2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimX = m. Niech dalej e1, e2, . . . , embędzie bazą algebraiczną tej przestrzeni (niekonicznie kanoniczną). Wtedy każdy element x∈ X ma jednoznaczne przedstawienie
x =
m k=1
tkek,
gdzie t,t2, . . . , tm są współrzędnymi elementu x w tej bazie (wyznaczonymi jednoznacznie). Sformułujemy najpierw pomocny lemat techniczny.
Lemat 2.5.
Istnieje taka liczba dodatnia γ, że
m k=1
tkek
γ
m
k=1|tk|2 (14)
dla dowolnych liczb t1, t2, . . . , tk. Twierdzenie 2.8.
W przestrzeni unormowanej skończenie wymierowej X z bazą e1, e2, . . . , em zbieżność ciągu punktów (xn)∞n=1 tej przestrzeni do elementu x∈ X oznacza zbiezność ciągów współrzędnych do współrzędnych punktu x.
Innymi słowy, jeśli xn =mn=1tk,nen∈ X zbiega (przy n → ∞) do x = mk=1tkek∈ X, to
n→∞lim tk,n = tk dla k = 1, 2, . . . , m.
Dowód.
Niech xn → x. Na mocy poprzedniego lematu dlakażdego wskaźnika n zachodzi nierówność
||xn− x|| =
m n=1
tk,nen−m
n=1
tken
=
m n=1
(tk,n− tk)en
γ
m
k=1
|tk,n− tk|2, skąd tk,n → tk dla k = 1, 2 . . . , m.
Na odwrót, jeśli tk,n → tk dla k = 1, 2 . . . , m, to z ciągłości działań algebraicznych w przestrzeni X i związku
||xn− x|| =
m n=1
tk,nen−m
n=1
tken
=
m n=1
(tk,n− tk)en
wynika, że xn→ x.
Wniosek 2.1.
W przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej każde dwie normy są równoważne.
Dowód.
Weźmy dwie normy || · ||1 i || · ||2. Załóżmy, że (xn)∞n=1 jest ciągiem elementów zbieżnych do x względem normy|| · ||1, tzn. dla xn =mn=1tk,nen i x =mk=1tkek mamy
||xn− x||1 → 0 przy n → ∞ ⇐⇒ limn→∞tk,n = tk dla k = 1, 2, . . . , m⇐⇒ ||xn− x||2 → 0 przy n → ∞ na podstawie poprzedniego twierdzenia.
Przypomnijmy, że dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych takie twierdzenie nie zachodzi. Na przykład, jeśli X oznacza przestrzeń funkcji ciągłych okrerślonych na przedziale [0, 1], to normy zdefiniowane wzorami:
||x||1 = sup
t∈[0,1]|x(t)| i ||x||2 =
1
0 |u(t)| dt
nie są równoważne. Wystarczy wziąć ciąg funkcji xn(t) = tn dla n = 1, 2, . . . . Wtedy
||xn||2 =
1
0 |tn| dt = 1
n + 1tn+1|10 = 1
n + 1 → 0 przy n → ∞, a
||xn||1 = sup
t∈[0,1]tn = 1→ 1 przy n → ∞.
Twierdzenie 2.9.
Każda przestrzeń unormowana skończenie wymiarowa jest przestrzenią Banacha.
Dowód.
Jeśli dim(X) = 0, to twierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Jeśli dim(X) = m, to niech e1, e2, . . . , em będzie bazą algebraiczną w tej przestrzeni. Weźmy ciąg punktów postaci xn = mk=1tk,nek ∈ X dla n = 1, 2, . . . spełniający warunek Cauchy’ego. Wtedy z nierówności (14) otrzymujemy
||xn− xn|| =
m k=1
tk,nek−m
k=1
tk,nek
=
m k=1
(tk,nek− tk,nek)
γ
m
k=1
|tk,n− tk,n|2, n, n = 1, 2, . . . .
Zatem każdy z ciągów (tk,n)∞n=1 (k = 1, 2, . . . m) jest zbieżny. Zatem xn → x, gdzie x = mk=1tkek i tk = limn→∞tk,n dla k = 1, 2, . . . , m.
Twierdzenie 2.10.
Każda podprzestrzeń liniowa skończenie wymiarowa przestrzeni unormowanej jest zbiorem domkniętym.
