• Nie Znaleziono Wyników

Udowodnij, że liczba powstałych trójkątów jest nieparzysta

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Udowodnij, że liczba powstałych trójkątów jest nieparzysta"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Zadania poranne

grupa młodsza niedziela, 22 września 2002

21. Wewnątrz trójkąta dana jest skończona liczba punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Punkty te połączono między sobą i z wierzchołkami trójkąta nieprzecinającymi się odcinkami tak, iż ”duży” trójkąt podzielono na mniejsze trójkąty. Udowodnij, że liczba powstałych trójkątów jest nieparzysta.

22. Rozstrzygnij, czy istnieje ciąg arytmetyczny o wyrazach całkowitych, niezawierający 0 ani 1 i taki że dla każdego n ∈ Z+ istnieje a ∈ Z+ dla którego an należy do tego ciągu.

23. Dany jest kwadrat ABCD i romb P QRS, przy czym A ∈ P Q, B ∈ QR, C ∈ RS, D ∈ SP. Niech k, l, m, n będą prostymi przechodzącymi odpowiednio przez A, B, C, D i prostopa- dłymi odpowiednio do P Q, QR, RS, SP . Udowodnij, że pary prostych k, m i l, n są równoległe oraz odległości między nimi są równe.

24. Na bokach BC i CD kwadratu ABCD obrano punkty M i K takie, że |]M AK| =

|]BAM |. Udowodnij, że BM + KD = AK.

Zadania poranne

grupa starsza niedziela, 22 września 2002

24. Na bokach BC i CD kwadratu ABCD obrano punkty M i K takie, że |]M AK| =

|]BAM |. Udowodnij, że BM + KD = AK.

25. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania (x2+ 1)(y2+ 1) = z2+ 1 w liczbach całkowitych dodatnich (x, y, z).

26.Ile jest podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , n} takich, które nie zawierają dwóch kolejnych liczb całkowitych?

27. Rozstrzygnij, czy istnieje funkcja f : R → R nieposiadająca punktów stałych i taka, że dla każdego x ∈ R zachodzi f (f (f (f (f (x))))) = x.

Zadania poranne

grupa najstarsza niedziela, 22 września 2002

26.Ile jest podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , n} takich, które nie zawierają dwóch kolejnych liczb całkowitych?

27. Rozstrzygnij, czy istnieje funkcja f : R → R nieposiadająca punktów stałych i taka, że dla każdego x ∈ R zachodzi f (f (f (f (f (x))))) = x.

28. W trójkącie ABC punkt D, leżący na boku AB, dzieli go w stosunku 1 : 2, tzn. tak, że

AD

DB = 12. Ponadto |∠BAC| = π4, zaś |∠BDC| = π3. Oblicz |∠ABC|.

29. Na tablicy napisano n liczb całkowitych. Jeśli dwie z nich są równe k to można je zamienić na k −1 i k +1. Udowodnij, że nie można tego procesu kontynuować w nieskończoność.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Prostokąt został podzielony na mniejsze prostokąty, z których każdy ma co najmniej jeden bok o długości będącej liczbą całkowitą. Wykaż, że przynajmniej jeden bok dużego

Ruch polega na wybraniu dwóch sąsiadujących w wierszu lub kolumnie pionów, a następnie przeskoczeniem jednym z nich przez drugi i zdjęciem drugiego.. Ruch wolno wykonać tylko o

W jednym rzędzie ustawiono n słupków monet tak, że między każdymi dwoma słupkami tej samej wysokości znajduje się co najmniej jeden słupek wyższy.. Najwyższy słupek zawiera

Udowodnij, że wówczas ist- nieje wśród nich taki matematyk, że średnia liczba przyjaciół jego przyjaciół jest nie mniejsza od średniej liczby przyjaciół całego

Udowodnij, że następujące punkty: środek okręgu wpisanego, środek okręgu opisanego i środki boków AC i BC leżą na jednym

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...

[r]