§12. R´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe n-tego rze

(1)

R o z d z i a l III

R ´ OWNANIA R ´ O ˙ ZNICZKOWE LINIOWE WY ˙ ZSZYCH RZE

‘ D ´ OW

§12. R´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe n-tego rze

‘ du Na pocza

‘ tek zauwa˙zmy, ˙ze podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wy˙zszych rze

‘ d´ ow z analo- gicznymi oznaczeniami.

Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = R lub C.

W paragrafie tym rozwa˙za´ c be

‘ dziemy r´ ownanie r´ o˙zniczkowe postaci (1) y ⁽ⁿ⁾ = a ₁ (x)y ⁽ⁿ ⁻¹⁾ + . . . + a _n (x)y + b(x),

gdzie a 1 , . . . , a n , b sa

‘ funkcjami cia

‘ g lymi na przedziale (p, q) ⊂ R o warto´sciach z cia la K. R´ownanie to nazywa´c be ‘ dziemy r´ ownaniem r´ o˙zniczkowym liniowym n-tego rze ‘ du.

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘ du postaci

(2)

y ₁ ^′ = y 2

. . . .

y _n ^′ ₋₁ = y n

y ^′ _n = a n (x)y 1 + . . . + a 1 (x)y n + b(x) . W lasno´ s´ c 1. Je˙zeli Ψ jest integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (2), to jest postaci

(3) Ψ = [φ ^(l ⁻¹⁾ ] 1 ≤l≤n ,

gdzie φ : (p, q) → K jest rozwia ‘ zaniem r´ ownania (1). Odwrotnie, je´ sli φ : (p, q) → K jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1), to Ψ postaci (3) jest rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu (2).

Dow´ od. Niech Ψ = [ψ l ] 1 ≤l≤n be

‘ dzie integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (2). Oczy- wi´ scie ψ l : (p, q) → K. Po l´o˙zmy φ = ψ 1 . W´ owczas z kolejnych r´ owna´ n uk ladu (2) mamy ψ ₂ = φ ^′ , . . . , ψ _n = φ ⁽ⁿ ⁻¹⁾ , φ ⁽ⁿ⁾ (x) = a ₁ (x)φ ⁽ⁿ ⁻¹⁾ (x)+. . .+a _n (x)φ(x)+b(x), x ∈ (p, q).

0

Rozdzia l III, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z, 1993.

47

(2)

48

Odwrotnie, niech φ : (p, q) → K spe lnia r´ownanie (1). Po l´o˙zmy ψ 1 = φ, ψ 2 = φ ^′ , . . . , ψ _n = φ ⁽ⁿ ⁻¹⁾ . W´ owczas ψ ^′ ₁ (x) = ψ ₂ (x), . . . , ψ _n ^′ ₋₁ (x) = ψ _n (x), ψ ^′ _n (x) = a _n (x)ψ ₁ (x) + . . . + a ₁ (x)ψ _n (x) + b(x), x ∈ (p, q).

To ko´ nczy dow´ od.

W dalszym cia

‘ gu tego paragrafu za lo˙zymy, ˙ze K = R. Zatem a 1 , . . . , a _n , b be ‘ da

‘ teraz funkcjami rzeczywistymi.

Niech η = (η 1 , . . . , η n ) ∈ R ⁿ . Z twierdzenia 8.1 i powy˙zszej w lasno´ sci (dla K = R) dostajemy

Twierdzenie 1. Dla ka˙zdego punktu (ξ, η) ∈ (p, q) × R ⁿ istnieje dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie integralne φ : (p, q) → R r´ownania (1) spe lniaja ‘ ce warunki pocza

‘ tkowe φ(ξ) = η 1 , φ ^′ (ξ) = η 2 , . . . , φ ⁽ⁿ ⁻¹⁾ (ξ) = η n ,

(por. (1.2)).

Wobec powy˙zszego twierdzenia ograniczymy sie

‘ tylko do rozwia

‘ za´ n integralnych r´ ownania (1).

Gdy b = 0, to r´ ownanie (1) ma posta´ c

(4) y ⁽ⁿ⁾ = a 1 (x)y ⁽ⁿ ⁻¹⁾ + . . . + a n (x)y.

R´ ownanie (4) nazywa´ c be

‘ dziemy jednorodnym r´ ownaniem r´ o˙zniczkowym liniowym n-tego rze

‘ du.