3 Przestrzenie Hilberta
3.1 Przestrzenie unitarne
Rozważmy przestrzeń liniową X.
Definicja 3.1.
Iloczynem skalarnym elementów x i y z X nazywamy funkcję (·|·) : X × X → R(C), która każdej parze uporządkowanej tych elementów przyporządkowuje liczbę rzeczywistą lub zespoloną (w zależności od tego, czy X jest przestrzenią rzeczywistą lub zespoloną), przy czym zachodzą warunki:
1. (x|y) = (y|x),
2. (x + y|z) = (x|z) + (y|z), 3. (αx|y) = α(x|y),
4. (x|x) 0 i (x|x) = 0 tylko, gdy x = θ.
ILoczyn skalarny (x|y) można zapisywać również jako (x, y, x, y, x|y.
Z trzech pierwszych warunków łatwo wywnioskować, że
(z|x + y) = (z|x) + (z|y), (x|αy) = α(x|y).
Twierdzenie 3.1. Nierówność Schwarza Ilooczyn skalarny spełnia nierówność
|(x|y)|2 (x|x)(y|y), zwaną nierównością Schwarza.
Dowód. Nierówność ta jest oczywiśćie prawdziwa, jeśli y = 0. Załóżmy więc, że y = 0. Z czwartego aksjomatu iloczyny skalarnego mamy dla każdej liczby λ
(x + λy|x + λy) 0.
Dostajemy
(x|x) + λ(x|y) + λ(x|y) + |λ|2(y|y) 0.
Podstawimy teraz
λ =−(x|y) (y|y) i dostaniemy
(x|x) −(x|y)
(y|y)(x|y) −(x|y)
(y|y)(x|y) +−(x|y) (y|y)
2
(y|y) 0,
(x|x) −|(x|y)|2 (y|y) 0, czyli nierówność Schwarza.
Twierdzenie 3.2.
Jeśli (x|y) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej X, to wzór
||x|| =(x|x) (15)
określa normę w X.
Dowód. Wystarczy sprawdzić warunki normy. Warunek ||x|| 0 i ||x|| = 0 tylko, gdy x = θ jest natych- miastową konsekwencją aksjomatu czwartego. Dalej
||αx|| =(αx|αx) =αα(x|x) =|α|2(x|x) = |α|(x|x) = |α|||x||.
Zostaje do pokazania nierówność trójkąta.
||x + y||2 = (x + y|x + y) = (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y|y) (x|x) + 2|(x|y)| + (y|y),
a na mocy nierównośći Schwarza
||x + y||2 (x|x) + 2(x|x)(y|y) + (y|y) = ||x||2+ 2||x||||y|| = ||y||2 = (||x|| + ||y||)2,
czyli
||x + y|| ||x|| + ||y||.
Uwaga 5.
Nierówność Schwarza można zapisać również w postaci
|(x|y)| ||x||||y||, (16)
jeśli wykorzystamy normę.
Definicja 3.2.
Przestrzeń X nazywamy przestrzenią unitarną, jeżeli: X jest przestrzenią liniową, został w niej określony iloczyn skalarny (x|y) oraz zdefiniowano normę wzorem (15).
Zauważmy więc, że przestrzeń unitarne jest zawsze przestrzenią unormowaną.
Twierdzenie 3.3.
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej X jest funkcjonałem ciągłym na X×X, tzn. jeżeli xn → x i yn→ y, to (xn|yn)→ (x|y).
Dowód. Teza wynika natychmiast z ciągłości normy:
|(xn|yn)−(x|y)| |(xn|yn)−(xn|y)|+|(xn|y)−(x|y)| = |(xn|yn−y)|+|(xn−x|y)| ||xn||||yn−y||+||xn−x||||y||
dla n = 1, 2, . . . . Jeżeli xn→ x i yn → y, to mamy tezę.
3.2 Przestrzeń Hilberta
Definicja 3.3.
Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.
Z definicji tej wynika natychmiast, że z wszystkich poznanych wcześniej przykładów przestrzeni Banacha, te będą przestrzeniami Hilberta, w których jest wprowadzony iloczyn skalarny.
Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni Hilberta.
