Gaz Fermiego

(1)

II.4 Gaz Fermiego. Struktura pasmowa ciał stałych

(2)

Gaz Fermiego

Gaz Fermiego to gaz swobodnych, nieoddziałujących, identycznych fermionów w objętości V=a

³.

Poszukujemy N(E)dE funkcji rozkładu liczby elektronów (fermionów) o energiach w przedziale <E, E+dE>.

Metoda: podobna jak dla fotonów CDCz- obliczymy liczbę fal stojących w objętości V=a³. Tym razem fale stojące będą falami prawdopodobieństwa;

będziemy żądać, żeby funkcje falowe elektronów (fermionów) znikały na krawędziach pudła. Podobnie jak dla pola elektrycznego fotonów prowadzi to do warunku periodyczności:

Skwantowana energia kinetyczna związana jest z liczbą falową wzorem

( )

czyli

Y Z

X Z k nX nY n

a n n

n π πa

λ λ

Ê ˆ Ê ˆ

= = +

Ê ˆ = + + +

Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯

2 2

2 2 2

2

2 2

( )

E k π n n n

+

= =

² ²

= =

² ²

+

(3)

Przypomnienie CDCz:: Obliczenie N(ν) i n(ν) = N(ν) /V (Rayleigh-Jeans)

ą ó

ś ś ą

ł

3

ędziemy badali e-m fale stoj ce we wnęce CDCz. Przyjmiemy dla prostoty rachunk w, że wnęka jest sze cianem o krawędzi a i objęto ci V=a . Na sciankach wnęki fale e-m maj

węz y, co narzuca warunki per B

ł ą ł ś

ć

x

iodycznosci tj. ca kowit liczbę /2 na odleg o ci a.

Dla fali o wektorze falowym k (k=2 / ) możemy napisa :

k_x k cos / / c λ

π λ

= α λ 2 = λ 2

G

k i y k

yx z

os

k cos / / cos

k cos

α

= β λ = λ β

= γ

2 2

ś

ą

x y z

Warunki periodyczno ci:

2a 2a 2a

, , , Wynika st d, że:

2a

z

x y z

/ / cos

n n n

( ) (co

λ = λ γ

= = =

λ λ λ

λ

2

2 2

ą

Ponieważ cosinusy kierunkowe dodaj się w kwadratach do jedynki dostajemy ostatecznie:

2a

=

x y z

x

s cos cos ) n n

n n

α + β + γ = + + n

λ +

2 2 2 2 2

2

y + nz

2 2

(4)

x y z

n n n

r a

c

r d r a d

c

 

 

=       ν =

 

 

=       ν ν

+ +

2

2 2

2

2 Całkowanie w przestrzeni węzłów

(5)

Ile fal o częstościach pomiędzy ν a ν+d ν i różnych kierunkach wektorów falowych znajduje się we wnęce CDCz?

Należy policzyć liczbę węzłów w 1/8 warstwy kulistej o promieniu r= i grubości dr w przestrzeni wężłów n

_i.

a c ν 2

ź ść łó

łó

ą ś ś

'

2

Wprowad my gęsto węz w N ęz w :

r

tego liczba fal stoj cych o jednej polaryzacji w przedziale czę to ci [ , + w (r)

r N '(r)dr r N '(r)dr Liczbaw

Zamieniamy zmienne : dr a d

c

Wobec d ]

π π

=

 

 

=   ν ν

ν ν ν

2 2

3 2

4

8 2

2

ś ą

ść ą

3 3

ynosi:

N( ) , za uwzględniaj c obie polaryzacje: N( )d = 8 a

c Ostatecznie gęsto fal stoj cych:

N( )d n

( )d = V

d N '(r)dV a d d

c

  π π

 

ν ν = =

ν ν ν ν ν

ν

ν ν ν ν

 

 

3

2 2

c d

= 8π₃ ν ν²

(6)

Gaz Fermiego cd.

Dalsze obliczenia będą bardzo podobne jak dla fotonów CDCz.

( )

gdzie

oraz

dE rdr

ma

E r

m

X Y Z

a

/

N(E)dE N(r)dr r n n n

N(r)dr r dr

m a

N(E)dE EdE

π

=

= = + +

= =

=

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

3 2 3 3

2

1 4 8

2

=

(7)

Gaz Fermiego cd.

Dla fermionów obowiązuje zakaz

Pauliego: nie więcej niż dwa elektrony w stanie o tej samej energii.

Dla N elektronów w T=0 wszystkie stany od E=0 do E=E_F(energii

Fermiego) są wypełnione.

Dla bozonów w T=0 wszystkie cząstki znajdują się w stanie o zerowej energii.

FERMIONY

0 E

_F

(8)

Gaz Fermiego cd.

Energia Fermiego i liczba elektronów w T=0:

Średnia energia fermionów:

( )

ą sk d:

F F

/ /

E E /

F

/

/ /

F

m V ( ) m V

N N(E)dE Ed

E N

m V

E (E )

π π

π

= = =

= Ê ˆ Ë ¯

Ú

²^{3 2}

Ú

³ ^{3 2} ^{3 2}

2 2 3 2 3 4 3

3 2 3

0 0

2 2

2 3

3 2

=

= =

E = 3 E

F

5 2N(E)

E E

0<T

₁

<T

₂

(9)

Gaz Fermiego cd.

Zależność od temperatury:

Dla fotonów rozkład Plancka jest szczególnym przykładem rozkładu Bosego- Einsteina; zamiast funkcji F wstawiamy funkcję B:

( )

F

o r a z E

0

g d y k T E

E E / k T

F

F ( E , T

N ( E , T )d E N ( E )

) e

F ( E , T )d E g d z ie

( T ) E E

-

=

= =

=

⁰

+

0

1 1 2

(E E ) / kT

B(E, T)

e

^-

=

⁰

-

1

(10)

Gaz Fermiego cd.

Konsekwencje praktyczne: niemal swobodne elektrony przewodnictwa w metalu tworzą gaz Fermiego.

Gęstość elektronów przewodnictwa w metalu np. miedzi:

ó

Ś ó

F

F e r m ie g o : E

r e d n ia e n e r g ia e le k tr o n w : E

C u A v

C u

F

N N

~ . ~ . e le k t r o n w / c m

V A

E n e r g ia

e V

. E e V

E n e r g ia t e r m ic z n a d la T K :

/ k T . e V E

Ê ˆ ª ρ ª ª

Ë ¯ ª

= =

=

2 3 9 2 2 3

6 1 0 8 1 0

6 4

7

0 6 4

3 0 0

3 2 0 0 2 5

E

_F

~3/2kT

E

(11)

Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa ciał stałych

W ciałach stałych (kryształach szkłach) odległości międzyatomowe (stałe sieci w kryształach) są rzędu 0.1 nm czyli rzędu rozmiarów atomów.

Funkcje falowe elektronów zewnętrznych z różnych atomów nachodzą na siebie. Elektrony zewnętrzne ulegają więc częściowemu uwspólnieniu.

(12)

Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa ciał stałych

Atomy w krysztale Izolowane E

atomy

Zasada Pauliego wymaga, żeby poziomy atomów bliskich siebie przesunęły się tak, żeby żadne dwa elektrony o tych samych liczbach kwantowych nie miały tej samej energii. W ten sposób w ciałach

stałych powstają pasma wspólnych elektronów.

(13)

Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa ciał stałych

Zależnie od stanu obsadzenia pasm i wielkości przerw energetycznych między nimi ciała stałe są metalami (przewodnikami), półprzewodnikami lub izolatorami.

METAL IZOLATOR PÓŁPRZEWODNIK

Stany puste Stany

wypełnione