1. Rozpatrzmy układ równań
1 −3 0 −1 0
0 1 0 0 −4
0 0 0 1 9
0 0 0 0 0
·
x1
x2 x3 x4 x5
=
−2 1 4 0
.
Które stwierdzenia są prawdziwe?
(a) Układ jest sprzeczny.
(b) Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
(c) Układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru.
(d) Układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 2 parametrów.
(e) Macierz współczynników tego układu jest macierzą schodkową zredukowaną.
2. Rozpatrzmy zbiór wektorów B = {x, y, z}, gdzie
x =
2 3
−1
, y =
1 2
−1
, z =
0 1 a
.
gdzie a jest parametrem. Które stwierdzenia są prawdziwe?
(a) B jest zbiorem liniowo niezależnym dla dowolnych wartości a.
(b) B jest zbiorem liniowo niezależnym wtedy i tylko wtedy, gdy a = 3.
(c) B jest zbiorem liniowo niezależnym, gdy a 6= 3.
(d) Jeśli ||z|| ≤ 1, to h ≤ 0.
(e) Żadne z powyższych zdań nie jest prawdziwe.
3. Rozpatrzmy macierz
A = 5 √
√ 5
5 9
. Które stwierdzenia są prawdziwe?
(a) λ = 4 jest wartością własną macierzy A.
(b) λ = 10 nie jest wartością własną macierzy A.
(c) A nie jest diagonalizowalna.
(d) macierz wektorów własnych−√
5 1
1 √
5
jest ortogonalna.
(e) Norma wektora własnego 1√ 5
wynosi√ 5.
4. Agencja wynajmu rowerów miejskich RowerGeek posiada dwie lokalizacje w pewnym mieście, jedną na głównym placu miasta, drugą na kampusie uniwersyteckim. Niech xtoznacza liczbę rowerów znajdują- cych się na kampusie uniwersyteckim po t dniach, zaś yt liczbę rowerów pozostawionych w stacji przy głównym placu. Zakładamy, że rozkład rowerów dany jest poprzez następujący model:
xt+1 yt+1
= A ·xt+1 yt+1
, gdzie A =0, 97 0, 02 0, 03 0, 98
.
Które stwierdzenia są prawdziwe?
(a) Układ osiąga stan równowagi gdy 30% rowerów znajduje się na kampusie.
(b) Układ osiąga stan równowagi gdy 40% rowerów znajduje się na kampusie.
(c) Układ osiąga stan równowagi gdy 50% rowerów znajduje się na kampusie.
(d) Układ osiąga stan równowagi gdy 60% rowerów znajduje się na kampusie.
(e) Stanem granicznym tego układu jest jego stan równowagi.
5. Dana jest forma kwadratowa
Q(x1, x2) = x21− 4x1x2+ 4x22. Które stwierdzenia są prawdziwe?
(a) Q jest dodatnio półokreślona, ale nie jest dodatnio określona.
(b) Q jest ujemnie półokreślona, ale nie jest ujemnie określona.
(c) Q jest wypukła.
(d) Q jest dodatnio określona.
(e) Macierz formy Q jest symetryczna.
6. Niech u =1 2 3T, v =1 −2 aT, w =b −2 0T, gdzie a, b ∈ R. Zdefiniujmy M1=u v u + 2v , M2=u w v oraz ˜M =h u
||u||
v
||v||
w
||w||
i . Które stwierdzenia są prawdziwe?
(a) Jeśli a = 1, to rankM1= 3.
(b) rankM1= 2 dla a 6= 1 oraz λ = 0 nie jest wartością własną tej macierzy.
(c) M1+ M2 jest macierzą nieosobliwą dla a 6= 0 i b 6= 4.
(d) Dla a = 1 istnieje takie b ∈ R, że ˜MT · ˜M = I.
(e) ∀b∈R∃a∈R: v ⊥ w.
7. Wyznacz MT ◦Sjeśli T (x1, x2) = (2x1, x1−x2), zaś S jest obrotem o kątπ3. Czy T ◦S jest izomorfizmem?
Jeśli tak, wyznacz (T ◦ S)−1.
8. Niech A ∈ M (n, n) będzie macierzą symetryczną. Uzasadnij, że jeśli A jest dodatnio określona, to A−1 też musi być dodatnio określona.
9. Niech A ∈ M (m, n), gdzie m > n. Uzasadnij, że A · AT nie może być dodatnio określona.
10. Niech A, B ∈ M (4, 4), C ∈ M (4, 5), D ∈ M (4, 6). Podaj wymiar macierzy M = (ABA2B3ACCTD)TD.
11. Dla jakich wartości x macierz
log2x 1 arcsin(x − 3)
1 1 0
arcsin(x − 3) 0 0
jest dodatnio określona.
12. Niech
1 2 2 4 3 6
.
Znajdź wartości własne macierzy ATA oraz AAT. Dla obu macierzy znajdż ortonormalne wektory własne.
13. Niech
0 −1
4 0
.
Znajdź wartości i wektory własne tej macierzy. Zapisz wektor2 0
jako kombinację liniową tych wektorów.
14. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór
A = {z ∈ C : Arg z ∈ π 4,3π
4
, 1 ≤ |z + i| ≤ 3}.
15. Oblicz w zbiorze liczb zespolonych (a) √8
256, (b) (1+i)20
(1−i√ 3)8. 16. Dane są funkcje
f (x) = arcsin x, g(x) =√
x, h(x) = log7(x − 5).
(a) Wyznacz (jeśli to możliwe) g ◦ f ◦ h.
(b) Wyznacz dziedzinę funkcji f ◦ g ◦ h.
(c) Wyznacz wzór na (f ◦ h)−1.
17. Rozwiąż układ równań za pomocą metody Gaussa-Jordana:
x1+ 2x2+ x3− x4+ x5= 1 2x1+ 4x2− 2x3+ 6x4− 7x5= 0
−x1− 2x2+ x3− 3x4= 0 2x1+ 4x2+ 2x3− 2x4= 2
18. Niech u będzie unormowanym wektorem w Rn, zatem uTu = 1. Zdefiniujmy symetryczną macierz n × n;
H = I − 2uuT.
(a) Pokaż, że H2= I.
(b) Uzasadnij, że H jest ortogonalna.
(c) Jednym z wektorów własnych macierzy H jest u. Znajdź związaną z nim wartość własną.