Przykład 20. Przestrzeń euklidesowam m wymiarowa l2m Określmy iloczyn skalarny wzorem
(x|y) = m
k=1
tksk
dla x = (t1, t2, . . . tm) i y = (s1, s2, . . . sm). Łatwo sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego (ćw.). Ponadto łatwo widać, że norma w tej przestrzeni
||x|| =
m
k=1
|tk|2
wyraża się wzorem (15).
Przykład 21. Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem l2 Określmy iloczyn skalarny wzorem
(x|y) = ∞
k=1
tksk
dla x = (t1, t2, . . . ) i y = (s1, s2, . . . ). Zbieżność tego szeregu wynika natychmiast z nierówności |tksk|
1
2(|tk|2+|sk|2). Łatwo sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego (ćw.). Ponadto łatwo widać, że norma w tej przestrzeni
||x|| =
∞
k=1
|tk|2 wyraża się wzorem (15).
Zauważmy jeszcze, że nierówność Schwarza (16) w tej przestrzeni przyjmuje postać:
∞ k=1
tksk
∞
k=1
|tk|2
∞
k=1
|sk|2
i jest poznaną już wcześniej nierównością Cauchy’ego dla szeregów.
Przykład 22. Przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem L2(Ω) Określmy iloczyn skalarny wzorem
(x|y) =
Ωx(t)y(t) dt
dla x, y ∈ L2(Ω). Zbieżność tego szeregu wynika natychmiast z nierówności |x(t)y(t)| 12(|x(t)|2+|y(t)|2).
Łatwo sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego (ćw.). Ponadto łatwo widać, że norma w tej przestrzeni
||x|| =
Ω|x(t)|2dt wyraża się wzorem (15).
Zauważmy jeszcze, że nierówność Schwarza (16) w tej przestrzeni przyjmuje postać:
Ωx(t)y(t) dt
Ω|x(t)|2dt
Ω|y(t)|2dt.
3.3 Liniowa niezależność elementów przestrzeni unitarnej, ortogonalność i or- tonormalność
Niech dane będą elementy a1, a2, . . . , am przestrzeni unitarnej X. Określmy
G(a1, a2, . . . , am) = det[(ai|ak)] =
(a1|a1) (a1|a2) . . . (a1|am) (a2|a1) (a2|a2) . . . (a2|am)
. . . . (am|a1) (am|a2) . . . (am|am)
zwany wyznacznikiem Grama elementów a1, a2, . . . am. Wyznacznik ten jest nieujemny.
Twierdzenie 3.4.
Na to, aby elmenty a1, a2, . . . , am przestrzeni unitarnej X były liniowo niezależne, potrzeba i wystarcza, aby ich wyznacznik Grama był różny od zera.
Dowód.
Definicja 3.4.
1. Dwa elementy x i y przestrzeni unitarnej X są ortogonalne, jeżeli (x|y) = 0. Piszemy wtedy x⊥y.
2. Jeżeli X0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni unitarnej X i pewien element x∈ X jest ortogonalny do każdego elementu y ∈ X0, to mówimy, że element x jest ortogonalny do podprzestrezni X0 i piszemy x⊥X0. 3. Podprzestrzenie liniowe X1, X2 ⊂ X są ortogonalne, jeżeli każde dwa elementy x1 ∈ X1 i x2 ∈ X2 są do siebie ortogonalne. Piszemy wtedy X1⊥X2.
Łatwo zauważyć (ćw.), że jeśli elementy x i y są ortogonalne, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa, czyli
||x + y||2 =||x||2+||y||2. Można też sformułować tzw. uogólnione twierdzenie Pitagorasa,
||x1+ x2+ . . . + xn||2 =||x1||2+||x2||2+ . . . +||xn||2,
o ile elementy x1, x2, . . . , xn są parami ortogonalne.
Podstawowym twierdzeniem w teorii przestrzeni Hilberta jest twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
Twierdzenie 3.5. (o rzucie ortogonalnym)
Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta X. Wtedy każdy element x ∈ X da się przedstawić w postaci
x = x0+ z, gdzie x0 ∈ X0, z⊥X0,
przy czym rozkład ten jest jednoznaczny. Element x0 nazywamy wtedy rzutem ortogonalnym elementu x na podprzestrzeń X0.
