POMIARY W OBWODACH RLC PR

ĆWICZENIE NR 4

POMIARY W OBWODACH RLC PRĄDU PRZEMIENNEGO

Cel ćwiczenia: doświadczalne sprawdzenie prawa Ohma, praw Kirchhoffa i zależności fazowych między sinusoidalnie zmiennymi przebiegami prądów i napięć w obwodach zawierających elementy R, L, C, oraz wykresów wskazowych badanych obwodów.

2.1. Podstawy teoretyczne ćwiczenia 2.1.1. Elementy obwodów RLC

Rezystor

W obwodzie prądu harmonicznego zawierającego idealny rezystor wartości chwilowe napięcia uR oraz prądu i spełniają prawo Ohma

Ri

u

=

Zakładając, że przebieg prądu ma postać

( )

(

)

i = sin

ω

Ψ

wówczas płynąc przez rezystor o rezystancji R, na jego zaciskach spowoduje powstanie napięcia

( ) ^{t R i} ( ) ^{t R I}

( ^t

) ^U

( ^t

)

u = = sin ω + Ψ = sin ω + Ψ

przy czym amplituda przebiegu napięcia

m

m RI

U = ^(2.4a)

oraz U_m = 2U _{, (2.4b)}

natomiast faza początkowa

i

u

Ψ

Ψ

Przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero (rys.3.1):

=0

−

=Ψ_u Ψ_i

ϕ ^(2.6)

Rys.2.1. Przebieg napięcia i prądu dla idealnego rezystora

Przedstawiając związki między prądem i napięciem w postaci symbolicznej otrzymamy:

symboliczną wartość chwilową prądu

t mej

I t

i( )= ^ω _gdzie

I

= I

e

t m j t

m ej U e

I R t i R t

u( )= ( )= ^ω = ^{ω . (2.8)}

Zatem amplituda symboliczna napięcia wynosi

m m RI

U = (2.9)

co oznacza, że przy uwzględnieniu zależności: U_m = 2U oraz I_m = 2 I I

R

U = oraz I =GU ^{. (2.10)}

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

i

u j

j

R I e

e U

U =

=

a co za tym idzie

. (2.12)

i u Ψ Ψ=

Wobec tego wskaz napięcia U = RI znajduje się na tej samej prostej co wskaz I (rys.3.2) U

I Ψ Ψ_u= _i

Rys.2.2. Wykres wskazowy napięcia i prądu dla rezystora

Cewka indukcyjna

Prąd sinusoidalnie zmienny w idealnej cewce o indukcyjności L indukuje napięcie na jej zaciskach wyrażone zależnością

( ) ( )

dt t i Ld t u =

(2.13)

Przyjmując, że w cewce płynie prąd harmoniczny

( )

(

)

i = sinω +Ψ ^{, (2.14)}

napięcie na cewce wynosi

( )

(

u ω ω Ψ π⎟= ω +Ψ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= sin

sin 2

)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia przyjmuje postać

m L m

m LI X I

U =

ω

natomiast faza początkowa wynosi

2 Ψ π

Ψ_u = _i + (2.17)

Oznacza to, że przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) cewki indukcyjnej wynosi (rys.3.3):

2 Ψ π Ψ

ϕ= _u− _i = (2.18)

0

u t( ),

ωt i t( )

Ψ_i Ψ_u

π/2

Rys.3.3 . Przebieg napięcia i prądu dla idealnej cewki

Dla cewki indukcyjnej - symboliczną wartość chwilową prądu jest wyrażona przez zależność:

t j me I t

i( )= ^ω gdzie

I

= I

e

natomiast symboliczna wartość chwilowa napięcia

( ) ( )

t m

mej U e

I L dt j

t i Ld t

u = = ω ^ω = ^ω

(2.20) Zatem skuteczna zespolona wartość napięcia jest określona zależnością

I jX I L j

U_L =

ω

co oznacza, że

2 jπ L

x

Ie

U =

Pomnożenie wskazu I przez jωL powoduje, że wskaz U wyprzedza o 90^o wskaz prądu (rys.3.4) zgodnie z zależnością (3.18)

