Miscellanevm Hyperbolicvm, Et Parabolicvm

miscellanevm

H Y P E K B O L 1 C V M,

ET PARABOLICVM.

IN PRÆCIPVE AGIT V R DE CENT RIS Grauitatis Hyperbola, partium eiufdem >

¡Atque поппиііогит folidoritm, de quibus nunquam Geometria locuta eß«

, ‘Parabola nouiter quadratur duplicít er.

Ducuntur infinit ar um parabolarum tangentes.

vtfjignantur maxima ¿nfcriptibilia > minimaque circumÇcriptibilia Infinitis T ar abolis > Conoidibus, ас femifuß s par abolíeis.

iliaque Geometrica noua exponuntur fcitu digna.

F. STEPHAN Ö"DE ANGELIS

VENETO.

Or dims lefuatorwn S. HIE RONT MI, in Veneta Provincia “Definitore Provinciali.

AD ILLVSTRISSIMOS, ET SAPIENTÍSSIMOS

SENATVS v BONoa iENSIS

V E N E T I I S, M DC LIX.

— ---—--- , 1-Г»

Apud Ioannem La Noü

lllufíriílimís y & Sapienriíhmis

В ON О NI EN S IS SENATVS

Q_y 1N Q_y AGIN г A V I R I S Dominis Colendiiïîmis..

F.; ST ЕР H A N VS ANGELI V E N E T V S Ord Jeíiiatorum S-H ieronymi, ac in Provincia

Venera Prouincialis Definitor P.P.P.

A Vïrtutïs eft rais ( illuftrifsimi էէ) Sapientijfmi *DD. ) , ac fölért ifim а indoles, ՛՜սէ ammumfuauiter imbuat r )Ъ dfaptinifq, '՜սէԽէւ temper amento per- optimo,iucunde componat,^ mfiruat.- I ¿)uod viuere efcorpori,id menti prę (łat

fare excellentes՝, nam f wint i Pronie- /Ы/м ¿owo rff, /ľ w

ter non excit ar et ur ad ajitam. Id docuit ¿pollinis lyra, quę Spidern quondam dulci f пл fat car mina reddentem. "vit ales

^didit a ur as, & ajocesyum in reliquisg' auitaretinantmis,, հէք imc tenderei in centrum . Explcet profperè plumas Medalu s, lungat humeras alas , fe f I՛ bref in aera, cafas fu~

&at crudehtatis deludens Ingenium ; animus were tunc petit libera , tum fapieniiœ adiumento fulcitur , fcientiarumf

» x. Acumme.

/

acumine euadit nuperus Tdjpnix , yt y ires fumat ad ten*

tanda fydera . T>emq-, uolitabit mens incuntfanter <1^

fudij artificium acce ferit, tdq; robar mutuabit a fcienti a ý qaod ab cArebytę сига retain ligne a ohm colamba , cai pennái fabrefacere ad uolatum, opi fie is fors fait, & elucubrado rualde diligens . It a esi ; fi uiuat corpas t at rade ext et in*՝

genium, minime dicendum, quod uiuat homo, qui foiam У է intelligat uiuit ,opufq¡ intelligentia exercendo ab animan-*

t ib as epterisfe cernit tir . Natura grefiam dat pedibus yt cif*

eumearfent per őrben։ s yerùm , ut mens eaebatar , uirtui efi, quœ capiii iungit adminn ala ; ideo Mercarias Scientist ram Namen , Pr p fes, ceruicem, at fi plantas ture implicat alts. E*go fi maxima debe mus natura, cuius ope mórit at І uiuimus, potiora fcientiœ inferibenda , quareiïe ,qua fa*

pien t er , yau ut dit er , decore, perenniter и taimas, fila nos incunabulis, y elüti careenfafeqs adfirittos, addicit;

bpcperennitati generóse fouet. fida ab utero in œrumnofiîft uitam j bpc inglória Capitolium educit . filia ladle, quofa*

ginamur infantes, ad t orrupiionem enutrit > hœc nos immoY*

t alit ati parit, ас po db amos f ruât , Illa demum parentibuS emancipat, (fi? Patrice ; bee c quid quidfumus Lycets, prœ*

ceptonbus mfcnbit ; Wfý; profite tur Achilles ,plur a deber է f hyr от, ab ammo ruditatem elimin amt , T bety*

di, corpus dédit ,Plygqfifi yndisloturn iPlibusexpofud moffenfùm. Bonoma Glorio fa dïudiorum Mater, quœ At be*

warum reparat ue tu fi atern, quœ fcientijs gymnafia difertif fima aper it,quœ pir t utifola itr uit է hr onum ? (pfr domiciliuffîj quœ postremo M pce nate s parat fapient ibas } ad Mat he fis me accendit Amorem, opportumtatemcontulit , Mrchimedemfi

exhibuity

exbibuit , Fxcellentiffimum vernie Bon лае ni ur am Cauale- flum, qui Geometria glor tamper fecit , b atufe e pre ciar tffimœ l 7 'bt չ auxit nttorem , left at arum c p tum ampli ff me decora - vit, Ղրէ priori Geometric arum dulcedinum lade , lueulent er nutrir er . Hauff quœ nunquam ad fat untat em deguflabo alimenta. De drum fdufirtfiimi , (if Sapientifimi DD.

pvrbanitatiienijfmœ, quœ Peg. eptorem Caualerium fouit tm- pense, z«r<? /3 flatuit difiipulus , quo fidenter de dit ¡film а Vo- bis hpc libe t attr amenta, quibus clar it at em ¡ungere y <~vt in- occtdua fplendefcant jveftrœ Nobilitatisfif laudis-, opus ent , de factnus prpfantijfimum. Tenuis munufuli inopiamcom- mendet qua promitur obfequentijfima <~uouentis deuotio, bps me 'vábi sna aide fpondet deumclum, hpc conflit iubet9

*Ղ)է tandem, for fan cumfpnore, reddam, qupiam Geometri*

ca ab hoc Lýcea iucundijfime e bibi rudiment a . Primitiarum titulis glanant ur hi labores , пат f centrum gr aud at is by.

perbolœ me primo fuifie perferutatum profiteor . Vos bine ell.

go (Nomina , quibus pquiffmedicem, Vos operis optime fa­

tuo Patronos. loannes della Faille , qui primus centrum gra- Utt atispartium circuit , Հջ 1 bd’pfis esi naci us , rvoluminis Sertie t m Pbilppi ¿Quart t Hfpamarum Potent fsim։ fegis , nomine , (f mat e Ft at e coronauit . ¿Quo gaudet communi ti­

tulo , bœc apellado prœclarfsimis Vins fe notait fre fier an ­ dam. Excipiatis bpc <՜ւ)օէձյ ideo à Vobis omnibus numer is Eximís , cum exiguafiut , & pené minima ^tuenda . Cœte- tum fi Palla lis ortum ditauit irrigue plueasauTum, Vos pari - ter Sapientifsimœ Vrbis Prœfides , qui f tdeo Mineruœ mu- bus impletis f zAflra ditent , ac profiere tnbuant ad gloriam fine fiere. Valete.

LE»

LECTORI

BENEVOLO.

Menie Iul i j exierunt è Typo- ii manibus quatuor noftrilibri circa Infinitas Parabolas verfantes.

Subicćtum equidem vêtus, quum de ipfo Caualerius ante an num 1640$

in problemate vltimo centurias fuo- rum problematu m ; & anno 1647. in cxercitatio- nibus geometrids; pertraftaueric. Sed circa illud,, non modica vcl totalster ab ipfo intaćta , vel pro«

prijs medijs o fien Га, & roborara , manifeftauimus»

Verum dum rertius itiorum fubpræfo eflet, fuccurrk modus centra grauitatís fiyperbolæreiufqu e partium՝

indagan di , fuppofica ramen ipfarum quadratura֊,.

Art tun c noftra intererar opus de infinitis parabolis quam primum abfoluere,- quapropter& incpiftola ad Morem, & in calcequartilibrrpollicitifamus,,

^argumentumillud, & traćłatumde infinitisfpira- hbus , fequ mti anno, explicare. Incçpimus conferi- pere propo.fi tiorres ad centrum grauitatis hyperbolae attinentes 5 qaando tot nouæ cognitioncs gçometri-

í <æoccurrerunt3 Vt nos coegêrint ( ňefcímusquo fa- to)fententiam mutare,ïmpullerintqueMifcellaneum præfensciti/fimê ederc , opufeufum de infinitis fpi- ľalibus ad aliud rompus referuances • Etenim nefei- nius an hoc primum futurum fit ill օրս m, quæforfan elaboraturi fumus. Modo namquephanraii am occu ­ pât argumentum quodam leuiter ab eximio Torri- cellio taćtum; circa quod, doćtrinas tum in Mifcel- laneo præfentî, turn in opere de infinitis parabolis expofitas, infequenres , arbitramur nobis licitum fo ­ re futurum explicare quamplurima noua , tam circa menfuram, quam circa centra grauitatis in fini to rum folidorum, infinitifquemodis variatorum . Accipe ergo , benígne Lećtor, in præfentiarum Mifcella- neum hocce, in quo quas principaliter enucleauimus doćtrinas , babes in eins fronte. Porro cupimusad- liioneri, nosin ipfo aliqua indiuifibilium methodo dumtaxatconfirmaffe. Namque illa omi tiendo , pu- tab imus, non modicè ingenium tuum labefaćtare.