Zauważmy teraz, że jeśli X0 jest podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta X, to zbiór X1 wszystkich elementów x∈ X ortogonalnych do podprzestrzeni X0 jest też podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni X (domkniętość wynika z ciągłości iloczynu skalarnego). Twierdzenie o rzucie ortogonalnym mówi w takim razie, że X jest sumą prostą podprzestrzeni X0 i X1:
X = X0⊕ X1
Ponieważ x0 i X1 są ortogonalne, to ten przypadek sumy prostej nazywamy sumą ortogonalną, a każdą z popdrzestrzeni X0 i X1 nazywamy dopełnieniem ortogonalmym drugiej z nich do przestrzeni X i piszemy
X0 = X X1 oraz X1 = X X0. Najważniejsze wnioski z twierdzenia o rzucie ortogonalnym są następujące
Wniosek 3.1. • Niech X0 będzie podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta X. Jeżeli x0 jest rzutem ortogonalnym elementu x∈ X na podprzestrzeń X, to
||x − x0|| ||x − y||
dla każdego y∈ X0 (co oznacza, że||x−x0|| równa się odległości d(x, X0)), przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy y = x0.
• Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to podprzestrzeń liniowa X0 ⊂ X jest gęsta w X wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym elementem x∈ X ortogonalnym do podprzestrzeni X0 jest x = θ.
• Ciąg (an)n elementów przestrzeni Hilberta X generuje przestrzeń X (tzn. zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów a1, a2, . . . jest gęsty w przestrzeni X) wtedy i tylko wtedy, gdy (an|x) = 0 dla n = 1, 2, . . . .
Definicja 3.5.
Układem ortogonalnym przestrzeni Hilberta X nazywamy każdy zbiór Z ⊂ X, którego elementy są parami ortogonalne. Jeżeli ponadto wszystkie elementy tego zbioru mają normę równą 1, to mówimy, że zbiór Z jest układem ortonormalnym.
Największe znaczenie mają układy ortonormalne przeliczalne, tzn. złożone ze wszystkich wyrazów pew- nego ciągu nieskończonego (ek)k. Zgodnie z definicją taki ciąg jest ortonormalny wtedy i tylko wtedy, gdy
(en|em) =
1 dla n = m 0 dla n= m.
Przykład 23. Przykłady układów ortonormalnych.
• X = l2.
Wtedy ciąg elementów
e1 = (1, 0, 0, . . . ), e2 = (0, 1, 0, . . . ), . . . jest układem ortonormalnym w tej przestrzeni.
• X = L2(0, 2π).
Wtedy ciąg funkcji
√1
2π, 1
√πcoskt, 1
√πsinkt (k = 1, 2, . . . )
jest układem ortonormalnym w tej przestrzeni. Jest to tzw. układ trygonometryczny.
• X = L2(0, 2π) zespolona.
Wtedy ciąg funkcji
√1
2πeikt (k = 0,±1, ±2, . . . ) jest układem ortonormalnym w tej przestrzeni.
Łatwo można zauważyć, że każdy układ ortonormalny (ek)k jest utworzony z elementów liniowo nieza- leżnych, tzn. dla każdej liczby naturalnej m elementy e1, e2, . . . , em są liniowo niezależne. Istotnie, jeśli dla pewnych liczb a1, a2, . . . am mamy
m k=1
akek = 0, czyli
an=
m k=1
ak(ek|en) =
m
k=1
akek|en
= 0 dla n = 1, 2, . . . , m.
Twierdzenie 3.6.
Niech (ak)k będzie dowolnym ciągiem liniowo niezależnych elementów przestrzeni Hilberta X. Istnieje wtedy w X układ ortonormalny (ek)k taki, że
lin(e1, e2, . . . , em) = lin(a1, a2, . . . , am) dla m = 1, 2. . . .
Dowód. Przekształcamy ciąg (ak)k w układ ortonormalny (ek)k za pomocą procesu ortonormalizacji, tzn.
przyjmujemy kolejno e1 = ||aa1
1||, e2 = ||xx2
2||, gdzie x2 = a2− (a2|e1)e1, ...
em+1 = ||xxm+1
m+1||, gdzie xm+1 = am+1−mk=1(am+1|ek)ek
Oczywiście a1 = 0, x2 = 0, . . . xm+1 = 0, bo elementy a1, a2, . . . , am+1 były liniowo niezależne. Ponadto
||e1|| = 1, ||e2|| = 1, . . . , ||em+1|| = 1 oraz (e1|e2) = 0, . . . , (em+1|ek) = 0 dla k = 1, 2, . . . m.
