Optymalizacja odwzorowania wielostożkowego Polski według kryterium Airy'ego

(1)

ROCZNIKI GEOMATYKI 2015 m T XIII m Z 2(68): 109123

Optymalizacja odwzorowania wielosto¿kowego Polski

wed³ug kryterium Airy'ego

Optimization of a polyconic projection for Poland

with respect to Airy's criterion

Kamil Jan Latuszek

Politechnika Warszawska, Wydzia³ Geodezji i Kartografii, Zak³ad Kartografii

S³owa kluczowe: kartografia matematyczna, odwzorowania wielosto¿kowe, minimalizacja zniekszta³ceñ odwzorowawczych, kryterium Airy'ego, algorytm Neldera-Meada

Keywords: mathematical cartography, polyconic projections, minimization of projection distor-tion, Airy's criterion, Nelder-Mead algorithm

Wstêp

W artykule rozwa¿one zostanie odwzorowanie porednie pomiêdzy odwzorowaniami równopolowymi a równok¹tnymi. Odwzorowanie to bêdzie minimalizowaæ przeciêtne znie-kszta³cenia odleg³oci we wszystkich kierunkach, dla ca³ego odwzorowywanego obszaru. Obszar ten bêdzie prostok¹tnym p³atem elipsoidy obrotowej sp³aszczonej odpowiadaj¹cym w przybli¿eniu obszarowi Polski:

(1) Jedn¹ z podstawowych miar lokalnych zniekszta³ceñ odwzorowawczych (miar zale¿-nych jedynie od wspó³rzêdzale¿-nych geodezyjzale¿-nych (j, l) rozwa¿anego punktu odwzorowania) jest tzw. miara redniokwadratowa pierwszego rodzaju w sensie G.B. Airy'ego:

(2) W powy¿szym równaniu m, n oznaczaj¹ ekstremalne skale d³ugoci. Miary lokalne znie-kszta³ceñ stanowi¹ czêsto podstawê do definiowania miar integralnych, charakteryzuj¹cych stan rozk³adu zniekszta³ceñ w ca³ym dowolnie wyró¿nionym obszarze (w artykule bêdzie to obszar w). Miara lokalna (2) mo¿e zostaæ uogólniona do miary integralnej (3), zwanej ca³ko-witym redniokwadratowym zniekszta³ceniem pierwszego rodzaju dla danego obszaru w sensie Airy'ego:

^

_M

_O

_M

R

_O

R

`

Z

>

@

P

Q

H

(2)

(3) W powy¿szym równaniu S oznacza obszar badania stanu rozk³adu zniekszta³ceñ odwzo-rowawczych,

6

oznacza miarê obszaru, dS oznacza jego granice, dS oznacza element pola powierzchni orygina³u (elipsoidy obrotowej sp³aszczonej). W oparciu o miarê (3) mo¿na sformu³owaæ kryterium globalne minimalizacji zniekszta³ceñ, postuluj¹ce minimalizacjê wska-zanej miary dla wybranego obszaru:

(4) Kryterium ca³kowe (4) nazywane jest kryterium Airy'ego (Panasiuk, Balcerzak, Pokrow-ska,1999; Pêdzich, 2008).

Ekstremalne skale d³ugoci m, n w poszczególnych punktach odwzorowania s¹ równe pó³osiom elips zniekszta³ceñ odwzorowawczych i wyznaczaj¹ zniekszta³cenia k¹tów, po-wierzchni pól oraz przeciêtne zniekszta³cenia d³ugoci we wszystkich kierunkach. Regularne odwzorowanie powierzchni w inn¹ powierzchniê, o skalach ekstremalnych wszêdzie rów-nych jednoci (elipsach zniekszta³ceñ wszêdzie rówrów-nych okrêgom jednostkowym) nie po-siada zniekszta³ceñ, dlatego minimalizacja miary integralnej (3) pozwala na jednoczesn¹ mini-malizacjê wszystkich wspomnianych rodzajów zniekszta³ceñ. Wobec tego odwzorowanie spe³niaj¹ce kryterium (4) ma charakter poredni pomiêdzy optymalnymi odwzorowaniami równok¹tnymi a równopolowymi.

Najprawdopodobniej oko³o 1820 roku F.R. Hassler wynalaz³ odwzorowanie kartograficz-ne (5), w którym obrazy równole¿ników by³y ³ukami okrêgów (niekoncentrycznych), a po³udniki fragmentami linii krzywych. Odwzorowanie to nie by³o ani równok¹tne, ani rów-nopolowe, zachowywa³o natomiast skalê d³ugoci wzd³u¿ równole¿ników. Hassler nazwa³ to odwzorowanie wielosto¿kowym.

Odwzorowanie wielosto¿kowe (w Europie nazywane wielosto¿kowym amerykañskim) stosowane by³o póniej w Stanach Zjednoczonych, w nieco zmodyfikowanej formie do wykonywania map wielkoskalowych (do po³owy XX wieku). Obrazy równole¿ników maj¹ tak¹ sam¹ krzywiznê oraz d³ugoæ, jak¹ mia³yby, gdyby zosta³y odwzorowane za pomoc¹ odwzorowania sto¿kowego stycznego do nich, st¹d wieloæ sto¿ków i nazwa odwzoro-wania. Przez uogólnienie nazwa odwzorowania wielosto¿kowego jest równie¿ czêsto u¿y-wana do okrelenia innych odwzorowañ kartograficznych o obrazach równole¿ników bêd¹-cych ³ukami okrêgów (Snyder, 1987).

