MATEMATYKADYSKRETNA-MATERIAŁYDOWYKŁADU GRAFY MATEMATYKADYSKRETNA-MATERIAŁYDOWYKŁADU

(1)

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(2)

Graf nieskierowany

DEFINICJA

Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V , E ), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G ), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych par {u, v }, gdzie u, v ∈ V i u 6= v . Zbiór E nazywamy zbiorem krawędzi grafu G .

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(3)

Graf nieskierowany

PRZYKŁAD

(GRAF I) Zilustrować graf G = (V , E ), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} oraz

E = {{1, 2} , {1, 5}, {2, 5}, {3, 6}, {6, 7}}.

PRZYKŁAD

(GRAF II) Podać zbiory E i V poniższego grafu:

1 2 3

4 5 6

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(4)

Graf nieskierowany

PRZYKŁAD

(GRAF I) Zilustrować graf G = (V , E ), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} oraz

E = {{1, 2} , {1, 5}, {2, 5}, {3, 6}, {6, 7}}.

(GRAF II) Podać zbiory E i V poniższego grafu:

1 2 3

4 5 6

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(5)

Graf nieskierowany

PRZYKŁAD

(GRAF I) Zilustrować graf G = (V , E ), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} oraz

E = {{1, 2} , {1, 5}, {2, 5}, {3, 6}, {6, 7}}.

PRZYKŁAD

(GRAF II) Podać zbiory E i V poniższego grafu:

1 2 3

4 5 6

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(6)

Graf nieskierowany

DEFINICJA

Jeżeli {u, v } jest krawędzią grafu nieskierowanego G , to mówimy , że {u, v } jest incydentna z wierzchołkami u i v .

Stopniem wierzchołka w grafie nieskierowanym nazywamy liczbę incydentnych z nim krawędzi.

ĆWICZENIE

Podać stopień wierzchołka u = 6 grafu nr I.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(7)

Graf nieskierowany

DEFINICJA

Jeżeli {u, v } jest krawędzią grafu nieskierowanego G , to mówimy , że {u, v } jest incydentna z wierzchołkami u i v .

DEFINICJA

Stopniem wierzchołka w grafie nieskierowanym nazywamy liczbę incydentnych z nim krawędzi.

ĆWICZENIE

Podać stopień wierzchołka u = 6 grafu nr I.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(8)

Graf nieskierowany

DEFINICJA

Jeżeli {u, v } jest krawędzią grafu nieskierowanego G , to mówimy , że {u, v } jest incydentna z wierzchołkami u i v .

DEFINICJA

Stopniem wierzchołka w grafie nieskierowanym nazywamy liczbę incydentnych z nim krawędzi.

ĆWICZENIE

Podać stopień wierzchołka u = 6 grafu nr I.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(9)

Graf skierowany

DEFINICJA

Grafem skierowanym nazywamy parę G = (V , E ), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G ), natomiast E - zbiór krawędzi grafu G - jest zbiorem uporządkowanych par {u, v } oznaczanych (u, v ), gdzie u, v ∈ V .

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(10)

Graf skierowany

PRZYKŁAD

(GRAF III) Zilustrować graf G = (V , E ), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

oraz E = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 1), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}.

(GRAF IV) Podać zbiory E i V poniższego grafu:

a b c

d e

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(11)

Graf skierowany

PRZYKŁAD

(GRAF III) Zilustrować graf G = (V , E ), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

oraz E = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 1), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}.

PRZYKŁAD

(GRAF IV) Podać zbiory E i V poniższego grafu:

a b c

d e

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(12)

Graf skierowany

DEFINICJA

Stopniem wierzchołka w grafie skierowanym nazywamy sumę liczby krawędzi wchodzących do wierzchołka i wychodzących z tego wierzchołka.

Podać stopień wierzchołka u = 2 w grafie III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(13)

Graf skierowany

DEFINICJA

Stopniem wierzchołka w grafie skierowanym nazywamy sumę liczby krawędzi wchodzących do wierzchołka i wychodzących z tego wierzchołka.

PRZYKŁAD

Podać stopień wierzchołka u = 2 w grafie III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(14)

DEFINICJA

Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> takich, że

u = v

₀

, v = v

_k

,i (v

_{i −1}

, v

_i

) ∈ E dla i = 1, ..., k. Ścieżkę nazywamy prostą , gdy jej wszystkie wierzchołki są różne.

