1
STATYSTYKA dr in˙z Krzysztof Bry´s
Wyk lad 6
Twierdzenia graniczne
Tw. Poissona: Je˙zeli (X1, . . . , Xn) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie B(n, pn) oraz limn→+∞n · pn= λ, λ > 0, to ci¸ag rozk lad´ow zmiennych losowych X1, . . . Xn jest zbie˙zny do rozk ladu Poissona z parametrem λ.
Wnioski praktyczne z twierdzenia Poissona:
Dla ”du˙zych” n i ”ma lych” p (n ≥ 100 , p ≤ 0.1) zmienna losowa o rozk ladzie B(n, p) ma w przybli˙zeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n · p,
Tw. Lindberga- Levy’ego: Je˙zeli (X1, . . . , Xn) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie, warto´sci oczekiwanej m i wariancji σ2 > 0, to ci¸ag dystrybuant zmiennych losowych Yn=
Pn
i=1Xi−n·m σ·√
n jest zbie˙zny do dystrybuanty Φ zmiennej losowej o rozk ladzie N(0, 1).
Wnioski praktyczne z twierdzenia Lindberga Levy’ego:
Je˙zeli X1, . . . , Xn s¸a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie, warto´sci oczekiwanej m i wariancji σ2 > 0, to dla ”du˙zych” n ( n ≥ 100 ):
1) suma tych zmiennych losowych czyli zmienna losowa Yn = X1+ . . . + Xn ma w przybli˙zeniu rozk lad N(m · n, σ ·√
n),
2)´srednia arytmetyczna tych zmiennych czyli zmienna losowa Zn = Ynn = X1+...+Xn n ma w przybli˙zeniu rozk lad N(m,√σn),
Tw. Moivre’a-Laplace’a: Je˙zeli (X1, . . . , Xn) jest ci¸agiem niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie B(n,p) to ci¸ag dystrybuant zmiennych losowych Yn = X√nn·p·q−n·p jest zbie˙zny do dystrybuanty Φ zmiennej losowej o rozk ladzie N(0, 1).
Wnioski praktyczne z twierdzenia Moivre’a-Laplece’a:
Dla ”du˙zych” n (n ≥ 100):
1) liczba sukces´ow w schemacie Bernoulliego czyli zmienna losowa X o rozk ladzie B(n, p) ma w przybli˙zeniu rozk lad N(n · p,√
n · p · q),
2) cz¸esto´s˙c wyst¸epowania sukcesu w schemacie Bernoulliego czyli zmienna losowa Y = Xn, gdzie X jest zmienn¸a losow¸a o rozk ladzie B(n, p), ma w przybli˙zeniu rozk lad N(p,qp·qn).