>

@

³

w 6 G6 Q P 6 (

>

@

³

w 6 G6 Q P 6 ( PLQ

VLQ VLQ VLQ VLQ FRW FRW FRV M M M O O M O M O M M O O O M O M H D 1 H H D 0 ( ( 1 \ 0 0 1 ( [\ D 0 [ z z (5)

(3)

W dalszej czêci artyku³u rozwa¿one zostan¹ trzy modele parametryczne odwzorowañ wielosto¿kowych dla obszaru Polski, których ogólny zapis formu³ odwzorowawczych jest nastêpuj¹cy:

Sformu³owanie zadania

optymalizacji odwzorowania wielosto¿kowego

Przez zastosowanie I twierdzenia Appoloniusza oraz wykonanie przekszta³ceñ kryterium (4) staje siê równowa¿ne minimalizacji ca³ki (7), wyra¿onej za pomoc¹ wspó³czynników pierwszych form kwadratowych powierzchni obrazu oraz powierzchni orygina³u:

(

)

*

(

)

*

:

Dla odwzorowañ wielosto¿kowych (6) wspó³czynniki pierwszej formy kwadratowej powierzchni obrazu wyra¿aj¹ siê zale¿nociami (8).

Je¿eli zdefiniowane zostan¹ zmienne decyzyjne (parametry okrelaj¹ce jednoznacznie odwzorowanie wielosto¿kowe) pozwalaj¹ce na obliczenie funkcji (8), to mo¿liwe stanie siê rozwa¿enie nastêpuj¹cego zadania optymalizacji, gdzie funkcj¹ celu jest podany w (7) odpo-wiednik miary (3):

Podane ograniczenia (9.2) wyra¿aj¹ koniecznoæ zapewnienia ró¿nowartociowoci od-wzorowania, w tym regularnoci (okrelenie zbioru rozwi¹zañ dopuszczalnych). Funkcje q, r, c mo¿na zast¹piæ wielomianami potêgowymi (10) i sparametryzowaæ wspó³czynniki tych wielomianów, uzyskuj¹c w ten sposób pewien model parametryczny odwzorowania wielo-sto¿kowego (6). Czynnik sta³y q dla jest pominiêty, gdy¿ wp³ywa³by on jedynie na przesuniê-cie wspó³rzêdnych odwzorowania.

>

@

>

@

VLQ FRV R F \ T F [ O O O M M U O M O M U M M O O M (6) (7) (8)

VLQ TUF FOO U FF OO ) PLQ

³³

' ' » ¼ º « ¬ ª O T O TG G ) * ( (* (* * ( * ( * ( * ( S ( & (9.1)

>

FRV

@

PD[ ¿ ¾ ½ ¯ ® z

U O O O O U O O S O M F T F F 3 S 5 3 S R S Q & & (9.2)

G = r2_c2

_FRV _VLQ T U U F OO TU FOO TUF OO FOO ( M S T O T O T » ¼ º « ¬ ª

³³

_' ' ( *₍ * _*( (* (* (* (* ) G G (

(4)

W ten sposób zdefiniowaæ mo¿na zmienne decyzyjne zadania optymalizacji i umo¿liwiæ jego rozwi¹zanie metodami numerycznymi. Zastêpuj¹c przy tym szerokoæ geodezyjn¹ jej dope³nieniem do k¹ta prostego q otrzymamy przyk³adowy model postaci:

Wartoci parametrów wektora

S&

mo¿na za porednictwem wspó³czynników pierwszej formy kwadratowej powierzchni obrazu (8) podstawiæ do ca³ki (7) i dalej przez obliczenie (3) umo¿liwiæ ocenienie ogólnego poziomu zniekszta³ceñ odwzorowania wielosto¿kowego. Ograniczenia zadania optymalizacji dla wybranego modelu wyra¿¹ siê wówczas jako nastê-puj¹ce zale¿noci:

Ograniczeniom tym nie odpowiada wprost skoñczony zbiór ograniczeñ funkcyjnych nie-równociowych, jednak¿e dla wskazanego obszaru optymalizacji odwzorowania uzyskiwa-ne drog¹ rozwi¹zywania zadania bez ograniczeñ (z pominiêciem ich) okazywa³y siê byæ regularne, co sprawdzano a posteriori. Przyk³ad badania regularnoci odwzorowania podany zostanie w dalszej czêci artyku³u.

Mo¿liwe jest zdefiniowanie innych modeli parametrycznych odwzorowania wielosto¿ko-wego (6), przyk³adowo poprzez zmianê wzajemnych relacji poszczególnych funkcji we-wnêtrznych q, r, c. Motywacj¹ dla zastosowania parametryzacji (11.2.1-11.2.2) jest dopro-wadzenie do sytuacji, w której poszczególne funkcje q, r, c decyduj¹ niezale¿nie o rozmiesz-czeniu, promieniu oraz d³ugoci ³uków obrazów równole¿ników. Wed³ug (11.2.1) funkcja q decyduje o rozmieszczeniu obrazów równole¿ników wzd³u¿ obrazu po³udnika osiowego, funkcja r decyduje o d³ugoci promienia obrazu równole¿nika (tutaj bez zmian w stosunku do poprzedniej parametryzacji), natomiast funkcja c samodzielnie decyduje o d³ugoci obrazu równole¿nika:

>

@ >

@

S F F F F T T T S S S S F F F T T T T Q U U U T T T T U T U U T U T T T T & (10)

>

@

>

@

VLQ FRV O O T T U O M O T U T T O O M F \ T F [ _(11.1.1)

>

@

FRV U OPD[ O OPD[ O S U M M M M ¸¸¹ · ¨¨© § ! !

F F T F (11.1.2)

VLQ FRV » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª O O T U T T U O M O O T U T T U T U T O M F \ F T [ (11.2.1)

(5)

Ograniczenia dla tego modelu wyra¿aæ siê bêd¹ zale¿nociami:

Zaproponowany zostanie jeszcze trzeci model parametryczny (11.3.1-11.3.2), w którym funkcja r decyduje o d³ugoci obrazu równole¿nika, natomiast o jego krzywinie decyduje funkcja r oraz c:

Sposób parametryzacji poszczególnych funkcji q, r, c (parametryzacja wspó³czynników rozwiniêæ w szeregi potêgowe) jest dla wszystkich modeli taki sam i zosta³ podany w (10). Nie istnieje model parametryczny umo¿liwiaj¹cy reprezentacjê ka¿dego mo¿liwego odwzo-rowania wielosto¿kowego podanego w formie analitycznej (6), w szczególnoci bior¹c pod uwagê praktyczn¹ koniecznoæ ograniczenia liczby wykorzystywanych parametrów. Mo¿liwe jest natomiast porównanie ró¿nych modeli parametrycznych pod wzglêdem ich efektywnoci, rozumianej jako mo¿liwoæ ich optymalizacji, celem rozwi¹zania zadania (9.1-9.2).