Podać przykłady dróg

1

z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I;

2

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I;

3

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III;

4

z wierzchołka u = 3 do wierzchołka v = 6 w grafie III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(15)

DEFINICJA

Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> takich, że

u = v

₀

, v = v

_k

,i (v

_{i −1}

, v

_i

) ∈ E dla i = 1, ..., k. Ścieżkę nazywamy prostą , gdy jej wszystkie wierzchołki są różne.

PRZYKŁAD

Podać przykłady dróg

1

z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I;

2

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I;

3

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III;

4

z wierzchołka u = 3 do wierzchołka v = 6 w grafie III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(16)

DEFINICJA

Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> takich, że

u = v

₀

, v = v

_k

,i (v

_{i −1}

, v

_i

) ∈ E dla i = 1, ..., k. Ścieżkę nazywamy prostą , gdy jej wszystkie wierzchołki są różne.

PRZYKŁAD

Podać przykłady dróg

1

z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I;

3

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III;

4

z wierzchołka u = 3 do wierzchołka v = 6 w grafie III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(17)

DEFINICJA

Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> takich, że

u = v

₀

, v = v

_k

,i (v

_{i −1}

, v

_i

) ∈ E dla i = 1, ..., k. Ścieżkę nazywamy prostą , gdy jej wszystkie wierzchołki są różne.

PRZYKŁAD

Podać przykłady dróg

1

z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I;

2

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I;

3

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III;

4

z wierzchołka u = 3 do wierzchołka v = 6 w grafie III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(18)

DEFINICJA

Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> takich, że

u = v

₀

, v = v

_k

,i (v

_{i −1}

, v

_i

) ∈ E dla i = 1, ..., k. Ścieżkę nazywamy prostą , gdy jej wszystkie wierzchołki są różne.

PRZYKŁAD

Podać przykłady dróg

1

z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I;

2

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I;

3

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III;

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(19)

DEFINICJA

Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> takich, że

u = v

₀

, v = v

_k

,i (v

_{i −1}

, v

_i

) ∈ E dla i = 1, ..., k. Ścieżkę nazywamy prostą , gdy jej wszystkie wierzchołki są różne.

PRZYKŁAD

Podać przykłady dróg

1

z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I;

2

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I;

3

z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III;

4

z wierzchołka u = 3 do wierzchołka v = 6 w grafie III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(20)

DEFINICJA

Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v .

Rozważmy graf III. Stwierdzić czy

1

wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4;

2

wierzchołek u = 3 jest osiągalny z wierzchołka v = 1;

3

wierzchołek u = 2 jest osiągalny z wierzchołka v = 5.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(21)

DEFINICJA

Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v .

PRZYKŁAD

Rozważmy graf III. Stwierdzić czy

1

wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4;

2

wierzchołek u = 3 jest osiągalny z wierzchołka v = 1;

3

wierzchołek u = 2 jest osiągalny z wierzchołka v = 5.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(22)

DEFINICJA

Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v .

PRZYKŁAD

Rozważmy graf III. Stwierdzić czy

1

wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4;

3

wierzchołek u = 2 jest osiągalny z wierzchołka v = 5.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(23)

DEFINICJA

Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v .

PRZYKŁAD

Rozważmy graf III. Stwierdzić czy

1

wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4;

2

wierzchołek u = 3 jest osiągalny z wierzchołka v = 1;

3

wierzchołek u = 2 jest osiągalny z wierzchołka v = 5.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(24)

Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v .

PRZYKŁAD

Rozważmy graf III. Stwierdzić czy

1

wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4;

2

wierzchołek u = 3 jest osiągalny z wierzchołka v = 1;

3

wierzchołek u = 2 jest osiągalny z wierzchołka v = 5.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(25)

Cykle

DEFINICJA

Mówimy, że w grafie skierowanym ścieżka < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> tworzy cykl, jeśli v

0

= v

_k

Cykl nazywamy prostym, gdy v

1

, ..., v

_k

są różne.

DEFINICJA

Pętlą nazywamy cykl o długosci 1.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(26)

Cykle

DEFINICJA

Mówimy, że w grafie skierowanym ścieżka < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> tworzy cykl, jeśli v

0

= v

_k

Cykl nazywamy prostym, gdy v

1

, ..., v

_k

są różne.

DEFINICJA

Pętlą nazywamy cykl o długosci 1.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(27)

Cykle

DEFINICJA

Mówimy, że ścieżka < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> tworzy cykl w grafie nieskierownym, gdy v

0

= v

k

, v

1

, ..., v

k

są różne i k > 2.

DEFINICJA

Graf nie zawierający cykli nazywamy acyklicznym.