Hand enim indiuifibilium methodo roboratis a fi en ­ fin, leuiterque circa regalem ilium aiguendi mod urn hx fita re, aliud procuídúbio non indicat , quam eins Vim, & energiám intimé, ас medulitûs minime per- cipi , Perlege ergo fcquentia fi tibí placet , & Vale.

Noi

Noi Reformatori delloStudiodi Padoa,

H Auen do offer u ato per fede del Padre Inquifitore non cfferui,nel Libro di Materie Matematiche del Pad.F.

Steffi no A ngeli del? Ordine de Gefuati, cofa contrarii alia Santa Fede, e parimente per atteRato del Se^reta- no noAro niente contro Prencipi , èbuoni coGumi, per- nictremo, che роШ eifere ílampato, douendo offer iiarfí p Ordmb&cffcrneprefentate due Copie,vnapeilaLí՛

brana di Padoa, e Faltra diqueíhCittà &c.

Dat. dal Magiftr.noftro li Հ. Ottóbre 1659,

j i

Nicolò Sagredo • ' ■ v V ». \ Cau. Proc. Re£

Ajenante Angelo Bonini Seg r.

h;JíB v. t 6 "í¡ LL • :

■ *' Ճ. i /.. țj : ՛Լ . 4 I ' ■ (<

miscellanevm

HYPERBOLIC VM,

PARABOLICVMQVE.

ÆCVNDITAS trium propofi- tionum initio térti/ libri eorum , quos de infinitis confcripfimus pa- rabolis,explicatarum, luculenter ex pronunciatis ijfdem in libris fuit omnibus patefaćta . Hæc autem., elucefcet magis , magifque perluftrantibus in præ- fenti libro à nobis aperienda. Centra grauitatis cir ­ culi, & Ellipfis, aliquarumque ipforum partium ad holtra témpora vfque incognita fuere - No it го dum- taxat feculo Ioannes della Failla, Guldinus, alijque hæc detexere. Hæc & nos manifeilauimus in 3. &

Ն præcitatis libris, atmethodo ab omnibus diuer- fa . Aft hæc centrainquirerentur fruftra nifi circuli

Quadratura fupponeretiir. Semidiameter etenim ad interceptam inter centrum circuli , & centrum gra- hitatis fe<ftoris eiufdem earn dicitur habere ratio­

hem, quæ inter partem circumferential, redla m que

A lineam

Uneam cădit. Ratio vero inter rećhim, &cuľUUttt exprimcnda > femora circuli quadratura, habetur forman ? Nequáquam . Jgitur prædi&a centra mi*

nimereperirentur, nifi circuli quadratura iùppone- retur . Tres in geometria extant iníignes figura?, quarum defideratur quadratura, Circulus, Ellipfis, âc Hyperbola . Circuli & Ellipßs, ас eorum partium ( f uppofita tálium figurarum quadratura) centra sra*

means reporta fuere; cur non criam ipfius hypeŕbo*

læ? Centrum grauitatis hyperbolae Tub filentiore*

hnquere quocquoc de centro grauitatis figurantmi fenpfere. Saltern nefeimus aliquem de ipfo verba rec iile . Imò Guldinus lib. pri, centrobarycæin cal­

ce pag. 9. liberé pronunciar. Dee (i boc loco hyperbola, Curabimus ergo nos, hoc centrum, feùpotiushæccentra,ma*

nifeftare, at non nifi hyperbolæiuppofita quad ratu՛

ra^ in primifque oftendemusinqua linea diámetro ' parallela fit centrum grauitatisfemihyperbolæ. Aft quoniamlioc mquirimus mediaratione,quam ha­

bet cylindru: conoidi hyperbolico circumfcriptus, ad lplum conoides j licet hanc nos docuerit Archi- rnedes lib. de conoid. & fphæroid. propofit.17. atta՛

men & nos prias hanc affignabimus pluribus mo- diSjintcrfeque diuerfis, ac nunquam excogitatis ; Ճ hoceohbentius, quia data occafione, aliquanoua geometrica exponemus. Sit ergo.

I ՝ _ . V

PROPOSITIO PRIMA.

w circa diametrum hyperbolae fît eťtam parabola it a diui~

dens bafîim hyperbolae , <~vt quadratwn fîemibafîs , fît ad quadraturn fîemibafîs parabolae, «-ut cornpofîta ex latere tranfîwrfîo hyperbola , Հջ* ex diámetro, ad tranfîuerfînm latus. Tota parabola cadet intra hyperbolám.

T Res fequen*es propofit. probantur feré i j idem terminas à Luca Valerio in append, ad lib.5.

de cent grauir. propofit, pri. & 2. Eito ergo hyper­

bola ABC, cuius latus tranfuerfum GB, diame ­ ter BD, circaquamlite:ianiparabola EBE, ßc (ecans A С y vc quadratum AD, fit ad quadra ­ turn DE, vt D G , ad GB- Dico rotam para ­ bolám EBE, cădere intra hyperbolám. Accipia- tur arbitrarle punćtum L, per quodducatur ordi-

Hatim applicata H K L. Quoniam ex propofit. % 1.

prim- conic, quadratum HL, eft ad quadratùnu AD, vt rećłangulum G LB, ad rećtangulum-.

G D В; & exhypotheii, eft quadratum AD, ad quadratum DE, vt DG, ad GB; nempeium- Pta .communi altitudine DB, vt :eiłangulum_.

D В , ad reda ngulu m G B D. Ergo ex aqiiali , e rit quadratum HL, ad quadratum E D, vtre-

^angulum GL В, ad reítangulum GBD. Rur- քԱ սւ; quoniani in parabola eft ex propofit. 20 lib.

Щquadratum ED, adquadratum KL, vt DB,

A 2 ad

PRO-

I

ad BL, nempe fumpta communi altitudine G B\

vt redar gulum DBG, ad redangulum LBG.

Ergo exæquali, érit quadratum HL, ad quadra- tum KL, vt rcdangulum G L B, ad redan gu I ат GBL. At rcćłan gu lu m GLB, maius eft redan- gulo GBL. Ergo etiam quadratum HL, maius ent .quadra to K Լ. Sed pundum L, fumptum eft arbitiarié . Ergo omnes linca? ordinatim applica­

tion pa abola crunt minores fingulis ordinatim ap- giicaus iu hyperbola, Quare pacet propofitum.

PRO-

PROPOSITIO IL

ճէ quatuor magnitudmumfit prima, ad fecundamtft tenia՝

ad quart am i fît que ablata pars prima, ad ablatam par~

tem fecunda՝ ablata pars tertia ad ablatam partem quarta՝,et fîntpartes prima proportionales partibus fecun­

da . Erit reliqua pars prima ad reliquat» partem fecun ­ da , rut reliqua pars tertia ad reliquat»partem quarta ѵ

S IT vt prima д А В> ad fe- [-

К В

__ í) 1

EC M J F

լ --- --- —] ---1

G N H

[--- J --- 1 cunda m C D,fic

tertia E F, ad quartam G H;

fitque k B , ad L D, vt MF, ad

N H: pariter fit vt Ak, ad k B, fie EM, ad MF.

t>ico etiam A K , e fie ad C L, vt E M , ad G N.

Qtioniam ex hyporhefi componendo , eft AB, ad Bk, vt EF, ad F M, & vt kB, ad L D, fie MF, a d N H j ergo exæquali, vt AB, ad L D , fie EF, ad NH. At pariter eft vt A В , ad rotam C D , fic EP, adtotam GH. Ergo& AB, eric ad reliquam C Ly vt E F, ad reliquam G N. Rurfum, quoniam conuertendo , eft В К, ad к A , vt F M, ad M E • Brgo componendo, & conuertendo, er it Ak,ad AB, xt EM, ad £F. Eratautem vt AB, ad CL, fic EF.ad

G N.

*s

•Ռ

lum G BD, ad quadratum BD).’ Erga ex pr<>

pofit, anteced. erit & vt reliquum reÂangulutn- ĄE C, adreliquum reâangulum HkO, vtreli- quum quadratum DB> ad reliquum quadrature

Ճ L. Qupd &c.

PROPOSITIO IV.