U

I

Ψ_i Ψ_u

ϕ π= /2

Rys.2.4. Wykres wskazowy dla cewki Kondensator

Dla napięcia u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o pojemności C, prąd płynący przez niego opisuje zależność (3.26)

( )

t u Cd t

i = ( ) _(2.26)

Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie

( )

(

)

u = sin

ω

Ψ

wówczas prąd płynący przez kondensator wynosi

( )

(

i

ω ω Ψ ^π

ω

Ψ )

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= sin

sin 2 ^{. (2.28)}

Zatem przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) na kondensatorze wynosi (rys.3.5):

2 Ψ π

Ψ

ϕ =

−

= −

0

u t( ),

ωt i t( )

Ψ_i Ψ_u π/2

Rys. 2.5. Przebieg napięcia i prądu dla idealnego kondensatora

Wartość symboliczna chwilowa napięcia na kondensatorze wynosi

t j me U t

u( )= ^ω gdzie U_m =U_me^jΨi, (2.31)

natomiast prądu

( ) ( )

m t j

me I e

U C dt j

t u C d t

i = = ω ^ω = ^ω . (2.32)

Zatem symboliczna wartość skuteczna prądu jest wyrażona następująco U

C j

I = ω oraz I jX I C

U_C = j =− _C ω

1 (2.34)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

2

1 ^π2 ^π

ω

j C j

C Ie X Ie

U = C ⁻ = ⁻ _{, (2.35)}

U I

Ψi

Ψ_u ϕ π=- /2

Rys.2.6. Wykres wskazowy dla kondensatora

Pomnożenie wskazu I przez 1/jωC powoduje, że wskaz U jest opóźniony o 90^o względem prądu I (rys.3.6) zgodnie z zależnością (3.30)

3.1.2. Podstawowe prawa w obwodach elektrycznych w postaci zespolonej

Prawo Ohma: symboliczna wartość skuteczna napięcia U na dwójniku równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości skutecznej prądu I w nim występującego:

I Z

U = ^(2.38)

Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elektryczne dwójnika dla prądu sinusoidalnego. Podstawiając w (3.38) symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy:

( _{u i})

i

u j

j j

I e U e

I e U I

Z U _Ψ ^{Ψ Ψ}

Ψ = −

=

=

, (2.39) Impedancję Z można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

(rys.3.7) za pomocą trójkąta impedancji w którym

I

Z = U

(

)

Zatem Z =Ze^{jϕ R}

jarctgX

e X R

Z = ²+ ² Z=R+ j

(

)

rezystancja reaktancja

Re

R

Im

Z ϕ<0

R

X=X -X <0L C

Im

Z

ϕ>0 Re

X=X -X >0_{L C}

Rys.2.7. Trójkąt impedancji Prawo Ohma można także przedstawić następująco:

Symboliczna wartość skuteczna prądu I w dwójniku równa się iloczynowi admitancji dwójnika Y i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach

U Y

I = ^(2.42)

Admitancja (przewodność zespolona dwójnika – której jednostką jest simens S) dwójnika równa się odwrotności jego impedancji

Y = Z1 . (2.43)

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa

Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych prądów in(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru

∑

k

k

t ki t

1

0 ) λ (

Λ

gdzie: λk = ±1 („+” jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot jest przeciwny, od węzła)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (3.47a) oraz symbolicznych wartości skutecznych (3.47b) odpowiednich prądów:

∑

=

n k

k kIm 1

λ 0^{, (2.47a)}

∑

=

n k

k kI

1

λ 0^{. (2.47b)}

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa

Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych napięć un(t) na wszystkich elementach, tworzących dowolnie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru

∑

k k k

t u t

1

0 ) ν (

Λ

gdzie: νk = ±1 („+” jeśli zwrot napięcia jest zgodny z przyjętym za dodatni kierunkiem obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (3.48a) oraz symbolicznych wartości skutecznych (3.48b) odpowiednich napięć

∑

=

n k

k kUm 1

ν 0_{, (2.48a)}

∑

=

k

k k

U

1

ν 0

3.1.3. Połączenia elementów R, L, C

Obwód szeregowy RLC

Obwód RLC w postaci szeregowego połączenia idealnego rezystora R, idealnej cewki indukcyjnej L i idealnego kondensatora C przedstawiono na Rys.3.8.