Optymalizacja odwzorowania wielosto¿kowego

Omawiane modele parametryczne wskazuj¹ pewne wieloparametrowe rodziny odwzoro-wañ wielosto¿kowych, do których nale¿¹ odwzorowania sto¿kowe normalne:

FRV FRV PD[ PD[ PD[ S O O U O O U O O U U U U M M M M ¸¸ ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨¨ ¨ ¨ ¨ © § »¼ º «¬ ª »¼ º «¬ ª ! !

_F F F T F _(11.2.2)

>

@

VLQ

>

@

FRV O O T T T U O M O O T T T U T T U T O M F F \ F F F T [ _(11.3.1)

>

@

>

@

FRV FRV PD[ PD[ PD[ U O_O O_O O O S U U M M M M ¸¸¹ · ¨¨© § ! !

F F F F T F F F F R S (11.3.2)

>

@

>

@

>

@

>

@

@ > @ > @ > @ > @ > VLQ FRV VLQ FRV VLQ FRV F F F F F F S F F F S F S F F F T T T S S S S S F F F \ F F F F F [ F \ F [ F \ F [ Q U U U U U U U U U U U U U U U U U U U O O T U O O T U T U T U O O T U T U T U O O T U T U T U T U T U O O T UU T O O ° ° ¿ °° ¾ ½ ° ° ¯ °° ® ° ° ¿ ° ° ¾ ½ ° ° ¯ ° ° ® » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª ¿ ¾ ½ ¯ ® & & & & (12)

(6)

Wed³ug (12)

S

&

S

&

S

&

oznaczaj¹ równowa¿ne wektory zmiennych decyzyjnych (wska-zuj¹ce to samo odwzorowanie sto¿kowe) wedle modeli parametrycznych (11.1, 11.2, 11.3). Wskazane modele parametryczne, przy zastosowaniu takiej samej liczby parametrów, repre-zentuj¹ rodziny odwzorowañ wielosto¿kowych o czêciowym pokryciu, poniewa¿ istniej¹ zarówno odwzorowania wielosto¿kowe nale¿¹ce do wszystkich trzech rodzin, jak i odwzo-rowania nale¿¹ce tylko do niektórych z nich. Gdyby nawet optymalne odwzorowanie dla wszystkich trzech rodzin by³o tym samym odwzorowaniem, nie dawa³oby to pewnoci, ¿e porównywane modele s¹ równie efektywne (przy zadanym, wspólnym odwzorowaniu po-cz¹tkowym i dla danego algorytmu optymalizacji). Inaczej mówi¹c, nawet rozwa¿aj¹c pod-zbiory wspólne odwzorowañ wielosto¿kowych, nale¿¹ce do wszystkich trzech rodzin, prze-strzeñ przeszukiwañ mo¿e prezentowaæ ró¿ny stopieñ trudnoci, wp³ywaj¹c na zbie¿noæ danego algorytmu.

W artykule podjêta zostanie próba porównania efektywnoci wybranych modeli przy nastêpuj¹cych za³o¿eniach:

m odwzorowaniem pocz¹tkowym bêdzie pewne odwzorowanie sto¿kowe wyra¿alne w

obrêbie wszystkich trzech modeli parametrycznych (opisane w dalszej czêci artyku-³u),

m wykorzystany zostanie algorytm optymalizacji lokalnej nieliniowej Neldera-Meada

wsparty operatorem mutacji rozk³adem normalnym,

m poniewa¿ algorytm optymalizacji zawiera procedury niedeterministyczne kryterium

porównawczym dla wskazanych modeli bêdzie uredniona wartoæ miary integralnej (3) dla kilkudziesiêciu odwzorowañ (dla ka¿dej parametryzacji), uzyskanych drog¹ optymalizacji wskazanym algorytmem, gdzie kryterium stopu bêdzie liczb¹ wykona-nych obliczeñ wartoci funkcji celu (przyjêto dziesiêæ tysiêcy razy wymiar zadania, co na ogó³ pozwala³o uzyskaæ odwzorowania o niewielkich zniekszta³ceniach). Dla odwzorowañ sto¿kowych normalnych równok¹tnych oraz równopolowych znane jest kryterium Kawrajskiego, pozwalaj¹ce na minimalizacjê pozosta³ych rodzajów zniekszta³-ceñ dla odwzorowywanego obszaru. Na podstawie trzech kryteriów (Pasaniuk, Balcerzak, Pokrowska, 1999) mo¿na wyznaczyæ sta³e odwzorowania sto¿kowego c, C oraz d³ugoæ promienia obrazu równole¿nika r(J) odwzorowania sto¿kowego równok¹tnego (13.1) oraz równopolowego (13.2) dla obszaru Polski:

(7)

W równaniach (13.1-13.2) E, e oznaczaj¹ odpowiednio podstawê logarytmu naturalnego oraz pierwszy mimoród elipsoidy obrotowej sp³aszczonej. Przyk³adem odwzorowania sto¿-kowego poredniego pomiêdzy optymalnym dla obszaru Polski odwzorowaniem sto¿ko-wym równok¹tnym a równopolosto¿ko-wym mo¿e byæ odwzorowanie sto¿kowe minimalizuj¹ce sumê kwadratów ró¿nic promieni wodz¹cych obrazów równole¿ników odwzorowania opty-malizowanego (szukanego, poredniego) z odwzorowaniami (13.1, 13.2) oraz uredniaj¹ce wartoæ sta³ych sto¿kowych c:

Odwzorowanie takie nie jest ju¿ ani równok¹tne, ani równopolowe, ma natomiast ma³e zniekszta³cenia przeciêtne d³ugoci we wszystkich kierunkach w badanym obszarze (tym samym zminimalizowane równoczenie zniekszta³cenia k¹tów i powierzchni pól). Przyjête ono zostanie, bior¹c trzy parametry na opisanie r(q) oraz jeden na opisanie c(q) = c, jako odwzorowanie pocz¹tkowe (definiowalne we wszystkich modelach, wed³ug (12)).

