WRAiT lista 11
1
2
17I 2009Jest to lista dodatkowa, maj¡ a sªu»y¢ przygotowaniu do kolokwium z miary i aªki
Lebesgue'a. W±ród poni»szy h pyta« mog¡ znale¹¢ si takie, które wymagaj¡ dopre y-
zowania (nale»y je wtedy dopre yzowa¢). Niektóre s¡ bardzo ªatwe, s¡ tak»e pytania
trudniejsze. Niektóre zponi»szy h pyta«pojawi¡ si nakolokwium.
Przy rozwi¡zywaniu trzeba dba¢ o ± isªo±¢rozumowa«i podawa¢pre yzyjne przykªady
i kontrprzykªady.
Przy nau e dokolokwiumnienale»y o zywi± iezapomina¢o zadania hz list10i 11...
Zad. 1 Podaj przykªad zbioru
A
, któryma miarλ(A) = 2
oraza) jest nieograni zony;
b) nie zawiera »adnego przedziaªu;
) nie zawiera »adnego przedziaªu, ho¢ jestotwarty;
d) nie zawiera »adnego przedziaªu, ho¢ jestdomknity.
Zad. 2 Podaj przykªad funk ji
f : R → R
, którajesta) borelowska inie i¡gªa(w »adnym punk ie);
b) nieborelowska i i¡gªa;
) borelowska i i¡gªa;
d) nieborelowska i nie i¡gªa.
Zad. 3 Jakajest ró»ni amidzy poni»szymipoj iami:
a) miar¡ a miar¡Lebesgue'a;
b) zbiorem borelowskim azbiorem mierzalnym;
) funk j¡ borelowsk¡ a funk j¡ mierzaln¡;
d) funk j¡ mierzaln¡afunk j¡ aªkowaln¡?
Zad. 4 Poka», »e funk je proste s¡mierzalne.
Zad. 5 Zauwa»,»e dan¡funk jprost¡mo»emyzazwy zajzapisa¢nawielesposobów.
Zapisz poni»sz¡ funk j prost¡ w posta i
P a n χ A n, gdzie (A n )
s¡ paramirozª¡
zne:
f (x) = 2χ (0,4) (x) + χ (2,4) (x) − 7χ (1,3) (x).
Zapiszw prostszy sposób nastpuj¡ ¡ funk j prost¡:
f (x) = χ (1,3) (x) + χ [3,4) (x) + χ [4,18) (x).
Zad. 6 Znajd¹bª¡dwnastpuj¡ ymrozumowaniu:MiaraLebesgue'adeniowanajest
jako
λ(A) = inf{ P
b n − a n : A ⊆ S
(a n , b n )}
. Dla ka»dego podzbioru li zb rze zywisty h to inmum jest okre±lone, wi ka»dy podzbiór li zb rze zywisty h jest mierzalny.Zad. 7 Czy prawd¡ jest, »e
a) je±li
|f|
jest borelowska,tof
jest borelowska;b) je±li
f
jest borelowskai|f|
jest aªkowalna, tof
jest aªkowalna;)
f + mo»e nieby¢ borelowska nawet, gdyf
jestborelowska;
d) prze iwobraz zbioru borelowskiego przezfunk j i¡gª¡jest borelowski;
Zad. 8 Nie h
A ⊆ R
bdzie zbiorem borelowskim o mierzeλ(A) = a > 0
. Czy toprawda, »e dlaka»dego
ε > 0
a) istnieje zbiór otwarty
A ⊆ U
taki, »eλ(U) < a + ε
;b) istnieje zbiór domknity
A ⊆ F
taki, »eλ(F ) < a + ε
;) istnieje zbiór domknity
F ⊆ A
taki, »eλ(F ) > a − ε
?Zad. 9 Podaj przykªad lub argument, »e nieistnieje
a) funk ja harakterysty zna, któraniejest mierzalna;
b) funk ja prosta,która niejest ograni zona;
) funk ja prosta,która niejest aªkowalna;
d) funk ja prosta,która niejest i¡gªaw »adnym punk ie.
Zad. 10 Sprawd¹ zy poni»sze rodziny generuj¡zbiory borelowskie:
a)
{[p, q): p < q, p, q ∈ Q}
;b)
{(a, b) ∩ Q: a < b, a, b ∈ R}
;) zbiory jednopunktowe;
d)
{(n, n + 1): n ∈ N}
.Zad. 11 Czyponi»sze rodziny podzbiorów
R
toσ
iaªa?a) zbiory otwarte;
b) zbiory przeli zalnei koprzeli zalne;
) zbiory sko« zone i kosko« zone;
Czyodpowiedzibyªyby takiesame,gdyby niezakªada¢,»e s¡torodzinypodzbiorów
R
?Zad. 12 Podaj par przykªadów
σ
iaª i rodzin, które nie s¡σ
iaªami, na zbiorze{1, 2, 3, 4}
.Jak wygl¡daσ
iaªo podzbiorówpªasz zyzny generowane przez trójk¡ty?Zad. 13 Wyja±nij, dla zego deni je
σ
iaªa i rodziny zbiorów borelowski h wygl¡- daj¡ wªa±nie tak,a nieina zej.Zad. 14 Poka», »e
Z
R
f dλ = lim
r→∞
Z
[−r,r]
f dλ.
U»yj przeli zalnejaddytywno± i aªki.Wyja±nij, dla zego niemasensu mówi¢ oniewªa-
± iwej aª e Lebesgue'a (w prze iwie«stwie doprzypadku aªki Riemanna).
Zad. 15 Poka», »e
R
A χ B dµ = µ(A ∩ B).
Zad. 16 Rozwa»przestrze«miarow¡zwi¡zan¡zrzutemkostk¡
(X, Σ, µ)
.Nie hf : X → R
bdzie okre±lona przezf (i) = i
.a) Czy
f
jest mierzalna?b) Ile wynosi aªka
R
X f dµ?
Zad. 17 Rozwa» przestrze« miarow¡
(X, Σ, µ)
zwi¡zan¡ z losowaniem punktu zR
,przy zymprawdopodobie«stwowylosowaniapunktuzmieniasizgodniezfunk j¡
f (x) = (1/ √
2π)e − x 2.
a) Spre yzuj, o tozna zy, tzn. napiszodpowiedni¡przestrze« miarow¡.
b) Czy funk ja
f
jest borelowska?) Zapisz prawdopodobie«stwo,»e wylosowany punkt znajdzie siw zbiorze
A
.Przypu±¢my, »e za wylosowanie punktu
x
dostajemyg(x) = x 2 zªoty h. Zapisz warto±¢
o zekiwan¡ wygranej. Zapiszmiar, z jak¡ wi¡»esi tazmiennalosowa.
Zad. 18 Poka», »e je±li
f ≥ 0
if = 0 µ
prawie wszdzie, toR
f dµ = 0
.Zad. 19 Poka», »e je±li