Układy równań nieliniowych

(1)

Układy równań nieliniowych

Marcin Orchel

1 Zadania

1.1 Zadania na 3.0

Napisać skrypt w R. W skrypcie:

• rozwiązać przykładowe równania nieliniowe, wyświetlić dokładność wyliczenia

• rozwiązać problem wyznaczania wartości funkcji odwrotnej za pomocą rozwiązania równania nieliniowego

• dla wybranych układów równań nieliniowych (z jednym równaniem oraz z wieloma) znaleźć rozwiązanie dwoma wybranymi metodami.

• znaleźć rozwiązania dla układu równań wielomianowych

• wykonać testy dla różnej liczby rozwiązań (zero, jedno, kilka, nieskończenie wiele)

• wykonać testy szybkości metod z przekazaniem macierzy Jacobiego do metody np.

nleqslv

• porównać jakość znalezionych rozwiązań

• wyświetlić wykresy dla testowanych układów równań

• rozwiązać układ równań nieliniowych za pomocą metody optymalizacji

• wykonać testy dla różnych warunków stopu

• Dodać komentarz do skryptu opisujący krótko na czym polegają użyte metody oraz wnioski z badań.

Wskazówki

• jakość możemy porównać za pomocą porównania miejsca zerowego z miejscem zerowym obliczonym metodą symboliczną lub za pomocą porównania błędu dla poszczególnych równań po podstawieniu znalezionych wartości zmiennych

• przykłady układów równań nieliniowychhttp://www.mathworks.com/help/optim/

ug/fsolve.html

(2)

• można wykorzystać następujące równania x⁵− x + 1 = 0 (x − 1)²(x + 1)³+ 1

x⁴+ 0.1 − 0.731 = 0 e^−x = x

Równanie Keplera

x − ε sin (x) = M

gdzie ε przyjmuje wartości z przedziału [0, 1], równanie van der Waalsa, wyznacze- nie liczby π, wielomian Wilkinsona.

• Dla funkcji f : (0, ∞) → R takiej, że

f (x) = 1

x^1,5+ x (1)

obliczamy f⁻¹(5), szukamy x takiego, że f (x) − 5 = 0. Rozwiązanie na wolframal- pha.com http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(x%5E(1.5)+%2B+x)+%

3D+5.

• równanie

sin³(x) + cos (3s) = 0 (2)

oraz układ równań

(s³+ 4c³− 3c = 0

s²+ c²− 1 = 0 (3)

• układ równań wielomianowych w postaci łańcucha regularnego











x²− 1 = 0

(x − 1) (y − 1) = 0 y²− 1 = 0

(4)

• https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_polynomial_equations

• układy wielu równań nieliniowych ,https://cran.r-project.org/web/packages/

BB/vignettes/BBvignetteJSS.pdf

Wskazówki do R

• w uniroot końce przedziału muszą mieć przeciwne znaki, parametr extendInt

• w multiroot nie da się podać kilku punktów startowych

• https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/uniroot.html

(3)

• https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/base/html/polyroot.html

• https://www.rdocumentation.org/packages/rootSolve/topics/uniroot.all

• https://www.rdocumentation.org/packages/rootSolve/topics/multiroot

• http://finzi.psych.upenn.edu/library/NLRoot/html/BFfzero.html

• http://finzi.psych.upenn.edu/library/NLRoot/html/NDHfzero.html

• http://finzi.psych.upenn.edu/library/NLRoot/html/NIMfzero.html

• http://finzi.psych.upenn.edu/library/NLRoot/html/SMfzero.html

• https://www.rdocumentation.org/packages/nleqslv/topics/nleqslv

• https://www.rdocumentation.org/packages/nleqslv/topics/searchZeros

• https://www.rdocumentation.org/packages/nleqslv/topics/testnslv

• http://search.r-project.org/library/BB/html/BBsolve.html

• http://search.r-project.org/library/BB/html/dfsane.html

• http://search.r-project.org/library/BB/html/multiStart.html

• http://search.r-project.org/library/BB/html/sane.html

• https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/optim.html

• https://www.rdocumentation.org/packages/systemfit/topics/nlsystemfit Wskazówki do Matlaba