Do rozwi¹zania zadania optymalizacji odwzorowania wielosto¿kowego wykorzystany zosta³ algorytm optymalizacji lokalnej, nieliniowej Neldera-Meada, zmodyfikowany przez dodanie operatora mutacji rozk³adem normalnym, znanego z algorytmów ewolucyjnych. Algorytm w niezmodyfikowanej wersji zak³ada geometryczne przekszta³canie sympleksu, to jest uogól-nionego na n wymiarów trójk¹ta o n+1 wierzcho³kach, z których n jest liniowo niezale¿nych, gdzie n to liczba zmiennych decyzyjnych (parametrów jednoznacznie okrelaj¹cych odwzo-rowanie wielosto¿kowe na podstawie (10) oraz (11.1.1), (11.2.1) lub (11.3.1)). Ka¿dy wierz-cho³ek le¿y na pewnej warstwicy wartoci funkcji celu (3) lub równowa¿nie, dla uproszcze-nia obliczeñ (7) i mo¿e byæ interpretowany jako odwzorowanie wielosto¿kowe o ogólnym poziomie zniekszta³ceñ okrelonym przez te funkcje. W ka¿dej iteracji wierzcho³ek najgorszy (o najwiêkszej wartoci funkcji celu, któremu odpowiada odwzorowanie o najwiêkszych zniekszta³ceniach) jest przesuwany w kierunku centroidu (rodka ciê¿koci) pozosta³ych wierzcho³ków, czyli w domniemanym kierunku poprawy dla tego wierzcho³ka. Stopieñ prze-suniêcia zale¿y od stopnia poprawy wartoci funkcji celu w nowym punkcie, w stosunku do dotychczasowych wierzcho³ków. Dzia³anie algorytmu ilustrowane jest najczêciej dla przy-padku dwuwymiarowego, gdzie sympleks jest trójk¹tem (rys. 1).

F F PLQ N S S N F

³

w T U T U T U T U T U (14)

Rysunek 1. Sympleks, którego wierzcho³kom 1, 2, 3 odpowiadaj¹ kolejno rosn¹ce wartoci funkcji celu; punkt 3` jest punktem próbnie odbitym; punkt 3`` jest punktem próbnej ekspansji podobnie jak 3 oka¿e

(8)

Wedle za³¹czonej ilustracji mo¿na przyj¹æ, ¿e wierzcho³kiem najlepszym jest wierzcho³ek o numerze 1, najgorszym wierzcho³ek o numerze 3. Wierzcho³ek najgorszy, tzn. 3 jest wstêpnie odbijany symetrycznie wzglêdem centroidu na pozycjê 3'. W zale¿noci od stopnia poprawy wartoci funkcji celu w punkcie 3' (przez porównanie z wartoci¹ funkcji celu w innych wierzcho³kach) 3' mo¿e zostaæ uznany za nowy wierzcho³ek, zastêpuj¹c wierzcho³ek 3, lub wykonane mo¿e zostaæ kolejne przesuniêcie próbne na pozycjê 3". Przesuniêcie dalsze, zwiêk-szaj¹ce rozmiar sympleksu, zwane ekspansj¹, wykonane zostanie, je¿eli wierzcho³kowi 3' bêdzie odpowiadaæ wystarczaj¹co ma³a wartoæ funkcji celu. Je¿eli próbny odbity wierzcho-³ek 3' nie bêdzie wykazywaæ wystarczaj¹cej poprawy wartoci funkcji celu zostanie on ci¹gniêty na pozycjê 3", zmniejszaj¹c rozmiar sympleksu (dwa rodzaje ci¹gniêcia po stronie przeciwnej lub tej samej do wierzcho³ka poprawianego). Ostateczna decyzja o wybo-rze nowej pozycji wierzcho³ka 3 podejmowana jest w oparciu o wartoæ funkcji celu w 3". W skrajnym przypadku dokonywana jest kontrakcja uredniaj¹ca pozycje wierzcho³ków z wierzcho³kiem najlepszym w dotychczasowym sympleksie. Operacje takie jak odbicie i eks-pansja zachowuj¹ lub zwiêkszaj¹ rozmiar sympleksu i s¹ w³aciwe dla sytuacji, gdy sym-pleks jest odleg³y od poszukiwanego minimum. Operacje ci¹gniêæ oraz kontrakcji wykony-wane s¹ przy ma³ym obserwowanym stopniu poprawy wartoci funkcji celu i s¹ w³aciwe dla koñcowego etapu optymalizacji, kiedy sympleks zmniejsza rozmiar i zapada siê do mini-mum. Dok³adny opis dzia³ania algorytmu (wykorzystanego po opisanej dalej modyfikacji na potrzeby niniejszego artyku³u) mo¿na znaleæ w (Latuszek, 2013).

