15 lutego 2021 – 26 lutego 2021

Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

Liga zadaniowa dla maturzystów – ETAP I MATEMATYKA

15 lutego 2021 – 26 lutego 2021

WA ˙ ZNE INFORMACJE

• Test wielokrotnego wyboru (mo˙ze by´c wi˛ecej ni˙z jedna poprawna odpowied´z; wszyst- kie odpowiedzi mog ˛ a by´c fałszywe).

• Link do karty odpowiedzi znajduje si˛e na stronie zzk.egrp.pl.

• Za ka˙zdy poprawnie rozwi ˛ azany podpunkt uzyskuje si˛e 1 punkt.

• Za ka˙zde w pełni poprawnie rozwi ˛ azane zadanie uzyskuje si˛e 1000 punktów.

ZADANIA

1 . O liczbie naturalnej k > 1 wiadomo, ˙ze ^k _k ⁺ ₋ ¹ ₁ jest tak ˙ze liczb ˛ a naturaln ˛ a. Zatem:

(a) k ² = 5k − 6; (b) k < 3; (c) ^k _k ⁺ ₋ ⁴ ₄ jest liczb ˛ a całkowit ˛ a;

2 . Dla pewnej liczby naturalnej k > 1 suma wszystkich jej dzielników naturalnych wynosi 2k (do sumy wliczone s ˛ a 1 oraz k). O sumie odwrotno´sci tych dzielników mo ˙zna powiedzie´c, ˙ze:

(a) jest równa 2; (b) jest liczb ˛ a wymiern ˛ a; (c) nie mo ˙ze by´c liczb ˛ a całko- wit ˛ a;

3 . Wiadomo, ˙ze równanie 2k + an = 0 spełnione jest przez dokładnie jedn ˛ a par ˛e liczb całkowitych ( k 0 , n 0 ) . Z tego wynika, ˙ze

(a) a = − 2; (b) k ₀ = n ₀ = 0; (c) a jest liczb ˛ a niewymiern ˛ a;

4 . O liczbach a, b, c wiadomo, ˙ze:

a > ¹

2 , b > ¹

2 ( 1 − a ) , c > ¹

2 ( 1 − a − b ) . Liczba l = 1 − a − b − c jest mniejsza od

(a) ¹ ₃ ; (b) ¹ ₇ ; (c) ¹ ₉ ;

5 . Niech liczby s, t, x b ˛ed ˛ a wi ˛eksze od 1. Warto´s´c wyra ˙zenia _log ^log

^x

st

x nie zale ˙zy od liczby

(a) s; (b) t; (c) x;