R L C

Rys. 2.8. Szeregowy obwód RLC

W tabeli poniżej dokonano zestawienia zależności opisujących elementy szeregowego obwodu RLC:

Zależności na:

napięcia na elemencie obwodu impedancję elementu obwodu

R U_R =RI Z_R = R

L U_L= jωLI = jX_LI Z_L = jωL= jX_L

C I jX I

j C CI

U_C = j =− =− _C

ω ω

1 1

C

C jX

j C

Z =− =−

ω 1

Dla tak skonfigurowanego układu napięcie symboliczne wynosi:

( )

[

]

(

)

L j R I Z

U ⎥ = + _L− _C = +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

= ω ω¹ , (2.49)

natomiast ^{2 1 2} R²

(

)

R

Z ⎟⎟⎠ = + _L− _C = +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= ω ω , (2.50)

przy czym

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

= R

arctg X R

X arctg X

Z ϕ ^{L C}

arg _{. (2.51)}

Obwód równoległy RLC

Połączenie równoległe elementów RLC przedstawia Rys. 3.9.

R L C

Rys. 2.9. Równoległy obwód RLC i równoważny dwójnik admitancyjny

Podobnie jak dla obwodu szeregowego RLC w tabeli poniżej dokonano zestawienia zależności opisujących elementy równoległego obwodu RLC:

Zależności na:

prąd w elemencie obwodu admitancję elementu obwodu

R I_R =GU Y_R =G

L U jB U

j L LU

I_L = j =− =− _L ω

ω

1 1

L L

L jB j X

j L

Y =− 1 =− =− 1 ω

C I_C = jωCU = jB_CU

C C

C j C jB j X

Y 1

=

=

= ω

Ponieważ

( )

[

]

(

)

L U C j G U Y

I ⎥ = + _C − _L = +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

= ω ω¹ , (2.51)

zatem admitancja ^{2 1 2 G2}

(

)

C L G

Y ⎟⎟⎠ = + _C − _L = +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= ω ω , (2.52)

wówczas ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= G

arctg B G

B arctg B

Y ^{C L}

arg . (2.53)

Warunek równoważności szeregowego i równoległego obwodu RLC

Ogólny warunek równoważności obwodów; szeregowego rys. 3.8. i równoległego rys. 3.9.

wyraża się równością ich odpowiednich impedancji (lub admitancji) symbolicznych. Przyj- mując dla oznaczenia elementów obwodu szeregowego indeks "s", a równoległego indeks

"r", można powyższy warunek zapisać w postaci.

r

S Z

Z = (2.54)

przy uwzględnieniu, że ZS =R+ j

(

)

(

)

r

r G j B B

Z = + 1 −

. (2.54) Stąd po podstawieniu wzorów (3.55) i (3.56) do równania (3.54) i przekształceniach

otrzymuje się zależności:

2 2

S S R s

X R G R

= + , (2.55)

2 2

S S

s L

C R X

B X B _{r r}

+

= −

− , (2.56)

S

S C

L

S X X

X = − , (2.57)

pozwalające ustalić wartości parametrów obwodów równoważnych. Jeżeli w rozważanych obwodach pominiemy indukcyjność L, to odpowiednie zależności uproszczą się do następujących postaci:

S r S

R R Z

= 2 (2.58)

2

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

S S S

r Z

C C

C (2.59)

Z rozważań tych wynika, że obliczone wartości parametrów obwodów równoważnych zależą od częstotliwości. Oznacza to, że obwody szeregowy i równoległy są sobie równoważne tylko dla jednej częstotliwości, dla której obliczono parametry równoważne.