Rozwi¹zaniem pocz¹tkowym metody jest zbiór wektorów reprezentuj¹cych rozwi¹zania startowe (n +1 wierzcho³ków sympleksu). Przyjêto, ¿e jednym z wierzcho³ków jest wspo-mniane odwzorowanie sto¿kowe porednie, pozosta³e s¹ uzyskane przez dodanie do kolej-nych parametrów tego odwzorowania liczby 0.01:

Przytoczony algorytm Neldera-Meada mo¿na skutecznie zastosowaæ do optymalizacji odwzorowañ azymutalnych normalnych sfery wed³ug kryterium Airy'ego (Latuszek, 2013) oraz do optymalizacji wspó³czynników transformacji znanych odwzorowañ sfery wed³ug kryterium minimalizacji zrewidowanej miary Petersa (Canters, 2002), gdzie celem zapobie-gniêcia przedwczesnej zbie¿noci po³¹czono ten algorytm z metod¹ wielostartow¹. Ponie-wa¿ w przypadku optymalizacji wed³ug kryterium Airy'ego wybranych modeli parametrycz-nych odwzorowañ wielosto¿kowych elipsoidy obrotowej sp³aszczonej zaobserwowano przed-wczesn¹ zbie¿noæ algorytmu, po³¹czono go z operatorem mutacji rozk³adem normalnym. Dzia³anie operatora mutacji polega na dodaniu do parametrów odwzorowania liczb wyloso-wanych z rozk³adu normalnego o pewnym ustalonym eksperymentalnie odchyleniu

standar- F @ > » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª U U US U U U F Q S S S Q S S S Q S S S Q S S S 3Q Q & & & & & & & & & & & & & (15)

(9)

dowym i zerowej wartoci oczekiwanej. Po ustalonej liczbie iteracji metody Neldera-Meada, najlepszy znaleziony w toku dotychczasowego dzia³ania algorytmu wierzcho³ek by³ mutowa-ny n + 1 razy, celem wygenerowania nowego sympleksu. Nowy sympleks móg³ potencjalnie okazaæ siê zbie¿ny do innego wierzcho³ka o mniejszej wartoci funkcji celu, w którym to przypadku stawa³ siê nowym najlepszym wierzcho³kiem i podlega³ dalszej mutacji. Ekspery-mentalnie ustalono liczbê iteracji n_iter metody optymalizacji Neldera-Meada oraz wartoæ odchylenia standardowego s, przyjmuj¹c za kryterium porównawcze uredniony wynik opty-malizacji podany wed³ug znormalizowanej miary (3), dla dziesiêciu prób, dla kilku par warto-ci n_iter, s, dla parametryzacji (11.1.1), przyjmuj¹c po cztery parametry na okrelenie funk-cji. Przyjêto ostatecznie wariant (n_iter = 1000, s = 0,01; tab. 1).

Tabela 1. Zestawienie oraz urednienie wyników optymalizacji dla ró¿nych ustawieñ algorytmu w cm/km n_ti_e_r=500 n_ti_e_r=1000 n_ti_e_r=1500 1 , 0 = s s=0,01 s=0,001 s=0,1 s=0,01 s=0,001 s=0,1 s=0,01 s=0,001 4 , 0 2 18,7 19,9 18,8 18,7 19,1 20,0 18,7 18,9 8 , 0 2 19,0 19,1 19,4 18,7 18,8 19,3 18,7 19,0 5 , 9 1 18,9 19,4 19,0 18,7 18,8 20,0 19,0 19,1 8 , 8 1 18,7 19,9 19,3 18,7 18,9 18,8 18,7 19,0 8 , 1 2 18,8 19,6 19,1 19,0 19,0 19,3 18,7 18,8 3 , 0 2 18,7 19,4 19,9 18,7 19,1 18,9 18,7 18,7 2 , 1 2 18,7 19,8 19,3 18,8 19,0 18,9 18,8 18,7 1 , 9 1 18,7 20,0 18,9 18,7 18,9 18,8 18,7 18,8 9 , 9 1 18,7 19,4 18,9 18,7 18,7 19,0 18,8 19,1 8 , 9 1 18,7 19,9 18,8 18,8 18,8 18,6 18,8 18,7 7 1 , 0 2 18,753 19,64 19,14 18,745 18,91 19,16 18,762 18,86

Wartoæ funkcji celu (3) w podawanych wynikach oraz (7) dla obliczeñ) wyznaczano na podstawie wyniku ca³kowania numerycznego metod¹ prostok¹tów. Sumowano wartoci funkcji celu dla 36 (6 razy 6) punktów równomiernie roz³o¿onych w danym obszarze (1). W tabeli 2) przedstawiono wartoci ca³ki (3), dla ró¿nych dok³adnoci ca³kowania numerycz-nego, podanej w [cm/km]. Jak widaæ bezwzglêdne ró¿nice w wynikach ca³kowania s¹ rzêdu [cm/km]. Charakter tych ró¿nic jest jednak g³ównie systematyczny. Przyk³adowo przemna-¿aj¹c wyniki ca³kowania dla 36 punktów przez liczbê 1,06802 oraz dodaj¹c 0,1 mm/km mo¿na w koñcowych etapach optymalizacji uzyskaæ przybli¿enie wyniku ca³kowania dla 40 000 punktów (200 na 200) z dok³adnoci¹ rzêdu 0,1 mm/km (ostatnie dwie kolumny w tabeli 2) przedstawiaj¹ przybli¿enie oraz ró¿nicê z wynikiem o wysokiej dok³adnoci). Bior¹c to pod uwagê, oraz przez praktyczn¹ koniecznoæ ograniczenia z³o¿onoci obliczeniowej, ograni-czono siê do ca³kowania ze wspomnian¹ dok³adnoci¹ wszystkie wyniki optymalizacji s¹ jednak podawane na podstawie ca³kowania dok³adniejszego, dla 40 000 punktów.

(10)

Wyniki optymalizacji

Tabela 3 przedstawia urednione wyniki optymalizacji wskazan¹ metod¹, przy przedsta-wionym rozwi¹zaniu pocz¹tkowym, dla trzech omawianych parametryzacji. Przyjêto sie-dem wariantów rozdysponowania dwunastoma parametrami pomiêdzy funkcje q, r, c, dla ka¿dej parametryzacji. Przyk³adowo odwzorowanie oznaczone numerem 345.1 jest odwzo-rowaniem zoptymalizowanym wed³ug modelu pierwszego (11.1.1), dla którego na opisanie funkcji q, r, c wykorzystano odpowiednio trzy, cztery oraz piêæ parametrów. Wedle tej zasady oznaczono wszystkie odwzorowania. Wykonano dla ka¿dego wariantu po dziesiêæ prób optymalizacji, tzn. ³¹cznie dla ka¿dej parametryzacji wykonano siedemdziesi¹t prób optymalizacji.