• do wyszukiwania miejsc zerowych metodami numerycznymi użyć funkcji, http:

//www.mathworks.com/help/matlab/ref/fzero.html oraz opcjonalnie http://

www.mathworks.com/help/curvefit/fnzeros.html z curve fitting toolbox lub

http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/roots.htmllubhttp://www.mathworks.

com/help/optim/ug/fsolve.html

• do wyszukiwania miejsc zerowych metodami symbolicznymi użyć funkcji http://

www.mathworks.com/help/symbolic/solve.html, jeśli funkcja nie może znaleźć rozwiązania symbolicznego, używany jest solver numeryczny

• można przetestować dodatkowo wyszukiwanie miejsc zerowych w optimtool.

Przykłady do R

• f <- function(x) (x-1)*x^2*(x+2)^3 print(uniroot(f, c(-3, -1)), digits=22)

(4)

• parametry tol (domyślny √

εM) i maxiter (domyślnie 1000)

print(uniroot(f, c(-3, -1), tol=.Machine$double.eps)$root, digits=22)

• zapisanie znajdowania miejsca zerowego jako problemu optymalizacji print(optimize(function(x) abs(f(x)), c(-3, -1)),

tol=.Machine$double.eps)$minimum, digits=22)

• zastosowanie polyroot

as.numeric(polyroot(c(0, 0, -8, -4, 6, 5, 1)))

• funkcja ze wskazówek

str(uniroot(function(x) 1/(x^1.5 + x) - 5, c(0.1, 100)))

• zapisanie znajdowania miejsca zerowego układu równań nieliniowych jako problemu optymalizacji, dla układu równań

(x²₁− x₂− 0.5 = 0

−x₁+ x²₂− 0.5 = 0 (5)

Równanie na wolframalpha.com http://www.wolframalpha.com/input/?i=x1%

5E2+-+x2+-+0.5+%3D+0,+-x1%2Bx2%5E2+-+0.5+%3D+0 f1 <- function(x) x[1]^2 - x[2] -0.5

f2 <- function(x) -x[1] + x[2]^2 -0.5 f3 <- function(x) x[1]^2 - x[2] +0.5 f4 <- function(x) -x[1] + x[2]^2 +0.5

optim(c(0,0), function(x) f1(x)^2 + f2(x)^2, control=list(reltol=1e-16))[1:2]

optim(c(0,0), function(x) f3(x)^2 + f4(x)^2, control=list(reltol=1e-16))[1:2]

1.2 Zadania na 4.0

• Zdefiniować wybrane krzywe z radialnymi funkcjami bazowymi (RBF) postaci

n

X

i=1

αiexp −k ~x_i− ~xk²

2σ² = 0 . (6)

Proszę dobrać tak parametry n > 1, σ, punkty ~x_i aby w pierwszym przypadku rozwiązanie było funkcją ostatniej współrzędnej, w drugim przypadku rozwiązanie nie było funkcją ostatniej współrzędnej (rozwiązaniem jest krzywa zamknięta).

Wybrać krzywe zarówno dwuwymiarowe jak i trójwymiarowe.

(5)

• Napisać skrypt w Matlabie, który znajduje rozwiązania za pomocą rozwiązywania równań nieliniowych.

• Obliczyć średni błąd za pomocą porównania rozwiązania z prawidłowym rozwią- zaniem lub obliczyć błąd za pomocą porównania lewej strony równania z zerem.

• Wyświetlić wykresy oczekiwanych i znalezionych rozwiązań.

Wskazówki

• Spróbkować wartości zmiennej x bez ostatniej współrzędnej, dla każdej próbki rozwiązać równanie nieliniowe ze zmienną, która jest ostatnią współrzędną.

1.3 Zadania na 5.0

• Dla wybranych zbiorów danych dla regresji np. z UCI Machine Learning Repository lub StatLib - DataSets Archive lub z http://kaggle.com dokonać aproksymacji wielowymiarowej oraz wyszukać miejsca zerowe funkcji aproksymujących. Zinter- pretować te punkty z odwołaniem do znaczenia danych. Można punkty przesunąć w górę lub dół tak aby istniały miejsca zerowe.