Si ex figuris antecedentium propofitionum intelliganturge­

nerări conoidea , in quibus infiribentur coni fiiper ijf- dem bafibus , Հջ* circa eandem diametrum • Differen ­ tia conoidear um tam fècundum է ot um f quam fecundum

partes 6

GN.Ergoexæquali, erit Ak, adCL„vt EM,ad GN. Qupd&c.

PROPOSITIO III.

■Wli> Шет epe ¡„primapnpofu.exceffm padmtorum eramalm apphcatarum m hyperbola fiprapadrataor- dmatim apphcatarum tnparabola, crunt admuicem, <vt quadrat a partium diametri intercept arum inter ip fas &

fvertteem figur arum.

I N codem fcfiemate,fint ordmatim applicatæ ad diametrum AEDC, HKLO. Dico excef- ium quadrau AD , fiipra quadratum E D , e lTe adexceffumquadrati HL, fiipra quadratum kL, v ț quadrature DB, ad quadrature BL. Quo . mare en:m quadrature totum A Dy eft ad torem quadrature HL , vt totum rećłangulum GD В.

adtommrcAangiilum GEB: &ablatumquadraw

««

-

ľum HkoT adrMl,m Դ ad ab btumreaang U- A D , (quucumexhypothefi, fit quadratum

’ ad quadratum D e , vt DG , ad G B í

lum

i

partes proportionales , érit лnolis differentia cono*

тит. .

vt

S Ed ex hyperbola ABC , & parabola EB F»

intelligantur gcnita conoidea , in quibus fine infcripti pariter coni ABC, EBE. Dico diffe- rentiam conoideorum , nempe exceíTum conoidis hyperbolici fupra conoides parabolicum , æqualem fore differentiæ conorum . §timatur in diámetro BD, arbitrario pundmni L, perquod agaturpla- nuna НО, piano AC , paraílelum , fecans ora- niadićła fotida, Vt infchemate« Quoniam enim vt quadratura DB, ad quadratura BL, fie eft tam quadraturatotius AD, ad quadraturatotius PL, quam ablatum quadratura ED, ad ablatum qua ­ dratura ML: & quadratura DE, eft ad rećłan-

gulum A EC, vt quadratura LM, adrećłangu- lum PMR ( quia proportiones borúra quadra- torum ad haęcf rećłangula componuntur ex ij ídem proportionnas, vt facile quilibet modicè in geo­

metria expertas poteftagnofeere). Ergo ex propoí.

շ.érit vt quadratura DB, ad quadratura BL, fie rećłangulum AEC, adrećłangulum PMR. Sed etiam expropofit.antee, eft.vt quadratura DB, ad quadratura BL, fierećłangulum AEC, adrećłan- gulum HkO. Ergo vt rećłangulum A EC, ad re ­ cta ngul um PMR, fie idem rećłangulum AEC, ad rećłangulum HkO. Ergo rećłangulum PMR, érit æqualerećtangulo HkO. Quare etiamarmiile

circii-

HrcuJaris PMR > érit æqualis armillæ circulari HkO. Cum verô punćtum L, fumptum fit árbi- tr ariè » fequitur omnes armillas differentiæ cono- г Чпз, æquales efie omnibus armillis differentiae co-

^oideorum . Ergo & differentia conorum ericæqua-

‘ is differentiae conoideorum.

Sicuti autem probatum eft toras illas differentias Squales efie , fie probări poteft quaslibet ipfarum Partes proportionales item fore æquales. v. g. fi in-

^ligaturdućtum planum HO, probări potefteo- ûetîi modo t partem differentia conoideorum con-

B tentam

tcntaminterplanaHO, AQzgiialem eßeparciJiß rerent!çconorum inter eadem plana content^ quod ctim ht desècuídense omittitur. Patct ergo diffe- rentias conoideorum & conorum , æquales effe inter ie , tam fecundam totum , quam fecundam partes proportionates- Quod &c. v

s C H O L I v M I.

Non țurbetur autem lećfor videns præfentem^

propofitionem probări per indiuifibilium metho- dum, imo admireçurexcellentiam, & vniuerfalita- tem rllius methodi veritatem prodièntis etiam illis modis, quibus acquit manifeftari methodoantiquo- lum. Nam infupenon conftruâione nefcimus an methodusgntiquoiumpoditadhiberi , quiaindiffe- rentqsprædiSis nequcunt infcribi cylindri. Quid ergo^ondufiodemonftrata falfa érit, quia peíľn-

rum, fed alia præparanone adhibita , vr patebit fuo JOCO «*

s c H o LIV M II

?

ßrinnp 3 ^te ^Uain Ո -°*Տ exPe(í,amus á prüfend prono՜

Ճ

ՃՃ

mhmtis parabohs poflumus erucre. Cumenime*

ceíítis

-I 3.Ï

ceflus fæpe didi fint equates inter fe tam fecundum րօէսւո, quam fecundum partes proportionales, íe- Hnitur confequentcr iuxtadodrinam præcit.4. lib- c ÍIc quantitates proportionaliter analogas tam fe- c Undum magnitudinem, quam fecundum grauita-

. Quare ex propofit. 1 eiufdem libri, centra

§rauiratishorumexcefluum fecabunc BD, codent Paćio, Cum ergo centrum grauitatis differentiæ co-

^Urum, quod fit v. g» l,ficfecet BDy vt BL, fit tripla LD ( nam idem eft centrum grauitatisex- Wusprædi&i,& conorum ABC, EBB). Ergo

֊ ', -՛ ՝՜՜ в շ etiam

x г

etiani centrum grauitatis differéuæ conoideorum fíe fecabit B D, in L, vt BL, fie tripla LD. Imo cum traiecto quolibet piano HO, parallelo AC, pars difFerentiæ conoideorum contenta inter plana H O, AC, fit proportionaliter analoga cum parte diffe ­ rentiae conorum contenta inter eadem plana; & cuni in illolib.4. pluribus modis fit afli gn a turn centru grauitatis prædictæ partis difFerentiæ conorum,quia centrum grauitatis illius fie diuidit LD, fi cuti ip- famdiuidit centrum grauitatis fruftorum conorum

EMNF, AP RC, vt confideranci patebit : fequi- turetiam pluribus modis haberi centrum grauitatis differentia: conoideorum contentas inter plana HO, A C. Notçtur etiam nos in hoc opere citaturos ef' fe antecedentia huius operis , & propoi. librorum noftrorum deinfinitis parabolas . Dum ergo citabi- înus propof. huius operisdicemus, ex tali propofir- vel ex fchol. talis propofit. Dtim vero citabimus li ­ bros de infinitis parabolis, dicemus ex prop, tali libri eeilis. v. g, ex propof.4. lib. s-intelligendo Temper

noltri operis.

.Չ1

Ո' Հ J

PROPOSITION

Cylindrus circumfcriptus conoid։ hyperbolico eß ad ipfoffh՝

т; comporta ex axl , feu diámetro > & ex lat ere ։r an f uerfoconoidis fid dimtdittm lateris tranfuerfi^vna ШШ farte. *xh feù. diametri „ ֊

(Ч ai

ճ Intel-

I Ntelligantur omnia folida antecedents propos fit. & ipfis conoidibus fint circumfcripti cylindri QC, T F. Qüpniam conoides hyperbolicum con- ftatex differentia conoideorum , & ex conoide para­

bólico j & differentia conoideorum eft æqualis dif- ferentiæ conorum» ergo ratio cylindri QC, ad co­

noides A ß C , érit eadem cum radoné eiufdem cy­

lindri ad differentiam conorum , & ad conoides pa- rabolicum E BF. At ratio cylindri QC> ad dif- íerentiam conorum efí eadem cumratjone quadrat!

A ti , ad tertiam partem rectanguli AEC, vtcon-

šdéranti patebit $ quia cum fit ad conum AB C, vt

Տր-

I! ■

՜

¡Je yžpff ճձ , exceßus conoidis hyperbolic։ fupra сопит ßbi infcriptum eSł squills exce flin conoidis pa­

rabolic։ lili mßripti fupra сопит illi infcriptum , tam fecunduln f tum , quam fecundum partes propertio-

nales.