Natychmiast z definicji em ∈ lin(a1, a2, . . . , am) i am ∈ lin(e1, e2, . . . , em) dla m = 1, 2, . . . .
Zauważmy, że jeśli w naszej konstrukcji elementów ortonormalnych nie będziemy dzielić przez normę ele- mentu, to otrzymamy układ ortogonalny, a proces nazywać się wtedy będzie procesem ortogonalizacji.
3.4 Szeregi w przestrzeni Hilberta
Będziemy zajmować się teraz badaniem zbieżności szeregów postaci
∞ k=1
akek,
gdzie ak są liczbami, a ek elementami układu ortonormalnego.
Twierdzenie 3.7.
Niech (ek)k będzie układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X. Jeżeli (ak) jest ciągiem elementów przestrzeni l2, to szereg ∞k=1akek, jest zbieżny i
∞ k=1
akek,
=
∞
k=1
||ak||2.
Dowód.
Przypuśćmy teraz, że dla pewnego ciągu liczbowego (ak)k szereg∞k=1akek jest zbieżny i jego sumą jest dany element x∈ X (X jest przestrzenią Hilberta):
x =
∞ k=1
akek. Wtedy
ak = (x|ek) k = 1, 2, . . . .
Istotnie, wystarczy zauważyć, że ak= (mn=1anen|ek) dla m k i przejść do granicy dla m → ∞.
Definicja 3.6.
Liczby (x|ek) (k = 1, 2, . . . ) nazywamy współczynnikami Fouriera elementu x względem układu ortonormal- nego (ek)k, a szereg
∞ k=1
(x|ek)ek nazywamy szeregiem Fouriera elementu x względem tego układu.
Twierdzenie 3.8. Nierówność Bessela
Jeżeli (ek)k jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X, to dla dowolnego elementu x∈ X szereg
∞
k=1|(x|ek)|2 jest zbieżny i zachodzi nierówność
∞ k=1
|(x|ek)|2 ||x||2,
zwana nierównośćią Bessela, która przechodzi w równość wtedy i tylko wtedy, gdy
∞ k=1
(x|ek)ek = x.
Twierdzenie 3.9.
Jeżeli (ek)k jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X, to dla każdego elementu x ∈ X szereg Fouriera ∞k=1(x|ek)ek jest zbieżny i
∞ k=1
(x|ek)ek
2
=
∞ k=1
|(x|ek)|2.
3.5 Układy ortonormalne zupełne
Definicja 3.7.
Układ ortonormalny (ek)k w przestrzeni Hilebrta X nazywamy zupełnym, jeśli nie istnieje w przestrzeni X element różźny od zera, ortogonalny do wsztystkich elementów ek.
Układ ortonormalny (ek)k w przestrzeni Hilebrta X nazywamy zamkniętym, jeśli dla każdego x∈ X zachodzi równość ∞k=1|(x|ek)|2 =||x||2.
Twierdzenie 3.10.
Dla układu orotonormalnego (ek)k przestrzeni Hilberta X następujące warunki są równoważne:
• układ (ek)k jest zupełny;
• ciąg (ek)k generuje przestrzeń X;
• każdy element x ∈ X jest sumą swojego szeregu Fouriera względem układu (ek)k;
• układ (ek)k jest zamknięty.
Zauważmy, że jesli rozważamy układy ortonormalne skończone, tzn. zlożone ze skańczonej ilości elemen- tóew, to wszystkie sumy pojawiającer się w powyższej teroii są skończone Ponadto dostajemy natychmiast, że układ skończony (ek)mk=1 w przestrzeni X jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenia m-wymiarową. Wtedy układ taki nazywa się bazą ortonormalną przestrzeni X (jest on oczywiście bazą algebraiczną tej przestrzeni).
Twierdzenie 3.11.
W każdej ośrodkowej przestrzeni Hilberta X (o dodatnim wymiarze) istnieje układ ortonormalny zupełny (skończony lub przeliczalny).
