ c

₁

x + . . . + c

_n

x

ⁿ

, to c

₀

· I

_n

+ c

₁

· A + . . . + c

_n

· A

ⁿ

= 0

_n

.

(6)

2 Zadania do samodzielnego rozwi azania

_,

Zadanie 11.13. Wyznaczy´ c warto´ sci w lasne oraz odpowiadaj ace im wektory w lasne poda-

_,

nych macierzy A nad cia lem R:

a) A =

"

4 3 1 2

#

, b) A =

"

2 −3

1 1

#

, c) A =

"

1 0 0 1

#

, d) A =







4 2 3

0 −1 1

0 0 1





 ,

e) A =







1 2 3 1 2 3 1 2 3





 , f) A =







1 3 0 −4 1 3 0 −4 1 3 0 −4 1 3 0 −4





 .

Odp. a) Warto´ sci w lasne: 1 i 5. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [1, −1] i [3, 1]. b)

_,

Brak rzeczywistych warto´ sci w lasnych. c) Warto´ sci w lasne: 1. Wektory w lasne: [1, 0] i [0, 1].

d) Warto´ sci w lasne: 4, -1, 1. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [1, 0, 0], [2, −5, 0], [−8, 3, 6].

_,

e) Warto´ sci w lasne: 0 i 6. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [−2, 1, 0] i [−3, 0, 1], [1, 1, 1].

_,

f) Warto´ sci w lasne: 0. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [−3, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [4, 0, 0, 1].

_,

Zadanie 11.14. Wyznaczy´ c warto´ sci w lasne oraz odpowiadaj ace im wektory w lasne poda-

_,

nych macierzy A nad cia lem R:

a) A =







4 −1 −2

2 1 −2

1 −1 1





 , b) A =







4 1 1 2 4 1 0 1 4





 , c) A =







2 −5 −3

−1 −2 −3 3 15 12





 ,

d) A =







4 −4 2

2 −2 1

−4 4 −2





 , e) A =







0 1 0 0 3 0 2 0 0 2 0 3 0 0 1 0





 .

Odp. a) Warto´ sci w lasne: 1, 2, 3. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [1, 1, 1], [1, 0, 1],

_,

[1, 1, 0]. b) Warto´ sci w lasne: 3, 6. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [0, 1, −1], [3, 4, 2].

_,

c) Warto´ sci w lasne: 3, 6. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [−7, 5, −6] i [6, −3, 3], [1, 1, −3].

_,

d) Warto´ sci w lasne: 0. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [1, 1, 0], [0, 1, 2]. e) Warto´

_,

sci w lasne:

-3, -1, 1, 3. Odpowiadaj ace im wektory w lasne: [1, −3, 3, −1], [1, −1, −1, 1], [1, 1, −1, −1],

_,

[1, −3, 3, −1].

Zadanie 11.15. Udowodnij twierdzenie Cayleya-Hamiltona dla n = 2 i n = 3.