Q Vantum ad totos exce flus fie patebit . Cum enim expropofit. 4. exceflus conoideorum fit Juab's excefíui conorum > fi communis auferatur illa pars, quæ eeneratur ex reuolutione trilinei mixti

4 ° AOE,

quadratum AD, ad terpiam partem fui ; & ad СО- num EB F, vt idem quadraram AD, ad terciám partem quadrat! ED; fequitureffe ad differenciám conorumvtidem quadratum AD, ad tertiam par­

tem differentia; quadratorum AD, DE,- nempe ad tertiam partem rectanguli A EC. Cumverpex hypothefi, fit quadratum A D, ad quadratum E D, vt DG, ad GB; ergo per conueríionem rationis , érit quadratum AD, adrectangulum A EC, ve GD, ad DB. Et quadratum aD , érit ad tér*

uam partem rectanguli AEG, vt Gb, ad ter­

tiam partem DB. Quareetiamcylindrus QC, érit ad oifferentiam conorum, & confequenter ad diffe*

rentiam conoideo rum, vt G D , ad tertiam partein DB. Pariter ratio cylindri QC, ad conoides EB F, eft eadem cum racione quadraci AD, addímidium quadrati E D. Quia cum íi t ad cylindrum TF, vt quadratum Л D, ad quadratum E D; & cum co­

noides E B F, fit dimidium cylindri T F , vt fæpe probatum eft innoftm lib. de infinit, parab. Ergo cylindrus QC, érit ad coroides E B F , vt quadra ­ tum AD, ad dimidiam quadrat։ ED; nempe ex hypothefi, Vt D G, ad dimidiam GB. p,go colli- gendoconfequentia, éritcylindrus QC, ad conoi­

des , & ad'difi’erentiam conoideorum , nempe ad co^

noides hypeibolicum ABC, vt GD, ad dimi ­ diam G զ, cum cértiaparte BD. Quod eratoffen-

dendunK,. - ■

PRO-

Г)

AO E, & communis addatur pars gen ira ex figure contenta а rcóła > & curda О В , patebit рropo՛

fitum_.. -

. Quantum veró ad partes proportionales, non érit diíhmilis demonftratio abantecedenti , addendo, &

au férendő partes communes fecundum quod pia- ոսպ íecans parallelum piano AC , 7 tranfit vel per puncta O,I ? vel fuprà, velinfrà ipfa . Qua՛

re &c. ՚

s C H O L I v M.

‘ * Z

Հ t • i ¿ .4

Ergo exceíTus prædidti conoideorum Гиpra íuo$

conos crunt quantitates proportionaliter analoge, tam in magnitudine, quam în grauitate. Cum er ­ go e, ceps conoidisparabolici EB F, ftŕbra fdum conum fitdimidium talis coni, quia conoides eft fef- quialterumconŕ. etÄ^excemBíčónoidishr pcrbolia ABC, fuprafuumconum éritdimidiui»

com wfcripti in conoide EBF. Quare cylindrus , qui eit ad conum infcriptum in conoide para- olico, vcquadratuju A D , ad tertiam partem qua- dratí EDycritadexceftumconoidis ABC, fupra conum A В C, vt idem quad rat urn AD, adfextam partemquadrati DE, Quodnotetur.

9 voniam exceftus prædnfti fun t magnitud!՞

lushbet talirnnexcefluum. Cum ergo punćtum me-

k diutn

dium ipfius B D, fit centrum grauitatis exceíTus co- tioidis parabolici EBF, fupra conum EBF; fe- Suitur etiam centrum grauitatis exceíTus conoidis A.BC, fupra fuum conum efle in medio. ipfi us

Quod vero centrum grauitatis exceíTus conoidis Parabolici EBF, fupra fuum conum fit medium PUnáum ipfius BD, patet . Quia P, centrum

^auiratis conoidis diuidit BD , vt BP, fit ad , vt 2., ad ï , feu vt 8. ad 4. veto cen- tr um grauitatisconi diuidit BD, fie,vt B N, fit NÒ, vt 3. ad i. feu vt 5. ad 3. Ergo qualium

C BD,

BD, eft iz, tálium P N, erit i. Cum vero fi fiat vrexcefius conoidis fupra conum ad conum, nem*

pe vt i, ad շ, fie reciproce NP, ad PM, fit M?

centrum grauitatis exceflusprædiâi. Sequitur qua՛

lium BD, erat n, PN, ï, &BP, 8, tálium P M, eile в м, ď« Quare patetpropoficum.

PROPOSITIO VII.

Qyhndrus circumfcriptus conoidi hyperboheo efl ad ipfitm,

‘՜սէ comporta ex axi y feu diámetro, Հտ* ex latere tran՜

fiierfò conoidis, ad dimidiam lateris tradißferß, <-yna cum tertiaparte axis ßeu diametri.

P Ropofitio ergo quinta probatur alio modo. Sint íolida prædiefta, &c. Dicocylindnim Q C, efi fe ad conoides hyperbolicum ABC, vt G D, ad dimidiam GB, cum tertia parte DB. Cum en i m conoides ABC, diuidatur in conum ABC, & in exceifumipfius fupra ipfum; fequitur QC, cylin*

drum eße ad conoides ABC, vt eft etiam ad co­

num ABC, & ad cxcefllim conoidis fupra conum*

Cylindrus QC, eft ad conum ABC, vt quadra*

turn AD, ad fui tertiam partem : & ex fchol. ant*

eft ad exceffum conoidis ABC, fupra fuum co*

num vt quadratum A D, ad fextam partem quadra*

ťi D E . Ergo colligendo ambo confequentia, eric Q C, ad co num, & ad exccifum, nempe ad conoides ABC, vt quadratum AD, ad fui tertiam partem>

vna

vna cum fexta parte quadrat! E D . Cum autem ex hypothefi>fit vt quadratum AD, ad quadratum Dß, fie DG, ad GB; érit&vt quadratum AD, ad fui tertiam partem,cum íextapat tequadrati E D>

fie G D, ad fui tertiam partem cum fexta parttá Gß. Ergo eťiam cylindrus QC, érit ad conoides ABc, vt DG, ad fui tertiam partem (nempe ad Martiam partem ipfarum GB, B D ) у na cum fexta Parte GB- Attertiapars GB, vnacum fexta par- eiufdem facit dimidiam GB. Ergo QC, érit M conoides hyperbolicum ABC , vt GD , ad

С л dimi-

dimidiam GB, cum tertia parte BD. QuodетМ oflendendum .

PROPOSITIO VIII.

COW fwwf с/гс^/сгА-

¿4Г*Г су Way , О d/Cfr ;%/?r/6aŕ%r, cwmf ¿d/% WP

%wr ^/r«№ , (gr &ŕŕf4 rr4;c^\gr«/roww,՜

dHWCdHPftçr rz/ÿwc C0%C4%%# C«W C#4Wffro .

fy/w^xc«? , C^ CXCC^J Cy/w¿/ri С/ГС«^ф//&йГ4 /«/ŕrýfww , cr/ŕ cxcfýGw /г»Яі /&ргд fK/cr/pŕ«w, orf сд%%)о/н%& су ^wcfrj M, 6ť fx wrcrccpr^ wrcr wworcw Ад /íw, (gr fwaYȘȚ*;* c^c^ ¿i/crww frafcą# , 4^cowpo/%4w #

tau intercepta, Հշ* ex tertia parte diametri fraßt л

F Riifto coni ABCD, cuius diameter ET, 8c oppofita planaparalleh ad inuicem fint ВС, AD, circii-DÍciibarur cylindrus GD, & inferi- bacur НС; & latera. AB, DC, producanturvf- qjcdiimoccurrant TE, produ&æ in I. Dico tu-

Я CD, efle ad exceffum fallt ABCD, fiipracylindrum BL, nempeadfolidum gcnitum ex triangulo ABH, reuolurocirca ET, nepmpofitaex TE,&exdupla IE,ad IRvna cumtertia parte ТЕ. Cum cnim cylindrus G D, litad су Endrém BL, vtquadratum AT, adqua- dratum^ ГЦ, feù BE; nempe vt quadratum TI, aaquadratum IE. Ergo & perconucrfioneratio'

nis,crit GD, ad tubum GHCD, vt quadratum IT,adexceflumipfiusfupraquadratum IE; nem ­ pe ad. duplum rećtangulum I ET, cum quadrate TE; nempe ad reâangulumfubcompofita ex dupla IE, & ET, & fub ET. Quare & conuertendo, érit tubus GH K, ad GD, vtprædictum rećłan- gulum adquadratum IT. Cylindrus GD, eft ex dićłis in fchol. 2. propofit. 15- lib. л. ad fruftum-»

A BCD, vt tripla TI, ad T 1,1E , & harum ter- tiam minorem proportionalem ; nempe ducendo has in IT, vt triplum quadratum IT, ad quadratum lT 3 re£tangulum TIE, & rećtangulum fub TI, 8c

fub

2 2

fub tenia proporționali ( quod rećtangulum eft ճ*

quale quadrato IE): nempe fubcriplando términos?

eft GD, ad A BCD, vtquadratum Tl, ad ter- tiam partem quadratorum TI, IE, & retianguli Tl E, quæ tertiapars eft æqualis quadrato IE re­

ctángulo I E T, & tertiæ parti quadrati TE. Ac idem cylindres GD, eft ad cylindrum BL, vc quadratum AT, ad quadratum HT, feù BE; hoc eft vt quadratum TJ, ad quadratum I E. Ergo

idem cylmdrus G D, erit ad excclftim frufti A BCD, fupra cylindrum BL, vt quadratum Tl, ad re- ćhngulum 1 E T, vna cum tertia parte quadrati

* E ; nempe vna cum rećtangulo contento fub I E , & fijb^ tertia parte T E . Aft erat fupra-*

tubus GH K, adeylindrum G D, vtre&angulum fub comporta ex dupla lE,&ex ET, & fub TE, ad quadratum JT. Ergo ex æquali , érit tubus GHk, ad exceßum frufti A BC D , fupracylindrom BL, vt præditium rećbngtdnm, ad redangulum ï ET, vnatumreaangulofùb TE,&fubterria'parteET.

