• Nie Znaleziono Wyników

f ( x )= χ ( x )+ χ ( x )+ χ ( x ) . f ( x )=2 χ ( x )+ χ ( x ) − 7 χ ( x ) . a χ ( A ) P f : R → R A λ ( A )=2 12

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "f ( x )= χ ( x )+ χ ( x )+ χ ( x ) . f ( x )=2 χ ( x )+ χ ( x ) − 7 χ ( x ) . a χ ( A ) P f : R → R A λ ( A )=2 12"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

WRAiT lista 11

1

2

17I 2009

Jest to lista dodatkowa, maj¡ a sªu»y¢ przygotowaniu do kolokwium z miary i aªki

Lebesgue'a. W±ród poni»szy h pyta« mog¡ znale¹¢ si takie, które wymagaj¡ dopre y-

zowania (nale»y je wtedy dopre yzowa¢). Niektóre s¡ bardzo ªatwe, s¡ tak»e pytania

trudniejsze. Niektóre zponi»szy h pyta«pojawi¡ si nakolokwium.

Przy rozwi¡zywaniu trzeba dba¢ o ± isªo±¢rozumowa«i podawa¢pre yzyjne przykªady

i kontrprzykªady.

Przy nau e dokolokwiumnienale»y o zywi± iezapomina¢o zadania hz list10i 11...

Zad. 1 Podaj przykªad zbioru

A

, któryma miar

λ(A) = 2

oraz

a) jest nieograni zony;

b) nie zawiera »adnego przedziaªu;

) nie zawiera »adnego przedziaªu, ho¢ jestotwarty;

d) nie zawiera »adnego przedziaªu, ho¢ jestdomknity.

Zad. 2 Podaj przykªad funk ji

f : R → R

, którajest

a) borelowska inie i¡gªa(w »adnym punk ie);

b) nieborelowska i i¡gªa;

) borelowska i i¡gªa;

d) nieborelowska i nie i¡gªa.

Zad. 3 Jakajest ró»ni amidzy poni»szymipoj iami:

a) miar¡ a miar¡Lebesgue'a;

b) zbiorem borelowskim azbiorem mierzalnym;

) funk j¡ borelowsk¡ a funk j¡ mierzaln¡;

d) funk j¡ mierzaln¡afunk j¡ aªkowaln¡?

Zad. 4 Poka», »e funk je proste s¡mierzalne.

Zad. 5 Zauwa»,»e dan¡funk jprost¡mo»emyzazwy zajzapisa¢nawielesposobów.

Zapisz poni»sz¡ funk j prost¡ w posta i

P a n χ A n

, gdzie

(A n )

paramirozª¡ zne:

f (x) = 2χ (0,4) (x) + χ (2,4) (x) − 7χ (1,3) (x).

Zapiszw prostszy sposób nastpuj¡ ¡ funk j prost¡:

f (x) = χ (1,3) (x) + χ [3,4) (x) + χ [4,18) (x).

(2)

Zad. 6 Znajd¹bª¡dwnastpuj¡ ymrozumowaniu:MiaraLebesgue'adeniowanajest

jako

λ(A) = inf{ P

b n − a n : A ⊆ S

(a n , b n )}

. Dla ka»dego podzbioru li zb rze zywisty h to inmum jest okre±lone, wi ka»dy podzbiór li zb rze zywisty h jest mierzalny.

Zad. 7 Czy prawd¡ jest, »e

a) je±li

|f|

jest borelowska,to

f

jest borelowska;

b) je±li

f

jest borelowskai

|f|

jest aªkowalna, to

f

jest aªkowalna;

)

f +

mo»e nieby¢ borelowska nawet, gdy

f

jestborelowska;

d) prze iwobraz zbioru borelowskiego przezfunk j i¡gª¡jest borelowski;

Zad. 8 Nie h

A ⊆ R

bdzie zbiorem borelowskim o mierze

λ(A) = a > 0

. Czy to

prawda, »e dlaka»dego

ε > 0

a) istnieje zbiór otwarty

A ⊆ U

taki, »e

λ(U) < a + ε

;

b) istnieje zbiór domknity

A ⊆ F

taki, »e

λ(F ) < a + ε

;

) istnieje zbiór domknity

F ⊆ A

taki, »e

λ(F ) > a − ε

?