Regularnoæ odwzorowañ sprawdzano a posteriori. Bior¹c przyk³adowo warunki ogra-niczaj¹ce dla parametryzacji drugiej (11.2.2) mo¿na sprawdziæ, jak zachowuj¹ siê poszcze-gólne funkcje oraz ich pochodne (znak, monotonicznoæ). W tabeli 4 zestawione s¹ wartoci odpowiednich funkcji i ich pochodnych dla odwzorowania (tab. 5). Funkcje L, P oznaczaj¹ lew¹ oraz praw¹ stronê nierównoci trzeciej w warunkach (11.2.2). Jak widaæ, funkcje r, r' rosn¹ w zadanym przedziale i s¹ dodatnie. Funkcja c ronie po wartociach dodatnich, wo-bec czego na pewno dodatnia jest funkcja f = c/r. Funkcja q' jest ujemna i ronie, zatem funkcja L = r' /q' jest ujemna i maleje. Funkcja P ronie, je¿eli maleje f = c/r. Funkcja f = c/r maleje, je¿eli g = c' rcr' jest ujemnego znaku. Na podstawie pochodnych g', g'', g''', ...widaæ, ¿e g jest ujemna w badanym obszarze, co oznacza, ¿e f = c/r maleje, a zatem ronie (po wartociach dodatnich) funkcja P. Zatem prawa strona trzeciej nierównoci w (11.2.2) jest zawsze dodatnia a lewa strona zawsze ujemna, wobec czego zachodzi L<P. Czwarta nierównoæ (11.2.2) jest równie¿ spe³niona, poniewa¿ f = c/r<1, wiêc odwzorowanie jest ró¿nowartociowe co najmniej dla ca³ego pasa równole¿nikowego, w którym le¿y Polska. Analogicznie mo¿na zbadaæ regularnoæ pozosta³ych odwzorowañ.

Tabela 2. Porównanie dok³adnoci obliczeñ miary (3) przy ró¿nej dok³adnoci ca³kowania numerycznego metod¹ prostok¹tów w poszczególnych kolumnach wyniki ca³kowania dla rosn¹cej liczby punktów

roz³o¿onych równomiernie w obszarze (1), w cm/km. Kolejne odwzorowania 1-9 pozyskane drog¹ optymalizacji wed³ug ca³kowania dla 36 punktów

obserwowane jednoczesne zmniejszenie wartoci we wszystkich kolumnach

m y n z c y r e m u n u i n a w o k ³ a c w h c y n a r b w ó t k n u p a b z ci L 1,06802* k i n y w 1 0 . 0 + ) 6 x 6 ( . p l 3x3 4x4 5x5 6x6 10x10 20x20 100x100 200x200 )t r a t s ( 1 24,150 26,476 27,604 28,225 29,144 29,535 29,661 29,665 30,155 0,49 2 19,496 22,919 24,463 25,294 26,493 26,996 27,156 27,161 27,024 -0,14 3 17,398 20,473 21,858 22,602 23,675 24,125 24,269 24,273 24,149 -0,12 4 16,543 18,874 20,083 20,683 21,551 21,917 22,033 22,037 22,100 0,06 5 15,664 17,606 18,496 18,976 19,673 19,967 20,060 20,063 20,277 0,21 6 14,647 16,849 17,855 18,398 19,185 19,515 19,621 19,624 19,659 0,04 7 14,209 16,405 17,404 17,944 18,725 19,053 19,157 19,161 19,175 0,01 8 14,085 16,304 17,318 17,866 18,661 18,996 19,102 19,106 19,091 -0,01 9 13,842 16,006 16,989 17,520 18,287 18,610 18,713 18,716 18,722 0,01

(11)

Tabela 3. Wyniki (poszczególne oraz urednione) optymalizacji odwzorowañ wielosto¿kowych, wed³ug ró¿nych wariantów rozdysponowania dwunastoma parametrami

oraz dla trzech ró¿nych modeli parametrycznych

. p L 444.1 543.1 534.1 345.1 435.1 354.1 453.1 1 18,68 18,76 18,78 18,83 18,63 18,78 18,70 2 18,73 18,68 18,83 18,72 18,81 18,71 18,69 3 18,74 18,69 18,84 18,66 18,63 18,76 18,74 4 18,74 18,68 18,71 18,65 18,68 18,70 18,69 5 18,83 18,70 18,84 18,65 18,68 18,86 18,71 6 18,67 18,82 18,72 18,67 18,71 18,76 18,72 7 18,71 18,70 18,99 18,66 18,81 18,74 18,68 8 18,75 18,69 18,93 18,70 18,82 18,72 18,69 9 18,84 18,72 18,77 18,70 18,88 18,91 18,71 0 1 18,74 18,72 18,88 18,65 18,68 18,70 18,69 ai n d e r 18,74 18,72 18,83 18,69 18,73 18,76 18,70 18,74 . p L 444.2 543.2 534.2 345.2 435.2 354.2 453.2 1 18,67 18,65 18,66 18,72 18,70 18,94 18,69 2 18,67 18,69 18,74 18,70 18,71 18,81 18,73 3 18,67 18,66 18,68 18,68 18,72 18,77 18,65 4 18,67 18,70 18,68 18,71 18,76 18,83 18,68 5 18,66 18,68 18,67 18,73 18,69 18,90 18,63 6 18,69 18,74 18,67 18,70 18,74 18,92 18,64 7 18,66 18,65 18,67 18,71 18,78 18,77 18,65 8 18,66 18,67 18,69 18,76 18,73 18,89 18,66 9 18,65 18,64 18,67 18,69 18,74 18,74 18,65 0 1 18,67 18,79 18,67 18,73 18,74 18,74 18,72 ai n d e r 18,67 18,69 18,68 18,71 18,73 18,83 18,67 18,70 . p L 444.3 543.3 534.3 345.3 435.3 354.3 453.3 1 18,91 18,82 18,78 18,85 18,73 18,69 18,75 2 18,75 18,93 18,69 18,83 18,73 18,79 18,70 3 18,70 18,89 18,75 18,90 18,67 18,74 18,79 4 18,78 18,87 18,69 18,82 18,85 18,74 18,74 5 18,92 18,93 18,66 18,84 18,66 18,73 18,71 6 18,69 18,98 18,67 18,89 18,72 18,74 18,73 7 18,76 18,73 18,73 18,80 18,66 18,68 18,75 8 18,73 18,77 18,69 18,85 18,65 18,74 18,69 9 18,74 18,96 18,72 18,81 18,73 18,75 18,71 0 1 18,74 18,91 18,71 18,82 18,65 18,69 18,72 ai n d e r 18,77 18,88 18,71 18,84 18,70 18,73 18,73 18,77