Qpa di-0 rcüj angula cum fint idem ac rećtan^uJum kibçompoüiaex IE, &extertiaparte ET, & fub

IE. Sequitur G H k, cfie ad exceifum prædidtum, vt rećtangukim fub comporta ex dupla" IE, & ex ЪГ, &ftib Ei, ad retiangubm fub eadem ET, bć lub compofita ex I E, & ex tertia parte ET; nem- Fproptercommunehtus ET, vt compofita ex da- , 9 д Х 1 IE? cum tertia parte ET.

4uod eras oftendendum.

= 3

PROPOSITIO IX.

Si rebía A В, fit fiel a bifariam in C, m Z), S, <e^«e remote a C, (çfr ¡writer in F, G, ¿que remote à (fi fit- que reiiangulum AFTB^ tequalequadrate T) Շ . Erit etiam reföangulum ADB , œ quale quadrato F C.

C Vm enim reåangulum AFB, diuidatur inre- ćtangulumfub AF, in D B, & in rećtangulum A FD, ncmpein rećtatigulum fub FD, in G B. Er ­ go rećtangula AF, DB; FD, GB, erant æqualia quadrato DC, Quare addito communi rećtangu-

|o FDG. Ergo rectángula AF,DB;FD, GB;

A F DC E G В

]֊— г--- J--- ł ---J---J FDG, eruntæqualiaquadrato DC, &rećtangub

$DG; nempequadrato F C . Atrećtangula FDG,

& F D, GB, faciunt rećtangulum F D B. Quod cum

%angulo AF , DB , facit rećtangulum ADB.

Quare etiam rećtangulum ADB, eritæquale qua ­ drato F C . Quod &c.

PROPOSITIO X.

Si conoides hy perbált cum înciudat ur intra fir и fiúm с om cum habens oppòfitas bafes par alíelas, g/ latera trapezfi geni- torts frusli fint partes afymptoton hyperbola gemtricis

conoi-

PRO-

cono idis ; intraque frußum conicii»։, ßspra minori b*՜

ß ipßus inßribatur cylindres. Erit exceßus frußi coni'- ci ßupr а су lindrum ßbi mßriptum œqualis conoidi hy - pet bolico , iam feeundumtotum quam fecundum partit

proportionals, r

C onoideshyperbolicum ABC, cuius diame­

ter DB, latus rranfuerfum E B, centrum F, afymptoti hyperbola: genitriçis FG, FH, intelli- gatur inclufumintrafruftumconicum GIKH cu- iusoppofita plana parallel» fint lk, GH, & ininfo fit jnfcrtptus cylindru: IM. Dico excefium friifti ,r . ^À fUpr3с У 11П(,гит IM, æqualemeffeconoi- di ABC, tarn fecundum totum, quam fecundurn>

partes proportionales. Sumatur enim in diámetro arhtrane punctum О, per quod agaturplanunu.

*?, 1 ’ GH> parallel urn, fecansomniafolida, vtin lchemate. Quoniam enim quadratnm N О eftx- quale ram rectángulo N QP, cum quadrato OOt quam rectángulo NRP, cumquadrato RO. Ergo rectangulum NQP, cum quadrato QO, erit $- quale rectángulo NRP, cum quadrato RO. At ex *. eomc. propofit.ro. rectangulum NQP, efts- qualcquadrato IB, feuquadrato RO. Ergoreli- quum rectangulum NRP, erit æqualequadrato QO. Quare etiara armilia circularis NRP, erit s- oííťŕhkrľ“10 Գ1 ՜' Pllnctl™autemO, fumptum

• rle’ Çtgoomnes Armilia: genitæ ex reuo- lutione trianguh GIL, circa вD, „unt guales

omni-

^nîbus circulis conoidis ABC, AC, parallells.

^r go & íolidum genitum ex triangulo, nempe ex- MTusfruftí GlKHj fupra cylindrum i M, erit l ^ualis ipfi conoidi ABC. Quod veróoflenfum de totis i(lis foliáis , probaretur etiam de partibus

^oportionalibus; quiaeodem modo probaretur v.

partem exceíTus contentam inter plana NP, , æqualem eße frudo b y perből i co A QT C . xl*re pacct prædicU folida rroualia eile ram fecun֊

D dum

16

d»m coturn , quam fecund um partes proportiona­

les . Quod &c.

SCHOLIVMI

Licet hæc propofitio oftenfa fit per indiuifibilia, poteft tarnen probări modo Archimedeo. Cum e- nimprobatum fit armillam circularem N R P, s- qualem eíTe circulo Q Г, etiam ( fi inícribantur ) tubus cylindricus N L P, infcripcusin excefiu frufti coni fupra cylindrum, érit æqualis су lindro Q V, inícripto in conoide . Si ergo diuidatur B D , in quibuícunque punćłis , & per hæc agancur piana vc fupra,& fiant tubi,& cylindri modo antediâo, fa­

cile patebit omnes tubos cylindricos inscriptos in excefiu frufticoni fupracylindrum, asquales fore-*

omnibus cylindrisin conoide infcripris . Quare Æ hæc d iui fi о fiat per continuam biflećłionem D В » partiumqiie eiufdem ; quia cam in excefiu frufti fu­

pra cylindrum, quam in conoide infcribemus folida ab ipfis deficientibus defećtu minori quacunque data magnitudine; tandem concludemus excefiu in prædi(ftum , & conoides e fie magnitudines æqua- les. Hæc autem viris Euclideis , Archimedeifque funtnimisobui^,.

SCHOLIVM IL

Poteft ergo confequenter adfuperius fæpe dićhw dedud

deduci ex his , excefium prædidtum , & conoides hyi perbolieum , elfe quantitates proportionalitcr ana ­ logas tam in magnitudine, quam ingrauitate, tam

feeundum rotum, quam fecundam partes proportio­

nales . Vnde fi aliquo pado inuenietur centrum^

^rauitatis , vel totius exceffus prædi&i , vel partise­

ts in B D; idem crit centrumgrauitatis contáis

^yperbolici ABC, vel fegmenti eiufd^ m 9

^ďem intelligatur c contra «

--- ՀՀ --«Օ>

ճ ž

S

-

23 2$

SCHOL I VM m.

Galileas in poítremis dialogis pag. apud nos > շ&յ՝

oftenditparadoxum quodam 5 nimirum, circuli cir՛

eumferentiam axpialem elfepunćto. Vt hoc often- dat vtitur exceflu cylindri fu pra hemifphærium , &

cono, vt ibidem poteft сопфіеі. Sed ficuti vfiis fuie ехсеЛи cylindri fiipra Jremi^hznum , ficetiampo- terat vti exccíTu cylindri fupra hemifphæroidcs ; ea*

oem cnim fuiflet demon ftrario. Paradoxom Galilei oitendmius & nos in appendice noAri libelli Ibxa- ginta problcmatum geometricorum, adhibendo eX- ceflum cylindri fupra conoides parabolicii m, & ip- wm conoides. Hoc idem paradoxain facile ex pr£- lentipropofir. patcbitconfirmări pofle ,adliibcndo exceftum prædiâum fruftíconi GIKH, fupraeV- lindrum IM Հ& conoiďes hyperbolicum ABC.

robatum eft enim , vbicunque traiciatur planum N > piano G H , paral lel աո , femper armillam NRP, aqualemefl^irculo QTpficutiquamli՛

bet partem exceíTus æquaiem elfe proporționali par՛

V ԼՕՈՕՀ- Cum ergo exccflu S prædidus dc float in circuií.erentia circuli cuius diameter Ik, fi cue*

cpnoide-s définit in pundo B; videturergocollig*

^rcumferentiam äqualem е/Ге vertici В,

■ f

PROPOSITIO XL

Cylmdrus circumfcriptus conoidi hiperbólico eß ad ipfum , nsi comporta ex axt 3 fèu diámetro > & ex latere tranjù uerfo conoidis , ad dimidium lateas tranßierß rnjna cum

vertía parte axis , fiu diametri.

