• Nie Znaleziono Wyników

1. Niech G będzie grupą, g ∈ G i k, l ∈ Z. Udowodnić, że (g

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Niech G będzie grupą, g ∈ G i k, l ∈ Z. Udowodnić, że (g"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

ALGEBRA 1B, Lista 2

1. Niech G będzie grupą, g ∈ G i k, l ∈ Z. Udowodnić, że (g

k

)

l

= g

kl

. 2. Niech G i H będą grupami, g ∈ G, m ∈ Z i f : G → H będzie

homomorfizmem. Udowodnić, że f (g

m

) = f (g)

m

.

3. Udowodnić, że złożenie homomorfizmów jest homomorfizmem i że funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem.

4. Udowodnić, że jeśli w grupie G dla każdego g ∈ G mamy g

2

= 1, to G jest przemienna.

5. Niech A będzie grupą przemienną i n ∈ Z. Udowodnić, że funkcja f : A → A, f (a) = na

jest homomorfizmem.

6. Podać przykład grupy G, dla której funkcja f : G → G, f (g) = g

2

nie jest homomorfizmem.

7. Udowodnić, że każda grupa rzędu 3 jest izomorficzna z Z

3

. 8. Udowodnić, że S

2

∼ = Z

2

, S

3

∼ = D

3

i że S

4

 D

4

.

9. Niech n > 1. Udowodnić, że:

(a) Obcięcie ·

n

jest działaniem na Z

n

\ {0} wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.

(b) Jeśli n jest liczbą pierwszą, to (Z

n

\{0}, ·

n

) jest grupą przemienną.

10. Niech

Z

∗n

:= {a ∈ Z

n

| (∃b ∈ Z

n

)(a ·

n

b = 1)}.

Udowodnić, że (Z

∗n

, ·

n

) jest grupą izomorficzną z Aut(Z

n

).

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 73.43 KB )

Powiązane dokumenty

będzie grupą, niech X będzie zbiorem generatorów grupy G, niech F będzie grupą wolną ze zbiorem wolnych generatorów X, a N � F taką podgrupą normalną, że G

Wówczas l(Hu) ≤ n, istnieje więc reprezentant b warstwy Hu taki, że każdy początkowy segment b jest również reprezentantem... Dowód prowadzimy przez indukcję ze względu

(1) Niech G będzie dowolną grupą

(15) Dowieść, że część wspólna wszystkich p-podgrup Sylowa grupy G jest jej podgrupą normalną.. (Wskazówka: Zauważyć, że jeśli H < G, to T{g −1 Hg : g ∈ G}

Udowodnić, że kxk∞= maxi|xi| jest normą

Wywnioskować stąd, że funkcja x 7→ kxk jest funkcją ciągłą..

Udowodnić, że (a) dimQR

[r]

Udowodnić, że S

Iloma zerami zakończone jest rozwinięcie dziesiętne liczby 1000!.. Iloma zerami zakończone jest przedstawienie w systemie szesnastko- wym

Wykaż, że funkcja g(x

[r]

2. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewnym σ-ciałem podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli test tej osoby dał wynik

1. Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Udowodnić, że jeśli P

Jakie jest praw- dopodobieństwo tego, że ostatnia kula jest