Z w lasno´ sci 1 (dla K = R) i z w lasno´sci 8.3 dostajemy W lasno´ s´ c 2. Og´ o l integralnych rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4) jest rzeczywista

‘ przestrze- nia ‘ wektorowa

‘ n-wymiarowa

‘ . Ka˙zda

‘ baze

‘ przestrzeni, o kt´ orej mowa powy˙zej, nazywa´ c be

‘ dziemy fundamen- talnym uk ladem rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4).

Z w lasno´ sci 2 otrzymujemy natychmiast Twierdzenie 2. Je˙zeli φ ₁ , . . . , φ _n tworza

‘ fundamentalny uk lad rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4), to og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych r´ ownania (4) wyra˙za sie wzorem ‘

φ(x) = c 1 φ 1 (x) + . . . + c n φ n (x), x ∈ (p, q), gdzie c 1 , . . . , c n sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Z powy˙zszego twierdzenia i w lasno´ sci 1 (dla K = R) otrzymujemy latwo Wniosek 1. Niech φ ₀ be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem integralnym r´ ownania (1) oraz φ ₁ , . . . , φ _n be ‘ dzie fundamentalnym uk ladem rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4).

W´ owczas og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1) wyra˙za sie

‘ wzorem

φ(x) = φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + . . . + c n φ n (x), x ∈ (p, q), gdzie c 1 , . . . , c n sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Niech φ 1 , . . . , φ n be

‘ da

‘ integralnymi rozwia

‘ zaniami r´ ownania (4). Wyznacznik det[φ ^(l _k ⁻¹⁾ ] 1 ≤l,k≤n nazywamy wro´ nskianem uk ladu φ 1 , . . . , φ n .

Uwaga 1. Gdy dany jest uk lad fundamentalny rozwia

‘ za´ n φ ₁ , . . . , φ _n r´ ownania (4), to φ 0 mo˙zna znale´ z´ c metoda

‘ wariacji sta lych, korzystaja

‘ c z twierdzenia 8.4.

0

Rozdzia l III, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L,

L´ od´ z, 1993.

(3)

49

§13. Jednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe n-tego rze

‘ du o sta lych wsp´ o lczynnikach Pod ta

‘ nazwa

‘ rozumie´ c be

‘ dziemy r´ ownanie postaci (1) y ⁽ⁿ⁾ = a 1 y ⁽ⁿ ⁻¹⁾ + . . . + a n y,

gdzie a 1 , . . . , a n ∈ K. Tutaj, podobnie jak poprzednio, K = R lub C. Wielomianem

charakterystycznym r´ ownania (1) nazywamy wielomian

postaci

(2) λ ⁿ − a 1 λ ⁿ ⁻¹ − . . . − a n .

Rozwa˙zmy teraz jednorodny uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘ du o sta lych wsp´ o lczynnikach postaci

(3)

y ^′ ₁ = y 2

. . . .

y _n ^′ ₋₁ = y n

y _n ^′ = a n y 1 + a n −1 y 2 + . . . + a 1 y n

Macierz charakterystyczna tego uk ladu jest postaci



 

−λ 1 . . . 0

. . . .

0 0 . . . 1

a n a n −1 . . . a 1 − λ



  .

Wielomian charakterystyczny uk ladu (3), be

‘ da

‘ cy wyznacznikiem powy˙zszej macie- rzy jest r´ owny

( −1) ⁿ (λ ⁿ − a 1 λ ⁿ ⁻¹ − . . . − a n ), co sprawdzamy latwo, rozwijaja

‘ c ten wyznacznik wzgle

‘ dem ostatniego wiersza.

Widzimy sta

‘ d, ˙ze wielomian charakterystyczny (2) ma identyczne pierwiastki z wielomianem charakterystycznym uk ladu (3).

Twierdzenie 1. Je˙zeli λ 0 ∈ K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu (2), to (4) e ^λ

⁰

^x , xe ^λ

⁰

^x , . . . , x ^p ⁻¹ e ^λ

⁰

^x

sa ‘ liniowo niezale˙znymi nad K rozwia ‘ zaniami r´ ownania (1).

Dow´ od. Z powy˙zszej obserwacji wynika, ˙ze λ 0 jest p-krotnym pierwiastkiem wielo- mianu charakterystycznego uk ladu (3). Zatem z twierdzenia 11.2 i w lasno´ sci 12.1 dostajemy, ˙ze r´ ownanie (1) ma p liniowo niezale˙znych nad K rozwia

‘ za´ n postaci

(5) e ^λ

⁰

^x P ₁ (x), . . . , e ^λ

⁰

^x P _p (x), x ∈ R,

gdzie P k jest wielomianem o wsp´ o lczynnikach z K stopnia nie wie ‘ kszego ni˙z k − 1, k = 1, . . . , p. Wynika sta

‘ d, ˙ze wielomiany P 1 , . . . , P p sa

‘ r´ ownie˙z liniowo niezale˙zne

0

Rozdzia l III, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L,

L´ od´ z, 1993.