GOnoidi hyperbolïeo А В Су cuius diameter՛

; DB» latus traníuerfum E B- íitcircumícrí-

№

3°

ptuscylindrus OC. Dico hune efle adilludvt ED, ad dimidiam EB, cam tertia parte В D. Sic F>

centrum hyperbolas gcnitricis, & FG, FH fint eins afymprori, & per B, fit dueta IB, parallel GD 5 intelbgatnufque ex reuoluțione trapezij fi. í circar B P՛ genitum efie fruftum coni cum pl KH, CUI litcircumfcriptuscylinders NH, &

infcriptus IM. Quoniam linea GH, diuifa eft fe­

cundam condiciones propofit. p. nam ex propofit-

<o. շ. conic, reccangulum G AH, eft æqualequa- drato IB, uùquadrato LD. Ergo reccangulum GLH, ene squale quadrato AD. Ergoetiamar- millacircularis GLH, quæeft bafis tubi cylindrici NLP, er it squalls circulo AC, bafi cylindri ОС Cum ergo ex propofit anteced. exceífus frufti cont G 1 k H, fupra cylindrom Ш, fitæqualis conoidi hyperboheo ABC. Ergo tubus cylindricus NLP, ad ilium exccíTum ,& cylindrus OC, ad conoides eruntineadem ratione. At expropofit. 8. tubuseft adexcí fTum vt ED, ad FB, cumrertia parte DB՛

Qua re paret propofitum.

Often fa ergo proportions cylindri circumferipd ' con cid։ hyperbolico ad ipfum , facile docebimus iß qua línea diámetro parallela fit centrom grauitatis icmihypeibolæ. Sic ergo.

PRO-

PROPOSITIO ХИ.

՛% fitâ «՜սէ Jemihyperbola ad dimidium par alíelo gr ammi fibt circumfiriptî , fie corneo fit a ex fie mi lat ere tranfiùerfio hy ­ perbola tenia parte axis eiufidem, ad aliam : dein- de fiat rut compofita ex latere էր an finer fio Շր* ex axi , ad muent ат, fie bafis fiemihyperbola ad fiii partem abficin- dendam incipiendo ab axi. fientrum grauitatisfièmihy- perbola erit in linea per punc?urn ducia axi parallela .

E S ^to hyperbola ABC, cùius axis BE,* centrum G; latus tranfuerfum F В,- parallelogrammám

^i circumferiptum fit DC,- fitque Вн, tertia pars

& E ; & fiat vt AB E, ad dimidium DE, fie GH»

Ekj & pariter fiat vt FE, ad Ek, fie AE, ad El > aeper L, ducatur LM, parallela BE. Dico

ML, elle centrum grauitatis ferai hyperbolae AB £ . lntelligarmis DE, cum fem ¡hyperbola^

&B E, rotari circa B E. Quoniam ex propofit- 5. 7, t i.cylindrus DC, eft ad conoides ABC, vc E, ad G H; & ratio FE, ad GH (de foris fumpu y k) componiturex rationibus F E , ad E к , & hu- l 4s ad GH. Ergo etiam ratio cylindri ad conoides c°tnponetiir ex ijfdem rationibus. Sed ex fchol. 1.

^opofit. 3. lib. 3. ratio cylindri ad conoides compo-

^tur etiam ex ratione dimidij DE, ad ABE, & ex

^tione A E, ad interceptam inter EB, & centrum

^4udibrij ABE, feù grauitatis duplicatæ A BE,

ad

S C H O L I V M.

Tria autem , quæ соііейа Tunt in quampîurîmis propofitionibuslibe). colligentur et iam nunc. Nam primó > tam füper D E, quam fupra ABE, incelle-

^iscylindricis rećtis æquealtis refećłis diag^naliter plano țranfeunte per EB ; & per latus oppofitum ip- fi DA, colligenturcubationesamborumtruncorum cylindrici fuper femihyperbola exiftentis, cum hac tarnen diuerfitace ; quod cubatio trunci finiftri dabi- tur fern ota hyperbolæ quadratura; quia fine tali qua­

dratura datur ratio DC, cylindri ad conoides ABC; fecùsdicendumde cubatione trunci dexte- ri> quæ non habetur nifi fuppofita quadratura. Se- rundum eft ( quadratura fuppofita ) ratio cylindri ex ÖE, circa DA, adannulum ftridumexiemihyper- bola ABE, circa DA . Tertium eft ratio conoi- dis , & prsedićb folidi ad inuiccm, pariter fuppofita

Quadratura.

Sed antequam vkerius progrediamur ,ficutiplu- fibus modis patefacfta eft ratio cylindri circumfcri- Pd ad conoides,fie non érit inutile ailignare centrum

^auitatisconoidis. Sit ergo.

PROPOSITIO XIII.

Outrun։ gr nuit aiis conoitfis hiperbolici ßc diuidit d uo d e tintam partem diametri ewfdem ordine quart am a ba- , Ví

dimidium DE, ad ABE, fic k E, ad GH. Er- go rariones FE, ad Ek, & Ek, ad G H, æquales crunt rationibtis Ek, ad GH, & AE, ad prædi- âam interceptam. Ergo fi auferatur communis ra­

tio к F, ad G Н,- F F, ad E¿, érit vt A E 5 ad il ­ lám interceptam. Sed ex conftructione, vt FE, ad Ek, fie A E, ad EL. Ergo L, érit centrum æquî- librij fcmihyperbolæ. E[ coníequencer in LM, érit centrum grauitatis fcmihyperbolæ. Q_od &c.

SCHO-

ad partes A E; & iupra factum eftconuertendo

c

34

jîț t-ul pars pYOpînqutor bafi, fit ad reliquat», <t>t № rnidium lateris tranjuerfi conduits y ad tertiam parted /ил dtametri »

. Is ։ *

E S to conoides hyperbolicum quodcunqu6 -^

ABC, cuius axis, feu diameter BD, fic f£ ' cetur in L, vt BL, fit du pía L D, & fic in Q> vt B Q, fit tripla Qp . Ergo fie LQ, erit duodecin 13 parstorius BD, & ordine quarta incipiendo â D*

Sit GB, latus tranfuerfum conoidis, & LQ¿

fece-

35 feceturin P,vt QP,fit ad PL, vt dimidia GB, ad tertiam partem BD. Dico P, efle centrum graui- tatisconoidishyperbolic! ABC. Infcribantur co­

loides parabolicum E BF, & coni, vtfaftum eft fu- pra. Quoniam ex fchol. 2,. propofit- 4՝ Q, eft cen- trum grauitatistam differentia? conorum, quam dif-

^erentiæ conoideorum , & vt eftenditur a multis, &

etiam à nobis lib. 4. propoll1.14, L, eft centrum grauitatis conoidis parabolici E BFj ergo ft LQjic diuidarur in P, vt lit reciproce QJ*, ad PL, vt co­

noides EB F, ad difterentiam conoideorum,érit P, centru grauiratis rotins conoidis hyperbolic! ABC.

Sed vr conoides E B F, ad differenciám conoi­

deorum, fic dimidia GB, adtertiam partém DB, Vt ftatim patebit . Ergo paret propofitum.

Aífumptum vero pater ex dićłis. Quia facile pa­

lbie conoides EBF, effe ad difterentiam conoi- deorirm,reú ad difterentiam conorum, vt dimidium ftuadrari DE, adtertiam partémreáanguli A EC.

<>ed cum ex data hypothefi y fit diuidendo » & con ­ vertendo, quad rat um D E, ad rećtangulum AEC, Vt G B, ad BD. Erit & vt dimidium quadrati DE, id tertiam partem rećtanguli AEC, lie dimidia

9 B, ad tertiam partem B D .

S С Н О ւ I V M.

Si qu is verb feireoupiat, in qua proporcione fece- Niòtá BD, à centro grauitatis P, ho^ tali difeur-

E 2 fu-

— -

3

SCHO- fu obtinèbit. Quonîamenímconucrrendo LP, e#

ad P Q, vt tercia pars BD, ad dimidiam GBí ergo cum BL, frr óctupla LQ, В P, ericad PQ¿

Vt 9. rertiæ pares B D ( nempe vt tripla B D) cu^ 1 8. dimidijs GB (nempe cum quadrupla GBJ dimidiam GB. Pari ter cum D Q, fit tripla Qj-í erit PQ^ad PD, vt dimidia GB, adquadrupla111 dimidiam GB ( nempe ad duplám GB) vna cu^ 1 tribus tert'jspartibus BD ( nempe cum BD). Efz go exvquali, cric BP, ad PD* vt quadrupla G By

՜ 1՛ " ‘՜՜ ՜ ՜ ... "՜՜ - vna

37 Vnacumtripla BD* ad duplám GB, cum BD.

Etfubquadruplando términos, eric BP, ad PD, Vt GB, cumfubfefquitertia BD, ad dimidiam GB, cum quarta parce BD.

PROPOSITIO XIV.