Przykłady układów ortonormalnych zupełnych w konkretnych przestrzeniach X.
• X = lm2 - przestrzeń euklidesowa m-wymiarowa.
Układem ortonormalnym zupełnym jest np.
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , em = (0, 0, . . . , 0, 1).
Istotnie, weźmy x = (t1, t2, . . . tm) ∈ lm2 ortogonalny do wszystkich elementów ek. Wtedy tk = (x|ek) dla k = 1, 2, l . . . , m, więc z ortogonalności x do każdego z elementów ek, wynika, że x = θ.
• X = l2 - przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem.
Układem ortonormalnym zupełnym jest np.
e1 = (1, 0, 0, . . . ), e2 = (0, 1, 0, . . . ), . . . , em = (0, 0, . . . ), . . . .
Istotnie, weźmy x = (t1, t2, . . . ) ∈ l2 ortogonalny do wszystkich elementów ek. Wtedy tk = (x|ek) dla k = 1, 2, l . . . , więc ponieważ x =∞k=1tkek=k=1∞(x|ek)ek, czyli każdy element x jest sumą swojego szeregu Fouriera. Zatem układ (ek)k jest zupełny.
• X = L2(a, b) - przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem na przedziale [a, b].
Rozważmy ciąg potęg: 1, t, t2, t3, . . . . Zortonormalizujmy go w tej przestrzeni. Otrzymamy wtedy pe- wien układ ortonormalny wielomianów (wk), który będzie zupełny, bo generuje całą przestrzeń L2(a, b) (zbiór wszystkich wielomianów jest gęsty w tej przestrzeni, a każdy weielomian jest kombinacją liniową potęg 1, t, t2, t3, . . . , które są z kolei kombinacjami liniowymie wielomianów w1, w2, . . . .
• X = L2(0, 2π) - rzeczywista.
Układ ortonormalny zupełny tworzą funkcje trygonometryczne:
√1
2π, 1
√πcoskt, 1
√πsinkt (k = 1, 2, . . . ). (17)
Wystarczy sprawdzić, że ciąg ten generuje całą przestrzeń, czyli, że zbiór kombinacji liniowych w(t) = α0+
m k=1
(αkcoskt + βksinkt)
(czyli tzw. wielomianów trygonometrycznych) jest gęsty w L2(0, 2π). Weźmy zatem u ∈ L2(0, 2π).
Ponmieważ przerstrzeń ta jest ośrodkowa, to istnieje funkcja ciągła v określona na [0, 2π] (nawet wie- lomian) dowolnie blisko u. Można założyć, że v(0) = v(2π). Rozszerzamy teraz v w sposób okresowy, dostając funkcję v1 ciągłą i okresową o okresie 2π. Na mocy drugiego twierdzenia aproksymacyjnego Weierstrassa ([4]), istnieje wielomian trygonometryczny dowolnie blisko v1, co kończy dowód.
• X = L2(0, 2π) - zespolona.
Układ ortonormalny zupełny tworzą funkcje √1
2πeikt, (k = 0,±1, ±2, . . . ).
Istatnie, wynika to natychmiast ze związków:
coskt = 1
2(eikt+ e−ikt), sinkt = 1
2i(eikt− e−ikt).
Wprowdzimy jeszcze jedno pojęcie, które często wykorzystuje się podczas rozwiązywania niektórych rów- nań różniczkowych cząstkowych.
Definicja 3.8.
Szeregiem trygonometrycznym Fauriera funkcji u∈ L2(0, 2π) względem układu (17) jest szereg α0+
∞ k=1
(αkcoskt + βksinkt), przy czym
α0 = 1 2π
2π
0 u(s) ds, αk = 1 π
2π
0 u(s)cosks ds, βk = 1 π
2π
0 u(s)sinks ds, k = 1, 2, . . . . Ponieważ układ (17) jest zupełny, to szereg ten jest zbieżny przeciętnie do funkcji u, tzn.
n→∞lim
2π
0
u(s)− α0−n
k=1
(αkcosks + βksinks)
2
ds = 0.
To nie daje oczywiście zbieżności punktowej du u na [0, 2π]. Ale można sie posłużyć standardowymi kryte- riami zbieżności szeregów znanymi z analizy.