(4)

50

nad K. Latwo sprawdzamy, ˙ze zbi´or wielomian´ow stopnia nie wie ‘ kszego ni˙z p −1 jest p-wymiarowa

‘ przestrzenia

‘ wektorowa

‘ nad K. Zatem P 1 , . . . , P p sa

‘ jej baza

‘ . W kon-

sekwencji dla ka˙zdego k ∈ {0, . . . ,

p − 1}

x ^k = a _k1 P ₁ (x) + . . . + a _kp P _p (x), x ∈ R, gdzie a kl ∈ K. Sta ‘ d

(6) x ^k e ^λ

⁰

^x = a k1 P 1 (x)e ^λ

⁰

^x + . . . + a kp P p (x)e ^λ

⁰

^x , x ∈ R.

Latwo sprawdzamy, ˙ze kombinacja liniowa rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1) jest jego rozwia

‘ - zaniem (w przypadku K = R jest to bezpo´srednia konsekwencja w lasno´sci 12.2).

Sta ‘ d, z (5) i (6) dostajemy, ˙ze funkcje postaci (4) sa

‘ rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1).

Sa ‘ one oczywi´ scie liniowo niezale˙zne nad K. To ko´nczy dow´od.

W dalszym cia

‘ gu zak ladamy, ˙ze K = R i a 1 , . . . , a _n ∈ R. Bezpo´srednio z twierdzenia 1 dostajemy

Wniosek 1. Je˙zeli λ 0 jest p-krotnym rzeczywistym pierwiastkiem r´ ownania (2), to r´ ownanie (1) ma p liniowo niezale˙znych nad R rozwia ‘ za´ n postaci (4).

Wniosek 2. Je˙zeli λ 0 = σ + iτ jest p-krotnym zespolonym pierwiastkiem r´ ownania (2), τ ̸= 0, to r´ownanie (1) ma 2p liniowo niezale˙znych nad R rozwia ‘ za´ n postaci

(7) e ^σx cos τ x, xe ^σx cos τ x, . . . , x ^p ⁻¹ e ^σx cos τ x,

e ^σx sin τ x, xe ^σx sin τ x, . . . , x ^p ⁻¹ e ^σx sin τ x, x ∈ R.

Dow´ od. Z twierdzenia 1 (dla K = C) wynika, ˙ze funkcje postaci (4) sa ‘ rozwia

‘ - zaniami r´ ownania (1). Sta

‘ d i z faktu, ˙ze r´ ownanie (1) ma teraz wsp´ o lczynniki rzeczywiste wynika, ˙ze funkcje postaci (7) sa

‘ r´ ownie˙z rozwia

‘ zaniami (1). Liniowa niezale˙zno´ s´ c nad R funkcji (7) wynika bezpo´srednio z lematu 10.1. To ko´nczy dow´ od.

Z lematu 10.1 i z powy˙zszych wniosk´ ow dostajemy latwo twierdzenie o fundamentalnym uk ladzie rozwia

‘ za´ n uk ladu (1).

Niech λ ₁ = σ ₁ + iτ ₁ , . . . , λ _r = σ _r + iτ _r be

‘ da

‘ wszystkimi r´ o˙znymi pierwiastkami wielomianu (2) spe lniaja

‘ cymi warunek τ _k ≥ 0. Niech p 1 , . . . , p _r be

‘ da

‘ odpowiednio krotno´ sciami tych pierwiastk´ ow.

Twierdzenie 2. Je˙zeli ka˙zdemu k ∈ {1, . . . , r} przyporza ‘ dkujemy rozwia

‘ zanie zgodnie z w lasno´ scia

‘ 1 albo 2 w zale˙zno´ sci od tego czy τ k = 0, czy τ k > 0, to otrzymamy fundamentalny uk lad rozwia

§12. R´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe n-tego rze

R o z d z i a l III

R ´ OWNANIA R ´ O ˙ ZNICZKOWE LINIOWE WY ˙ ZSZYCH RZE

‘ D ´ OW

§12. R´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe n-tego rze

‘ du Na pocza

‘ tek zauwa˙zmy, ˙ze podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wy˙zszych rze

‘ d´ ow z analo- gicznymi oznaczeniami.

Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = R lub C.

W paragrafie tym rozwa˙za´ c be

‘ dziemy r´ ownanie r´ o˙zniczkowe postaci (1) y (n) = a 1 (x)y (n −1) + . . . + a n (x)y + b(x),

gdzie a 1 , . . . , a n , b sa

‘ funkcjami cia

‘ g lymi na przedziale (p, q) ⊂ R o warto´sciach z cia la K. R´ownanie to nazywa´c be ‘ dziemy r´ ownaniem r´ o˙zniczkowym liniowym n-tego rze ‘ du.

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘ du postaci

(2)

y 1 ′ = y 2

. . . .

y n ′ −1 = y n

y ′ n = a n (x)y 1 + . . . + a 1 (x)y n + b(x) . W lasno´ s´ c 1. Je˙zeli Ψ jest integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (2), to jest postaci

(3) Ψ = [φ (l −1) ] 1 ≤l≤n ,

gdzie φ : (p, q) → K jest rozwia ‘ zaniem r´ ownania (1). Odwrotnie, je´ sli φ : (p, q) → K jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1), to Ψ postaci (3) jest rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu (2).

Dow´ od. Niech Ψ = [ψ l ] 1 ≤l≤n be

‘ dzie integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (2). Oczy- wi´ scie ψ l : (p, q) → K. Po l´o˙zmy φ = ψ 1 . W´ owczas z kolejnych r´ owna´ n uk ladu (2) mamy ψ 2 = φ ′ , . . . , ψ n = φ (n −1) , φ (n) (x) = a 1 (x)φ (n −1) (x)+. . .+a n (x)φ(x)+b(x), x ∈ (p, q).

Rozdzia l III, Jacek Cha

‘ dzy´ nki, Wste

‘ p do r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, Wyd. U L, L´ od´ z, 1993.

47

48

Odwrotnie, niech φ : (p, q) → K spe lnia r´ownanie (1). Po l´o˙zmy ψ 1 = φ, ψ 2 = φ ′ , . . . , ψ n = φ (n −1) . W´ owczas ψ ′ 1 (x) = ψ 2 (x), . . . , ψ n ′ −1 (x) = ψ n (x), ψ ′ n (x) = a n (x)ψ 1 (x) + . . . + a 1 (x)ψ n (x) + b(x), x ∈ (p, q).

To ko´ nczy dow´ od.

W dalszym cia

‘ gu tego paragrafu za lo˙zymy, ˙ze K = R. Zatem a 1 , . . . , a n , b be ‘ da

‘ teraz funkcjami rzeczywistymi.

Niech η = (η 1 , . . . , η n ) ∈ R n . Z twierdzenia 8.1 i powy˙zszej w lasno´ sci (dla K = R) dostajemy

Twierdzenie 1. Dla ka˙zdego punktu (ξ, η) ∈ (p, q) × R n istnieje dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie integralne φ : (p, q) → R r´ownania (1) spe lniaja ‘ ce warunki pocza

‘ tkowe φ(ξ) = η 1 , φ ′ (ξ) = η 2 , . . . , φ (n −1) (ξ) = η n ,

(por. (1.2)).

Wobec powy˙zszego twierdzenia ograniczymy sie

‘ tylko do rozwia

‘ za´ n integralnych r´ ownania (1).

Gdy b = 0, to r´ ownanie (1) ma posta´ c

(4) y (n) = a 1 (x)y (n −1) + . . . + a n (x)y.

R´ ownanie (4) nazywa´ c be

‘ dziemy jednorodnym r´ ownaniem r´ o˙zniczkowym liniowym n-tego rze

‘ du.

Z w lasno´ sci 1 (dla K = R) i z w lasno´sci 8.3 dostajemy W lasno´ s´ c 2. Og´ o l integralnych rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4) jest rzeczywista

‘ przestrze- nia ‘ wektorowa

‘ n-wymiarowa

‘ . Ka˙zda

‘ baze

‘ przestrzeni, o kt´ orej mowa powy˙zej, nazywa´ c be

‘ dziemy fundamen- talnym uk ladem rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4).

Z w lasno´ sci 2 otrzymujemy natychmiast Twierdzenie 2. Je˙zeli φ 1 , . . . , φ n tworza

‘ fundamentalny uk lad rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4), to og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych r´ ownania (4) wyra˙za sie wzorem ‘

φ(x) = c 1 φ 1 (x) + . . . + c n φ n (x), x ∈ (p, q), gdzie c 1 , . . . , c n sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Z powy˙zszego twierdzenia i w lasno´ sci 1 (dla K = R) otrzymujemy latwo Wniosek 1. Niech φ 0 be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem integralnym r´ ownania (1) oraz φ 1 , . . . , φ n be ‘ dzie fundamentalnym uk ladem rozwia

‘ za´ n r´ ownania (4).

