Moduł styczny

Rozwiazania kilku zadan z Metod Komputerowych II stopień kierunku Budownictwo

1. Moduł styczny:

 = σ

E +σ0α E

σ σ₀

m

Różniczkując stronami po d mamy:

d

d = 1 = 1 E

dσ d + αm

E

σ σ₀

m−1 dσ d

E_T = dσ

d = E

1 + αm^_σ^σ

0

m−1

2. Zależność modułów:

d = d^e+ d^p

dσ = E_Td , dσ = Ed^e , dσ = Hd^p dσ

E_T = dσ E +dσ

H 1

ET

= 1 E + 1

H 3. Przepis wzmocnienia:

σ(κ) = σ¯ _y^∞+ (σ_y⁰− σ_y^∞) exp(−βκ) + Hκ

Wzmocnienie ma charakter liniowy dla β = 0, a saturacyjny dla H = 0.

4. Funkcja HMH:

f (σ, κ) =

3 2σ^TPσ

1/2

− ¯σ(κ)

Gradient w przestrzeni naprężeń:

n =

∂f

∂σ

T

= 3Pσ

2^3₂σ^TPσ^1/2

5. Powierzchnia plastyczności Burzyńskiego-Druckera-Pragera: f (σ, κ) = q+αp−βc_p(κ) = 0, q =^p3J₂^σ, p = ¹₃I₁^σ. Przekrój tej powierzchni płaszczyzną oktaedryczną przechodzącą przez początek układu współrzędnych (σ₁, σ₂, σ₃) jest kołem o promieniu βc_p.

q

p HMH

BDP

ϕ βcp

6. Definicje dla tarczy:

n_xy = n_yx= Z h/2

−h/2

σ_xydz = σ_xyh , (m_xy = m_yx= Z h/2

−h/2

σ_xyzdz)

n1= 1

2(n_x+ n_y) +1 2

q

(n_x− n_y)²+ 4n²_xy n2= 1

2(n_x+ n_y) −1 2

q

(n_x− n_y)²+ 4n²_xy (tg 2α = 2n_xy

n_x− n_y , α = ∠(x, 1))

7. Dla tarczy dwukierunkowo ściskanej stałym obciążeniem rozłożonym na brzegu o in- tensywności q (układ współrzędnych założono w środku tarczy):

n_x = n_y = −q , n_xy = 0

x = _y = −1 − ν

Eh q , xy = 0

_x = ∂u_x

∂x , u_x= −1 − ν Eh qx

_y = ∂u_y

∂y , u_y = −1 − ν Eh qy 8. Warunki brzegowe:

y

z

x w = 0, w,x= 0

w = 0, w,yy= 0

my= 0, ¯qy= 0 ^NB ¯qy= qy+^∂m_∂x^xy

w = 0, w,x= 0

9. Funkcja ugięcia płyty prostokątnej o wymiarach 2a × 2b wyraża się wzorem:

w(x, y) = (1 − ξ²)(1 − η²), ξ = x/a, η = y/b, ξ, η ∈ [−1, 1]

Krzywizny i spaczenie:

κ_xx= −∂²w

∂x² = 2

a²(1 − η²) κ_yy = −∂²w

∂y² = 2

b²(1 − ξ²) κxy = −2 ∂²w

∂x∂y = − 8 abξη