(12)

Funkcja celu wymusza implicite zachowanie regularnoci (elipsy zniekszta³ceñ zbli¿one do okrêgów jednostkowych s¹ dalekie od degeneracji), a obszar odwzorowania jest stosun-kowo ma³y (problemy z zachowaniem ró¿nowartociowoci na ogó³ spotykane s¹ w przy-padku obszarów ca³ego globu lub nieco mniejszych), st¹d nie powinien zaskakiwaæ brak koniecznoci uwzglêdnienia ograniczeñ w procesie optymalizacji.

Rysunek 2 przedstawia izolinie zniekszta³ceñ odwzorowawczych najlepszego znalezione-go odwzorowania dla parametryzacji (11.2.1), nale¿¹ceznalezione-go do odwzorowañ oznaczonych 453.2. Interwa³ ekwideformat dla zniekszta³ceñ wed³ug lokalnej miary (2) (przeciêtne znie-kszta³cenia d³ugoci we wszystkich kierunkach dla pojedynczego punktu) wynosi 5 cm/km. Interwa³ ekwideformat dla zniekszta³ceñ w kierunkach skal ekstremalnych jest zmienny i wynosi 10 cm/km dla zniekszta³ceñ dodatnich, 5cm/km w zakresie -20 cm/km do 0 cm/km oraz 1 cm/km dla zniekszta³ceñ ujemnych wiêkszych ni¿ -20 cm/km. Maksymalne znie-kszta³cenia d³ugoci siêgaj¹ +50 cm/km i nie wiêcej ni¿ -25 cm/km. Wskazanemu odwzoro-waniu odpowiada integralna miara (3) równa 18,629 cm/km. Mo¿liwe jest zmniejszenie mak-symalnych zniekszta³ceñ bezwzglêdnych, poprzez przemno¿enie przez czynnik skaluj¹cy np. m₀ = 0,99985. Wówczas uzyskamy odwzorowanie (rozk³ad zniekszta³ceñ równie¿ przed-stawiony na rysunku drugim) o maksymalnych zniekszta³ceniach d³ugoci poni¿ej +/40 cm/km, jednak¿e ma ono wiêksz¹ wartoæ miary (3), tzn. 23,608 cm/km.

Tabela 4. Wielkoci liczbowe funkcji, których zmiennoæ decyduje o regularnoci odwzorowania, odane dla krañców pasa równole¿nikowego, w którym zawarty jest obszar Polski

Tabela 5. Wspó³czynniki odwzorowania wielosto¿kowego, którego regularnoæ jest zbadana wed³ug tabeli czwartej, a izolinie zniekszta³ceñ przedstawione s¹ na rysunku drugim

r rI _rII _rIII _rIV _rV _q _qI _qII _qIII _qIV _qV f=54° 05 ' 0,73 1,22 0,27 -0,65 -1,50 0 -0,62 -1,00 0,01 0,01 0,08 0 f=49° 0,85 1,24 0,19 -0,80 -0,72 -1,00 0,01 0,01 0,08 c cI _cII _g _gI _gII _gIII _gIV _gV _L _P f=54° 05 ' 0,58 0,81 -0,33 -0,12 -0,40 -0,24 1,05 3,19 -2,49 -1,21 77,54 f=49° 0,66 0,77 -0,16 -0,41 -0,03 1,24 2,94 -1,24 82,27 r₀ 0,0449893219 q1 -1,0111002129 c0 0,0218609242 r1 0,9880859811 q2 0,0105212236 c0 1,0105587214 r2 0,1923503008 q3 -0,0071136756 c1 -0,1664150717 r₃ 0,0448546457 q4 0,0032641942 r4 -0,0624021179

(13)

Rysunek 2. Po lewej stronie: od góry do do³u: zniekszta³cenia d³ugoci w [cm/km] w kierunkach skal ekstremalnych, nastêpnie przeciêtne zniekszta³cenia wed³ug (2) dla odwzorowania wielosto¿kowego (tab. 5).