Zad. 9 Podaj przykªad lub argument, »e nieistnieje

a) funk ja harakterysty zna, któraniejest mierzalna;

b) funk ja prosta,która niejest ograni zona;

) funk ja prosta,która niejest aªkowalna;

d) funk ja prosta,która niejest i¡gªaw »adnym punk ie.

Zad. 10 Sprawd¹ zy poni»sze rodziny generuj¡zbiory borelowskie:

a)

{[p, q): p < q, p, q ∈ Q}

;

b)

{(a, b) ∩ Q: a < b, a, b ∈ R}

;

) zbiory jednopunktowe;

d)

{(n, n + 1): n ∈ N}

.

Zad. 11 Czyponi»sze rodziny podzbiorów

R

to

σ

 iaªa?

a) zbiory otwarte;

b) zbiory przeli zalnei koprzeli zalne;

) zbiory sko« zone i kosko« zone;

(3)

Czyodpowiedzibyªyby takiesame,gdyby niezakªada¢,»e s¡torodzinypodzbiorów

R

?

Zad. 12 Podaj par przykªadów

σ

 iaª i rodzin, które nie

σ

 iaªami, na zbiorze

{1, 2, 3, 4}

.Jak wygl¡da

σ

 iaªo podzbiorówpªasz zyzny generowane przez trójk¡ty?

Zad. 13 Wyja±nij, dla zego deni je

σ

 iaªa i rodziny zbiorów borelowski h wygl¡- daj¡ wªa±nie tak,a nieina zej.

Zad. 14 Poka», »e

Z

R

f dλ = lim

r→∞

Z

[−r,r]

f dλ.

U»yj przeli zalnejaddytywno± i aªki.Wyja±nij, dla zego niemasensu mówi¢ oniewªa-

± iwej aª e Lebesgue'a (w prze iwie«stwie doprzypadku aªki Riemanna).

Zad. 15 Poka», »e

R

A χ B dµ = µ(A ∩ B)

.

Zad. 16 Rozwa»przestrze«miarow¡zwi¡zan¡zrzutemkostk¡

(X, Σ, µ)

.Nie h

f : X → R

bdzie okre±lona przez

f (i) = i

.

a) Czy

f

jest mierzalna?

b) Ile wynosi aªka

R

X f dµ

?

Zad. 17 Rozwa» przestrze« miarow¡

(X, Σ, µ)

zwi¡zan¡ z losowaniem punktu z

R

,

przy zymprawdopodobie«stwowylosowaniapunktuzmieniasizgodniezfunk j¡

f (x) = (1/ √

2π)e x 2

.

a) Spre yzuj, o tozna zy, tzn. napiszodpowiedni¡przestrze« miarow¡.

b) Czy funk ja

f

jest borelowska?

) Zapisz prawdopodobie«stwo,»e wylosowany punkt znajdzie siw zbiorze

A

.

Przypu±¢my, »e za wylosowanie punktu

x

dostajemy

g(x) = x 2

zªoty h. Zapisz warto±¢

o zekiwan¡ wygranej. Zapiszmiar, z jak¡ wi¡»esi tazmiennalosowa.

Zad. 18 Poka», »e je±li

f ≥ 0

i

f = 0 µ

prawie wszdzie, to

R

f dµ = 0

.

Zad. 19 Poka», »e je±li

f n

zbiega

µ

prawie wszdzie do

f

i dla ka»dego

n

funk ja

f n ≥ 0 µ

prawie wszdzie, to

f ≥ 0 µ

prawie wszdzie.

Cytaty