Centrum grauitatis const dis hyperboltct ßc dimdit quart am partem diametri e ufdem ordine fecundam à baß, nat pars propinquior baßßt adreltquam, <"vt fexta pars la*

terts tranfuerß , ad terttam partem compoßt£ ex latere tranfaerfoy & ex diámetro .

SEd in fchem. anteced.fupponat prudens geome­

tra diámét։ um BD, fecari bifariam in L, &

LD, bifariam in Q; deinde LQ, ficfecariin P, Vt QP, fit ad PL, vt fexta pars GB, ad tertiam partem GD. Dico P, eße centrum grauitatis conoidis ABC. Cumenim Q, fit centrum gram- tatis coni ABC, & ex fchol. propofit. Ճ. L, «c

Zentrum exceifus conoidis fupra conum; &c cum it QP, ad PL, vt fexta pars GB, ad tertiam par­

tem GD, nempe exhypothefj, vt fexta pars qua- draci D F, ad tertiam partem quadrat* AD; nem ­ pe ex fchol. cit. vt exceífus conoid is fupra conum ad

№т conum. Ergo ex Archimede inxqucponde- rantibus , érit P, centrum grauitacis totius со

*oidis-

‘է

)

3*

: ' Ь bß ո H ■

S

.

Я ' / Mii

Modus præfens affignandi centrum grauitatis conuenit cum anrecedenti, vt attente confide ran ti patebit. Effet cti a m alius modus inuen iendi tale_>

centrum grau ’ tatis , in u ento prins centro grani taris cxccífus fru ft i conici fupra cyl indrum fibi infc.ri- pturn. Ex feboL cn im 5. propofit. io. patettalem exce flum, & conoides hyperbol ’ cu m , e fie quantita­

tes proportional iter analogas. Centrum vero. gra- mtatisprædidi cxccífus facile habeb i rur . Nam ex dićtis in lib 4. tot iu $ frutti coni habetur pl u . ibus modis centrum grau taris Sed habetur etiam con՜

crum grauitatis cylindri in frufto inferipti 5 habetur- que ratio talis cylindri ad exceífumfrutti fupra ip- fum . Quare centrum prædidr cxccífus non ignora- bitur . Vice ver fa tarnen > modi reperiendi centrum grauitatis conoidis afïignati in du abité propofit. an-

teced. quadrabunt etiam prædidoexcelfui.

Sed ficuti in fu perion bus docuimus in qua linea diámetro paral-lela fit centrum grauitatis fetni h y-*

pc. bolæ, fie videtur conuemens docere in qua linea diámetro pa- adela fit centrum grauitatis fegmenti femihyperbolæ con tenti inter duas lineas bafi paral- lelas. 4d cum inuentioni ralis lineæ præmiffa fit ra ­ tio cylmd ri circumfcripti conoidi ad ipfiim conoi­

des, fie in piæfentiarum anteponenda videturratio cylindri circumfcripti fegmento conoidis hyper**

bol’ ici

3*

bolid contento inter duo plana baft paralkla, ad ipfUrri —> • հհ ,

PROPOSITIO XV.

St fermento conoidis hyperbolici refecli plano baß parallelo, (it circumfcriptus су lindou s . Erit hic ad ipfùm fgmen- tum, rut recdangulum'ßib compoßta ex lat er e էր an fu er- f, Հջ՞ ex diametra conoidis, fab diámetro , ad re-

Slangulum fub eadem compßea , Qg) fub diámetro co - 34* i dis £. - - ՛ f - ֊֊*■-. dh í • f

COhoideshyperbolicumcuiusbaíis AC, ver­

tex B, diameter DB, latus rranfuerfum_>

GB, inrelligatur fe&um plano HK1, AC, pa- ral 1 elo, & i p fi fit c i rcum fc ri pt us cy I i n d rus L C . Di ­ ce hunc ette ad fegmentum conoidis, vc rećUngu- lum GDB , ad lećfcangulum fub GD, in в к,

Vnacum rećtangulo fub com pofira ex dimidia G В , Ճճ tercia parte Dk, & fub tertia parte D к .

Segmento АНЮ, intelligaturinferiptum feg.

mentum E N O F, conoidis parabolici cuius ver­

tex В, conditionis fupra fiepe expofitæ; & in tahbus fegmentis intelligantur íeg menta con 01 um inferi- ptorum in integris conoidibus , quæ fint APQC, H [< s p , Quoniam fruttum AHIC, confiât ex fruft 0 parabólico , & ex differentia fruftonim conoi­

deo-

Դ

tx* ' al

i 4*

՝4'т <*i

:>

L л

П/ '1 О!՝b 13 í T®

F c

'՛ ւ deorum $ & ex propofic. 4, differentia f'ruftorum co- noideorum eft æqualis differencia: conorum j ergo L C, erit ad fruftum A HIC, vteft ad fruftunu pâra bol icum, vnacum differentia fruftorum cono- rum. Hanc verő rationem fie venabimur. Cylin- drus LC, ad fruftum parabolicum ENOF, ha­

bet rationem compofitam exratione cylindri LC, sd cylindrum TF, tali frufto parabólico circum՜

fcriptum,&huiusadipfumfruftum : LC, ad TF, eftVfquadratum AD, adquadratum ED,- nem- pe exhypochefi, vt DG, ad GB. Cum autem ex

pro- x

41 propoíit. 3.1íb.4. fit TF, ad E N OF, vt parahe- bgrammum TF, ad trapezium ERS F; & cum ex

propoíit, 8. & 9- lib. prim, fit T F , parallelogram- itium ad trapezium ERSE, vt dupla E D, ad ED, cum R K, vei vtdupla DB, ad DB, cum Bk5 fe- quiturcylindrum LC, ad fegmentum parabolicum é N O F, habere rationem compofitam ex racione DG, ad GB, & ex ratione dupise DB, ad DB, cum Bk. Sed ex dićlis rätionibus componitur quo- que ratio dupli rećłanguli CDB, adrećtangulum G B D, cum rećtan gulo G Bk. Et vt duplum re- Sangulum GDB, ad prædieta confequentia , fie triphim rećtangulum GDB, ad fexquialterum re- ćtangulorum GB D , G Bk. Ergo ŁC, eric ad fegmentum EN OF, vt triplum rećtanguliim_, GDB, ad fefquial terűm rećtangulorum GBD;

GBk . Quodferuetur.

Expropofic. 14, & 15,lib.2. habemustamtotum cylindrum LC, quam ablatum TF, effe ilium ad fruftum conicum APQC, hune verb ad fruftum Cönicum ER S F, vt tripla DB, ad D B , B R , <S¿

barum tci ’tiam minorem continue proportionalem.

^rgo & reliquum ad reliquum erit vt totum ad to- l Utn : nempetubuscylindricus LEM, eritad diffe-

^ntiam fruftorum conorum,vt tripla DB, ad DB,

&k, & illám tertiam proportionalem. Tuncargu-

^enteturfic. Ratio cylindri LC, ad differenciám f^gmentorum conorum componitur ex racione LC, Mtubum LEM, &huiusad differenciámfegmen-

F tórám

torumconorum at L C, ad tubu tn eft vt quadra- tum AD, ad rećtangulum A E C, nempe exhy՜

potheíi fuppoŕita per comierfioncm rationis , vr G D, ad Dß: tubus aute n cft ad differentiam fru՜

ftorum conorumvt tripla DB, ad DB, Bk, & il՜

lam terciám proportionalem. Ergo ratio L C, ad differentiam íegmentorum conorum componetur quoqueex rationibus G D, ad D B, & triplæ ad D В, в к, & illám tercia m proportionalem . Sed

ex dićtis rationibus componitur etram ratio rripb rećłanguli G DB, adquadracum DB, rcdangulu* 11

DB к,

DBk, & rećłangulum fub DB, & fub illa tercia proporționali ( quod çft spquale quadrato mediae Bk). Ergo LC, eritaddifferentiam fruftorumco- Borum ? vttriplum reClanguhim G DB, ad quadra ­ te DB, Bk, cum rećtan gulo DB К; nem pe ad tria quadrate Bk, cum triplo rectángulo B. k D, & cum quad rato Dk (, quia qua d ra tu m DB, d iui d iru r in quadrara Bk, k D, & in duo rećłanguia 11 k D; &

pariter rećłangulum D B k, diuiditur in quadiatum В к, & in rećłangulum B k D ). Cum autem fupra Probatum fit,.effe ŁC, ad fruftum EN OF, vt idem triplum rećłangulum G DB, adfeíquialcenim rećłangulorum GB D, Gßk. Ergo col F gen do am- boconfequcntia,erit LC, adfruftum, & addifte- tentiam fruftorum conorum fi mul , nempe ad frü ­ hen A HIC, vttriplum rećłangulum G DB, ad triplum quadratum Bk, cum triplo rećłangulo

■BkD, cum quadrato K D, & cum fefquîaltero re»

Stan gulor um GB D, GB k. Ergo & vt honim pia- Horum tertiæ partes : nempe L C , erit ad AHI C, Vt rećłangulum G DB, ad quadratum B K, cum rećłangulo BkD, & cum terna parte quadrati Dk, Vna cum dimidio redangulorum GBD, GBK.

