Zestaw zadań z przedmiotu „Elementy fizyki kwantowej i budowy materii”

(1)

Zestaw zadań z przedmiotu „Elementy fizyki kwantowej i budowy materii”

dla II SDM

4. Operatory

Operator Aˆ nazywamy sprzężonym do operatora Aˆ , jeśli dla wszystkich ^ ,H spełniony jest warunek (H jest przestrzenią Hilberta):

   

^A^ˆ ^A^ˆ ^*

   

^A^ˆ ^* ^A^ˆ ^**

 

^A^ˆ

 ^  ^           . Operator samosprzężony – hermitowski to taki, że

 Aˆ

Aˆ .

1. Operatory liniowe – własności podstawowe

1.1 Wyprowadzić zależność opisującą obrót o kąt  wektora na płaszczyźnie (operator obrotu).

1.2 Wykazać, że dla operatora spełniającego równanie własne w postaci V

V 



wartości własne  wektora V można obliczyć z równania

 

0

det I  zaś wektory własne z równania



^ ^



^⁰



j ij ij vj . I jest macierzą jednostkową.

1.3 Wyznaczyć wszystkie unormowane wektory własne i wartości własne operatorów

a)





















0 1 0

1 0 0

0 0 1

R ,

b)





















4 1 0

0 2 0

1 3 1

.

1.4 Zdiagonalizować macierz (operator)

0 1 0 ˆ 1 0 1 0 1 0 W

 

 

  

 

 

.

2. Operatory sprzężone i hermitowskie

2.1 Udowodnić następujące własności operacji sprzęgania operatorów:

a)



^Aˆ^^Bˆ



^ ^^Aˆ^ ^^Bˆ^^;

b)

 

^Aˆ^Bˆ^ ^^Bˆ^^Aˆ^^;

c)

 

^Aˆ^ ^ ^^Aˆ^;

d)

 

^^Aˆ^ ^^^*^Aˆ^^.

(2)

2.2 Które z podanych operatorów są hermitowskie? Odpowiedź uzasadnij.

a)





















0 1 0

1 0 0

0 0 1

R ,

b)





















4 1 0

0 2 0

1 3 1

,

c)

1 3 1 3 6 4 1 4 i

 

 

   

 

 

,

d)

1 5 3

5 2 1

3 1 4

i i

 

 

   

 

 

.

3. Relacje komutacyjne

3.1 Obliczyć komutator operatorów:

1 2 5 6

3 4 , 7 8

A   B  

   

   .

3.2 Obliczyć następujące relacje komutacyjne dla operatorów położenia i pędu:

a)



Xˆk,Xˆm



; b)



P ˆˆk,Pm



; c)



Xˆk,Pˆm



. 4. Operator rzutowy

a) podać postać operatora rzutowego (w notacji Diraca oraz macierzowej) wychodząc z rozkładu wektora w pewnej bazie;

b) wykazać, że operatory rzutowania na wektory bazy spełniają warunek:

j ij j

iP P

Pˆ ˆ  ˆ .