DEFINICJA

Acykliczny graf nieskierowany nazywamy lasem.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(28)

Cykle

DEFINICJA

Mówimy, że ścieżka < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> tworzy cykl w grafie nieskierownym, gdy v

0

= v

k

, v

1

, ..., v

k

są różne i k > 2.

DEFINICJA

Graf nie zawierający cykli nazywamy acyklicznym.

Acykliczny graf nieskierowany nazywamy lasem.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(29)

Cykle

DEFINICJA

Mówimy, że ścieżka < v

₀

, v

₁

, ..., v

_k

> tworzy cykl w grafie nieskierownym, gdy v

0

= v

k

, v

1

, ..., v

k

są różne i k > 2.

DEFINICJA

Graf nie zawierający cykli nazywamy acyklicznym.

DEFINICJA

Acykliczny graf nieskierowany nazywamy lasem.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(30)

PRZYKŁAD Podać przykład

2

cyklu w grafie III;

3

cyklu prostego w grafie III;

4

sciezki prostej w grafie I;

5

sciezki prostej w grafie II.

6

grafu zawierajcego petle.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(31)

PRZYKŁAD Podać przykład

1

sciezki prostej w grafie III;

2

cyklu w grafie III;

3

cyklu prostego w grafie III;

4

sciezki prostej w grafie I;

5

sciezki prostej w grafie II.

6

grafu zawierajcego petle.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(32)

PRZYKŁAD Podać przykład

1

sciezki prostej w grafie III;

2

cyklu w grafie III;

4

sciezki prostej w grafie I;

5

sciezki prostej w grafie II.

6

grafu zawierajcego petle.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(33)

PRZYKŁAD Podać przykład

1

sciezki prostej w grafie III;

2

cyklu w grafie III;

3

cyklu prostego w grafie III;

4

sciezki prostej w grafie I;

5

sciezki prostej w grafie II.

6

grafu zawierajcego petle.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(34)

PRZYKŁAD Podać przykład

1

sciezki prostej w grafie III;

2

cyklu w grafie III;

3

cyklu prostego w grafie III;

4

sciezki prostej w grafie I;

6

grafu zawierajcego petle.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(35)

PRZYKŁAD Podać przykład

1

sciezki prostej w grafie III;

2

cyklu w grafie III;

3

cyklu prostego w grafie III;

4

sciezki prostej w grafie I;

5

sciezki prostej w grafie II.

6

grafu zawierajcego petle.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(36)

Podać przykład

1

sciezki prostej w grafie III;

2

cyklu w grafie III;

3

cyklu prostego w grafie III;

4

sciezki prostej w grafie I;

5

sciezki prostej w grafie II.

6

grafu zawierajcego petle.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(37)

Macierz sąsiedztwa

DEFINICJA

Niech dany będzie graf G = (V , E ) o wierzchołkach

ponumerowanych od 1 do k, gdzie k = |V |. Macierzą sąsiedztwa grafu G nazywamy macierz A = [a

ij

]

_k×k

zdefiniowana następująco

a

_ij

:=

( 1, gdy (i , j ) ∈ E 0, gdy (i , j ) / ∈ E .

PRZYKŁAD

Wyznaczyć macierz sąsiedztwa dla grafów I i III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(38)

Macierz sąsiedztwa

DEFINICJA

Niech dany będzie graf G = (V , E ) o wierzchołkach

ponumerowanych od 1 do k, gdzie k = |V |. Macierzą sąsiedztwa grafu G nazywamy macierz A = [a

ij

]

_k×k

zdefiniowana następująco

a

_ij

:=

( 1, gdy (i , j ) ∈ E 0, gdy (i , j ) / ∈ E .

PRZYKŁAD

Wyznaczyć macierz sąsiedztwa dla grafów I i III.

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(39)

PRZYKŁAD

Narysować graf nieskierowany, którego macierz sąsiedztwa jest następująca







0 1 0 0 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 1 0 1 0







PRZYKŁAD

Narysować graf skierowany, którego macierz sąsiedztwa jest następująca







0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1







MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(40)

Narysować graf nieskierowany, którego macierz sąsiedztwa jest następująca







0 1 0 0 1

1 0 1 1 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 1 0 1 0







PRZYKŁAD

Narysować graf skierowany, którego macierz sąsiedztwa jest następująca







0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1







MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY

(41)

Ross K.A., Wright C.R., Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, 2000.

Cormen T.H., Leiserson C.E., Rivest R.L. Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1990 (str. 113-117, 526-530)

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU

GRAFY