1. Niech τ będzie momentem stopu względem filtracji (F n ) n≥1 . Które z następujących zmiennych losowych 2τ 2 , τ ∨ n, τ 3 , τ ( τ2 + 1), 2τ , τ − 1, τ + 1

procesy stochastyczne I rok matematyki II-go stopnia

lista 2

1. Niech τ będzie momentem stopu względem filtracji (F n ) _n≥1 . Które z następujących zmiennych losowych 2τ ² , τ ∨ n, τ ³ , τ ( ^τ ₂ + 1), 2τ , τ − 1, τ + 1

(a) 2τ ² , (b) τ ∨ n,

(c) τ ³ , (d) τ ( ^τ ₂ + 1)

są momentami stopu względem tej filtracji?

2. Niech τ i σ będą momentem stopu względem filtracji (F _n ) _n≥1 . Udowodnić, że zdarzenie {τ ≤ σ}

należy jednocześnie do F _τ i do F _σ .

3. Pokazać, że jeżeli mamy (τ _n ) _n≥1 ciąg momentów stopu względem filtracji (F _n ) _n≥1 , to (a) sup

n

τ _n , (b) inf

n τ _n , (c) lim sup

n τ n , (d) lim inf

n τ n

są momentami stopu.

4. Niech τ ₁ i τ ₂ będą momenty stopu względem filtracji (F _n ) _n≥1 . Pokazać, że wtedy mamy F _τ

∧τ

= F _τ

∩ F _τ

.

W kolejnych zadaniach ustalona jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P ), dana jest filtracja (F n ) _n∈T .Ponadto T jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, o ile nie jest powiedziane inaczej.

5. Niech ciąg (X _n ) _n∈T będzie (F _n )-martyngałem. Zbadaj, czy ciąg zmiennych losowych (Y _n ) _n∈T , gdzie Y _n = cos(πX _n ), też jest (F _n )-martyngałem.

6. Niech ciąg (X _n ) _n∈T będzie (F _n )-martyngałem oraz E(X _n ² ) < +∞ dla dowolnego n. Udowodnij, że ciąg (X _n ² ) _n∈T jest (F _n )-podmartyngałem.

7. Niech T = N . Udowodnij, że (X _n ) _n∈T jest (F _n )-martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jedne z warunków

∀ _n∈N E(X _n+1 |F _n ) = X _n P -p.n.,

∀ _n∈N E(X _n+1 − X _n |F _n ) = 0 P -p.n..

8. Przy założeniach z zadania 7 udowodnij analogiczne warunki dla półmartyngałów.

9. Niech (X _n ) _n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych posiadających skończoną wartość

oczekiwaną takich, że E(X n ) = 0 dla dowolnej liczby naturalnej n. Definiujemy M _n X ₁ + . . . + X _n

dla dowolnej liczby naturalnej n. Udowodnij, że (M _n ) _n∈N jest (F _n ^X )-martyngałem.

10. Niech (X _n ) _n∈N będzie ciągiem niezależnych, ograniczonych zmiennych losowych takich, że E(X _n ) = 1 dla n ∈ N . Definiujemy M n X 1 · . . . · X n . Udowodnij, że (M n ) n∈N jest (F _n ^X )-martyngałem.

11. Niech (X _n ) _n∈T będzie (F _n )-martyngałem, zaś ϕ: R → R funkcją wypukłą. Udowodnij, że jeśli ciąg (ϕ(X n )) n∈T jest całkowalny, to jest (F n )-podmartyngałem.

12. Niech (X _n ) _n∈T będzie (F _n )-podmartyngałem, zaś ϕ: R → R niemalejącą funkcją wypukłą. Jeżeli ciąg (ϕ(X n )) _n∈T jest całkowalny, to jest on (F n )-podmartyngałem.

13. Udowodnij, że (X n ) n∈T jest (F n )-podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy (−X n ) n∈T jest (F n )- nadmartyngałem.

14. Udowodnij, że jeśli (X t ) t∈T i (Y n ) n∈T są dwoma (F n )-martyngałami (odpowiednio (F n )-nadmartyngałami, (F _n )-podmartynagłami), zaś a i b dowolnymi liczbami rzeczywistymi (odpowiednio dodatnimi

liczbami rzeczywistymi), to (aX _n + bY _n ) _n∈T też jest (F _n )-martyngałem (odpowiednio (F _n )- nadmartyngałem, (F n )-podmartynagłem).