Cum verô dimidium rećtanguli GBD, diuidatur in dimidium GBK, & in. dimidium GB, KD.

Ergo dimidium rećłangulorum G B D, GBK, erit rećtanguhim G В к , cum dimidio rećłanguli G®>

KD. Si ergo fimul iunxerimus rećłangulum GBK, çutnquadrato B K, & cum rećłangulo BKD, habe-

F & bimus.

S C H O L I V M.

E

bimus rećtengulum G D , B k. Parker fi fimul iuii- xerimus rectangulara fubdimidia- GB, & f[ib D K, cum tercia parte quadrati D K, nem pe cum rectán ­ gulo fub D K, &fub tercia parte D k, habebimus rectangulum fub compofita ex dimidia GB, & eX tci tia pat te Dk, & fub D K. Ergo à primo ad vlti- mumconclodemus,elfe LG, ad fruftum conoidis hyperbol ici A HIC, vcreerangulum GDB^ adre՞

crângul um СЦ ß К, cum rectángulo fii b comp о*

fita ex dimidia Gji , & ex tercia parte Dk ? & fub D к , Quoderatoftendendum »

Proportionen prædicti cylindri ad illud fegmcn- l Um hyperbolicum , etiam duobus alijs mod i s , con- fequenteradfuperius dicta ,՛ lieeretcolligere. Сшті 6nim tale fegmentum conílet ex fegmento coni íibi

^(cripto , & ex exceíTu fupra ipíum ; & cum talis ex- ceíTus fit acqualis exceífui fegmcnti conoidis para ­ bolici fupra fuum fegmentum conicum 5 & cum ex dictis in ijs y quæ de infinitis parabolis confcripfi- ttius, facile liceat coll igére racionem L C, & ad feg-

entern conicum A P Q C, & ad exceflum fegmen- conoidis parabolici ENO F, fupra fegmentum c onicnm ERSF: fequitur facile eciam nosobtine- re racionem LC, ad fegmentum A H 1C. Pari­

er fi in (chemat.propofit. 10. tam fegmento v. g.

AQjTC, quam fegmento exceifus frufti conici GNP H, fupra cylindru m R M, mente concîpia-

^Uscircumfcnbi cylindres; patet exdictisineadem Ptopofitione, tubum cylindricum cuius bafis armil-

circulais G LH, altitudo OD , äqualem efle cylindra circumfcripro fegmento A QJT C . Pari- terquepatetexceifumfrufti GNPH, fupracylim- drum RM, aequalemelfefegmento AQ1 C* Cum ergo ex dictis in opere fupra citato, faciliffime-^

P^ftîmus habere rationem prædicti tubi ad ilium ex-

Ce ftum fupra cylindrum 5 faciliter etiam habebimus

Mon cm cylindri circumfcripti fegmento hyper b о,-

SCHO-

lico A Q ľ C , ad i pfu m fegmen tum . Hæc non continent multum c ’ ifHcultaris, quapropter fuflîciaC ca lectori bus i ndicafte.

Sicuti fufficiat ex antecedentibus indicare mó ­ diim reperiendi in qua linea parallcla. Dk? cen­

trum grauitatis fuppofiti fegmenti femihyperboU A HkD. Hoc autem reperietur ex .didisfifiippo- natur fegmenti A HKD, quadratura, nempe ratio, quam habet ad ipfum parallelogram mum L D. Cum I enimcylindrus LC, habeatad feg mentumconoi՜

dis AHI C, ex fchol-pri.prop. 3. lib.3. radonem compofitam ex ratione dimidij parallelogramm»

LD, ad fegmentum AHkD, & ex ratione A D, ad interceptam inter D , & centrum æquilibrij feg' menti acceptum in AD, hoc eft centrum grauitatis- duplicatifegmenti AHkD, ad partes A D; fequi- tur, quod G ex proportione cylindri LC, adfeg ­ mentum conoidis A H 1C ; nempe ex ratione ex- preifain prçfénrî propofitione,fubtrahatnr fuppoíita ratio dimidij parallelogrammi L D, ad fegmentum parabolae: 1 HKD, remanebir ratio AD, ad inter*

ccptam inter I ), & centrumqumfitum .

H c:pundoín.dento,non ignora bi mus tria foli ta , quæ fæpe fæpius dèduximus in non paucis propoü- tiombuslib. 3. Nam primo non ignorabimus ratio-*

nem cyhndri ex LD, ad folidum ex fegmento AHKD, circa LA. Secundo non ignorabimus radonem fegmenti AHI C, ad folidum præditftun1 circa AL. fercio tam fupra LD, qjam fupra-»

AHKD,

AHkD , intelleĆlis cylindricis rećtis æquealtis le֊

tiis diagonaliter plano tranfeunte per Dk, &per lat us oppofitum ipfi L A, minimé ignorabimus cu- bationes truncorum cylindrici íuper AHkD, exi- flentis . Нас tarnen differentia , quod cubationcm

trunci finiftri habctj mus fine fuppefitione ahcu- ius quadrature ; non fic cubationcm trunci dex-

teri.

His oftenfis non eric inutile o (tendere modum_»

Ihiieniendi centrum grauitatis fegmenti conoidis hyperbolic! AHIC. Sed prius oiiendaturfcquens propofitio.

PROPOSITIO XVI.

differentia fupradiiïorum frußorum conoide or um eß ad fegmentum conoidis parabdici5 ‘ ՜սէ quadrat a adum to- tius conoidis} ճո conoidis ad <uerticem 5 runa cum re,

cl angulo contento fub bis axibus > ad fefquialterum re- biangulorum contentorum fub latere tran fuerfo , էք՜ ßb pne dibits axibus -

Sint ergo fegmenta anteced« propofit. Dico ար- ferentiam fruftorum A HI C, EN O F, eile fegmentumparabolicum EN O F, vtquadrata

Bl<} cumrećtangulo t)Bk$ adfefquialterum

*eftahgulorum G B D, G B K , Differentia enim_.

i^ædiâa ad fegmentum E N O F , habet rationem

^mpofitam ex rationedifferentîæ adtubumcylin-

dricum

diiciim LÊM; հաստ ad cylíndrlltn TF; & htí- lus ad fegmen tu m EN OF. Cum autem differen ­ tia fr-uftorumconoideorum fit, ex fupradićlis, aqua- i lis diffe/entiæ fruûorum conorum in (cripto rum in ipíis; & cum differentia fruftorum conorum lit ad tn bum LEM, vt facile poteft deduci ex dictis in fchol.4. propofit. r 4.lib. 2. vt DB, cum BK, &

cum harum tercia minori proporționali ad tres DB*

Sequi tu r etiam differenciám fegmcntorum conoi- 1 deorurn, cffe ad cubum cylindricum L EM, vt D B, BK, & illa tercia pToportionalis ad tres Dß, Cuín vero LEM, tubus fit ad cylindrum TF, vt rc- crangulum AEC, ad quadra turn ED, neňipc diuidendp, exhypothefi frequenter vfa, vt Dß, ad B G,֊ fed vt tripla Dß^ ad triplam GB. Ergo exæquali , érit differentia fegmentorum conoideo- rumad cylindrum TF, vt Dß, Bk, cum illa ter- tia proporționali ad triplam GB. Cylindrus T E eft ad íegmentum EN OF, vt dicetur inferius, ve dupla F.B, ad Dß, cum BK, Ergo à primo ad vkimum , differentia fegmentorum conoideorum-»

ad íegmentum ENOF., habebit rarionem com- poíitamcxratione Dß, ßk, & harum tertiæ pro ­ porcionális ad triplam B G, & ex racione duplæ DB, ad DB, BN Sed ex dićłis rationibus componitur quoque ratio duorum quadratorum BD, duorum îectangulorum DßK, & duorum rectangulorum^

fub DB, & fub jila tercia proporționali ( quæ duo vitima rectángula funt æqualia duobus quadracis

media:

ľ

<в

^edix BK), ad tria rectángula G B D, cum tribus

^ćtangułis G Bk. Ergo differentia fruftorum co­

loideo rum , erit ad íegmentum ENDE, vt duo quadrata DB, cum duobus rećtangulis D В к, &

cum duobus quadratis BK, ad tria reAangul^

cum tribus rećtangulis G B D . Ec yt ho- terminorum dimidia- Nempe differentia præ-

; érit ad prædidum íegmentum, vt quadrata

* B K, cum rećłangulo DB к, ad fefquialte- rećłangulorum GBD j G В к , Quod erat

^ftendendum. _