Po prawej stronie: analogiczne zestawienie dla tego samego odwzorowania, którego wspó³rzêdne przemno¿ono przez czynnik skaluj¹cy 0,99985. Wyniki pozyskane drog¹ interpolacji numerycznej

(14)

Wnioski

Dla odwzorowania pocz¹tkowego, sto¿kowego o ma³ych zniekszta³ceniach d³ugoci, zanotowano przeciêtn¹ wartoæ zniekszta³ceñ wed³ug (3) dla obszaru (1) na poziomie 29,665 cm/km. Po optymalizacji wskazan¹ metod¹ dla modeli (11.1.1, 11.2.1, 11.3.1) uzyskano rednio dla siedemdziesiêciu prób optymalizacji zniekszta³cenie przeciêtne wed³ug (3) na poziomie odpowiednio 18,74, 18,71 oraz 18,77 cm/km, przy najlepszych wynikach na po-ziomie odpowiednio 18,631, 18,629 oraz 18,647 cm/km. Mo¿na st¹d wnioskowaæ, ¿e wszystkie przedstawione modele parametryczne maj¹ zbli¿on¹ efektywnoæ w kontekcie optymaliza-cji miary integralnej (3) celem rozwi¹zania kryterium Airy'ego (4) dla odwzorowañ wielo-sto¿kowych (6), przy zadanej metodzie optymalizacji. Gdyby przywi¹zywaæ wagê do ró¿nic na poziomie 0,1 mm/km, wówczas statystycznie najlepsza okaza³a siê parametryzacja (11.2.1), nastêpnie (11.1.1) oraz (11.3.1). Parametryzacja (11.2.1) ma dodatkow¹ zaletê polegaj¹c¹ na ³atwiejszej interpretacji geometrycznej znaczenia poszczególnych parametrów odwzorowa-nia. Skrajne zniekszta³cenia w uzyskiwanych odwzorowaniach, co do wartoci bezwzglêd-nej, mog¹ zostaæ zmniejszone poprzez przeskalowanie odwzorowania, jednak odbywa siê to kosztem wyranego (o kilka cm/km) zwiêkszenia optymalizowanej miary Airy'ego. Odwzo-rowania mog¹ byæ optymalizowane bez ograniczeñ, gdy¿ dla danego obszaru minimalizacja omawianej funkcji celu skutecznie wymusza tak¿e ró¿nowartociowoæ odwzorowania.

Literatura

Canters F., 2002: Small-scale map projection design, Londyn, Nowy York: Taylor & Francis.

Latuszek K., 2013: Zastosowanie metody optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada do konstrukcji odwzo-rowañ kartograficznych o mo¿liwie najlepszym rozk³adzie zniekszta³ceñ odwzorowawczych na przy-k³adzie odwzorowania azymutalnego. Roczniki Geomatyki t. 11, z. 5(62): 75-85, PTIP Warszawa. Panasiuk J., Balcerzak J., Pokrowska U., 1999: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowañ

kartogra-ficznych, Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej.

Pêdzich P., 2008: Wybrane aspekty konstruowania odwzorowañ kartograficznych o mo¿liwie najmniejszych zniekszta³ceniach odwzorowawczych, Roczniki Geomatyki, t. 6, z. 4: 89-101, PTIP Warszawa. Snyder J.P., 1987: Map projections a working manual, Waszyngton: United States Government Printing

Office, U.S. Geological Survey Professional Paper, 1395. Streszczenie

Jednym z podstawowych zadañ kartografii matematycznej jest poszukiwanie odwzorowañ o minimal-nym ca³kowitym poziomie zniekszta³ceñ. Kryterium Airy'ego postuluje minimalizacjê kwadratów od-chyleñ od jednoci ekstremalnych skal d³ugoci dla ca³ego odwzorowywanego obszaru, co odpowiada minimalizacji zniekszta³ceñ d³ugoci we wszystkich kierunkach. W artykule przedstawiono zoptyma-lizowane ze wzglêdu na kryterium Airy'ego odwzorowanie wielosto¿kowe obszaru Polski.

Przedstawiono trzy ró¿ne modele parametryczne odwzorowania wielosto¿kowego. Dla ustalonej liczby parametrów modele te zosta³y zoptymalizowane, z wykorzystaniem zmodyfikowanego algoryt-mu optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada. Modyfikacja polega³a na rozszerzeniu algorytalgoryt-mu Nel-dera-Meada o operator mutacji rozk³adem normalnym, znany z algorytmów ewolucyjnych. Pozwoli³o to zapobiec przedwczesnej zbie¿noci algorytmu. Funkcja celu wyznaczana zosta³a jako wynik ca³ko-wania numerycznego. Zbadana zosta³a regularnoæ zoptymalizowanych odwzorowañ oraz zilustro-wany zosta³ rozk³ad zniekszta³ceñ odwzorowawczych w postaci interpolozilustro-wanych numerycznie ekwi-deformat.

(15)

Przyjmuj¹c za kryterium stopu dzia³ania algorytmu liczbê obliczeñ wartoci funkcji celu, wybrane parametryzacje zosta³y porównane ze wzglêdu na osi¹gan¹ rednio przeciêtn¹ wartoæ zniekszta³ceñ d³ugoci w badanym obszarze. Przeciêtna wartoæ zniekszta³ceñ d³ugoci rozumiana jest tutaj jako podniesione do kwadratu, urednione i spierwiastkowane zniekszta³cenia d³ugoci w kierunkach skal ekstremalnych jest to odpowiednik minimalizowanej miary zniekszta³ceñ w kryterium Airy'ego.

Abstract

One of the fundamental tasks of mathematical cartography is to find projections with minimized total distortion. Airys criterion demands that the sum of the squares of the principal scale errors should be minimized for the mapped area, so that the scale distortion in all directions is minimal. In this article, a polyconic projection for Poland, optimized with respect to Airys criterion will be presented. Three parametric models of the polyconic projection will be discussed. For a given number of parame-ters, these models will be optimized, using a modified Nelder and Mead nonlinear optimization algo-rithm. The modification consisted of extending Nelder and Mead algorithm with a mutation operator, known from evolutionary algorithms, which adds normally distributed random values to the projec-tion parameters. This helped to prevent the algorithm from converging to a false minimum. Regularity of the optimized projections has been inspected and the distortion pattern has been illustrated using numerically interpolated lines of constant distortion.

For a limited number of the objective function calculations, chosen parametric models have been compared, with respect to the averagely achieved mean scale distortion , for many algorithm evalu-ations, for the mapped area. The mean distortion of lengths is understood as the squared, averaged and square rooted length distortions in directions of extreme scales it corresponds to the minimised measure of distortion according to Airys criterion.

mgr in¿. Kamil Jan Latuszek k.latuszek@gik.pw.edu.pl