15. Udowodnij, że jeśli (X _n ) _n∈T jest (F _n )-podmartyngałem, to dla dowolnej liczby rzeczywistej a ciąg ((max{X n , a}) _n∈T jest (F n )-podmartyngałem. W szczególności uzasadnij, że (X _n ⁺ ) _n∈T jest (F _n )-podmartyngałem.

16. Udowodnij, że jeśli (X _n ) _n∈T jest (F _n )-nadmartyngałem, to dla dowolnej liczby rzeczywistej a ciąg (min{X _n , a}) _n∈T jest (F _n )-nadmartyngałem. W szczególności uzasadnij, że (−X _n ⁻ ) _n∈T jest (F n )-nadmartyngałem.

17. Udowodnij, że jeżeli (M _n ) _1≤n≤m jest (F _n )-nadmartyngałem, a τ i σ są momentami stopu wzglę- dem filtracji (F n ) 1≤n≤m takimi, że P ({τ ≤ m}) = P ({σ ≤ m}) = 1 oraz P ({σ ≤ τ }) = 1, to

E(M ₁ ) ≥ E(M _σ ) ≥ E(M _τ ) ≥ E(M _m ).

18. Udowodnij, że jeżeli (M _n ) _1≤n≤m jest (F _n )-podmartyngałem, a τ i σ są momentami stopu wzglę- dem filtracji (F n ) 1≤n≤m takimi, że P ({τ ≤ m}) = P ({σ ≤ m}) = 1 oraz P ({σ ≤ τ }) = 1, to

E(M ₁ ) ≤ E(M _σ ) ≤ E(M _τ ) ≤ E(M _m ).

19. Niech bedą spełnione założenia definicji transformaty martyngałowej. Udowodnij, że wówczas transformata martyngałowa jest (F _n )-martyngałem.

20. Niech (X _n ) _n≥1 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że P ({X _n = ±1}) = P ({X _n = 0}) = ¹ ₃ . Dla jakich wartości c ciąg (Y n ) _n≥1 , gdzie Y n =

 _n P

i=1

X _n

 2

− nc, jest (F _n ^X )- podmartyngałem, (F _n ^X )-martyngałem, (F _n ^X )-nadamrtyngałem?

21. Niech (X _n ) _n≥1 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o wartosciach oczekiwanych E(X n ) = m n 6= 0. Niech Y n

Q n i=1

X

m

. Udowodnij, że ciąg (Y n ) n≥1 jest (F _n ^X )-martyngałem.

22. Niech X będzie całkowalna zmienną losową, a (F _n ) _n∈T dowolną filtracją. Określamy X _n E(X|F _n ).

Udowodnić, że (X n ) n∈T jest (F n )-martyngałem.

23. Załóżmy, że (X _n ) _n≥1 jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie o

średniej 0. Niech Z 0 = 0, Z _n = X ₀ X ₁ + X ₁ X ₂ + . . . + X _n−1 X _n dla n ≥ 1. Udowodnić, że ciąg

(Z _n ) jest (F _n )-martyngałem.

24. Dany jest ciąg (X _n ) _n≥1 niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie P ({ξ _n =

±1} = ¹ ₂ . Niech X _n = ^{P n}

i=1

ξ _i dla n ≥ 1.

(a) Udowodnić, że (X _n ) _n oraz (X _n ² − n) _n≥1 są (F _n ^ξ )-martyngałami.

(b) Wyznaczyć taką wartość parametru a, by ciąg (a ⁿ cos X _n ) _n≥1 był (F _n ^ξ )-martyngałem.

(c) Udowodnić, że dla λ > 0, ciąg ^ exp ^ λX n − ^λ

₂ ^{n }

n≥1 jest (F _n ^ξ )-nadmartyngałem.

25. Niech q, p ∈]0, 1[, q + p = 1. Niech X _n oznacza pozycję w chwili n punktu startującego w chwili

0 z punktu 0 na prostej R i ∀ _n∈N poruszającego się w chwili n z prawdopodobieństwem p w

kierunku dodatnim, a z prawdopodobieństwem q w kierunku ujemnym. Udowodnij, że ( _p ^q ) ^X

jest (F _n )-martyngałem.