W´ owczas og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1) wyra˙za sie

‘ wzorem

φ(x) = φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + . . . + c n φ n (x), x ∈ (p, q), gdzie c 1 , . . . , c n sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Niech φ 1 , . . . , φ n be

‘ da

‘ integralnymi rozwia

‘ dziemy r´ ownanie r´ o˙zniczkowe postaci (1) y ⁽ⁿ⁾ = a ₁ (x)y ⁽ⁿ ⁻¹⁾ + . . . + a _n (x)y + b(x),

y ₁ ^′ = y 2

y _n ^′ ₋₁ = y n

y ^′ _n = a n (x)y 1 + . . . + a 1 (x)y n + b(x) . W lasno´ s´ c 1. Je˙zeli Ψ jest integralnym rozwia

(3) Ψ = [φ ^(l ⁻¹⁾ ] 1 ≤l≤n ,

‘ zaniem uk ladu (2). Oczy- wi´ scie ψ l : (p, q) → K. Po l´o˙zmy φ = ψ 1 . W´ owczas z kolejnych r´ owna´ n uk ladu (2) mamy ψ ₂ = φ ^′ , . . . , ψ _n = φ ⁽ⁿ ⁻¹⁾ , φ ⁽ⁿ⁾ (x) = a ₁ (x)φ ⁽ⁿ ⁻¹⁾ (x)+. . .+a _n (x)φ(x)+b(x), x ∈ (p, q).

‘ gu tego paragrafu za lo˙zymy, ˙ze K = R. Zatem a 1 , . . . , a _n , b be ‘ da

Niech η = (η 1 , . . . , η n ) ∈ R ⁿ . Z twierdzenia 8.1 i powy˙zszej w lasno´ sci (dla K = R) dostajemy

Twierdzenie 1. Dla ka˙zdego punktu (ξ, η) ∈ (p, q) × R ⁿ istnieje dok ladnie jedno rozwia

‘ tkowe φ(ξ) = η 1 , φ ^′ (ξ) = η 2 , . . . , φ ⁽ⁿ ⁻¹⁾ (ξ) = η n ,

(4) y ⁽ⁿ⁾ = a 1 (x)y ⁽ⁿ ⁻¹⁾ + . . . + a n (x)y.

Z w lasno´ sci 2 otrzymujemy natychmiast Twierdzenie 2. Je˙zeli φ ₁ , . . . , φ _n tworza

Z powy˙zszego twierdzenia i w lasno´ sci 1 (dla K = R) otrzymujemy latwo Wniosek 1. Niech φ ₀ be

‘ zaniem integralnym r´ ownania (1) oraz φ ₁ , . . . , φ _n be ‘ dzie fundamentalnym uk ladem rozwia

‘ zaniami r´ ownania (4). Wyznacznik det[φ ^(l _k ⁻¹⁾ ] 1 ≤l,k≤n nazywamy wro´ nskianem uk ladu φ 1 , . . . , φ n .

‘ za´ n φ ₁ , . . . , φ _n r´ ownania (4), to φ 0 mo˙zna znale´ z´ c metoda

‘ dziemy r´ ownanie postaci (1) y ⁽ⁿ⁾ = a 1 y ⁽ⁿ ⁻¹⁾ + . . . + a n y,

(2) λ ⁿ − a 1 λ ⁿ ⁻¹ − . . . − a n .

y ^′ ₁ = y 2

y _n ^′ ₋₁ = y n

y _n ^′ = a n y 1 + a n −1 y 2 + . . . + a 1 y n

( −1) ⁿ (λ ⁿ − a 1 λ ⁿ ⁻¹ − . . . − a n ), co sprawdzamy latwo, rozwijaja

Twierdzenie 1. Je˙zeli λ 0 ∈ K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu (2), to (4) e ^λ

^x , xe ^λ

^x , . . . , x ^p ⁻¹ e ^λ

^x

(5) e ^λ

^x P ₁ (x), . . . , e ^λ

^x P _p (x), x ∈ R,

x ^k = a _k1 P ₁ (x) + . . . + a _kp P _p (x), x ∈ R, gdzie a kl ∈ K. Sta ‘ d