• Nie Znaleziono Wyników

Cwiczenie 1. Rozwi¸ ´ a˙z nier´ owno´sci

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Cwiczenie 1. Rozwi¸ ´ a˙z nier´ owno´sci"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

CWICZENIA Z MATEMATYKI I ´

Kilka dodatkowych rozwi¸ aza´ n J. de Lucas

Cwiczenie 1. Rozwi¸ ´ a˙z nier´ owno´sci

a) log 2 (x + 1) > 3, b) log

1

4

|x − 3| < −2, c) log x 2x − 1 x − 1 > 1.

Cwiczenie 2. Rozwi¸ ´ a˙z r´ ownania

a) log  1 2 + x



= log  1 2



− log x, b) log 4 [2 log 3 [1 + log 2 [1 + log 2 x]]] = 1 2 . Cwiczenie 3. Rozwi¸ ´ a˙z r´ ownania

a) 3 5x−8 = 27 x−3 , b) 7 x−4 = ( √

3

7) 2−3x , c) 6 x−5 · 36 2x+2 = 36.

Cwiczenie 4. Rozwi¸ ´ a˙z nier´ owno´sci

a) 1

2 x − 1 < 1

1 − 2 x−1 , b)  1 5

 −x+1

≤  1 25

 x

2

, c) 2 2|x+1| ≥ 1 81 . Rozwi¸ azanie:

Cz¸e´s´ c a) Nier´ owno´s´ c ma sens kiedy x / ∈ {0, 1}. Mo˙zemy zdefiniowa´c u = 2 x−1 i pami¸etamy, ˙ze zawsze u > 0. Wtedy

1

2 x − 1 < 1

1 − 2 x−1 ⇔ 1

2u − 1 < 1

1 − u ⇔ 1

2u − 1 − 1

1 − u < 0 ⇔ 1 − u − 2u + 1 (2u − 1)(1 − u) < 0

i 2 − 3u

(2u − 1)(1 − u) < 0. (4.1)

Mianownik jest dodatni dla u < 2/3 i ujemny dla u > 2/3. Natomiast, 2u − 1 > 0 dla u > 1/2 i ujemny u < 1/2 i 1 − u jest dodatnie dla u < 1 i ujemny dla u > 1. Wi¸ec, prawa strona (4.1) jest ujemna dla

u ∈ (2/3, 1) ∪ (0, 1/2).

W´ owczas, a) jest si¸e spe lnia

x ∈ (log 2 2/3 + 1, 1) ∪ (−∞, 0).

1

(2)

CWICZENIA Z MATEMATYKI I ´

Cz¸e´s´ c b) Nier´ owno´s´ c jest dobrze zdefiniowana dla ka˙zdej x. Mamy, ˙ze

 1 5

 −x+1

≤  1 25

 x

2

⇔ 5 x−1 ≤ 5 −2x

2

⇔ x − 1 ≤ −2x 2 ⇔ x − 1 + 2x 2 ≤ 0.

Ostatnie wielomian ma pierwiastki

x ± = −1 ± p1 − 4 · 2 · (−1)

4 = −1 ± 3

2

czyli x = −2 i x = 1. Skoro wsp´ o lczynnik x 2 jest 2 ta parabola ma ramione do g´ ory i jest niedodatnia dla x ∈ [−2, 1]. To rozwi¸ azanie naszej nier´ owno´sci.

Cz¸e´s´ c c) Nier´ owno´s´ c jest dobrze zdefiniowana dla ka˙zdej x.

2 2|x+1| ≥ 1

81 ⇔ log 2 2 2|x+1| ≥ log 2 3 −4 ⇔ 2|x + 1| ≥ −4 log 2 3 ⇔ |x + 1| ≥ −2 log 2 3 Skoro log 2 3 > 1, to ∀x ∈ R, 2 2|x+1|81 1 .



2

(3)

CWICZENIA Z MATEMATYKI I ´

Cwiczenie 5. Roz l´ ´ o˙z wielomian na czynniki liniowe

a) x 3 − 6x 2 + 11x − 6, b) x 3 − 5x 2 − 17x + 21, c) x 4 − 10x 2 + 1.

Cwiczenie 6. Rozwi¸ ´ a˙z nier´ owno´sci

a)

2x − 4 x + 1

≤ 2, b) x + 3 x + 1 + 8

x − 5 < x − 13 x 2 − 4x − 5 . Cwiczenie 7. Rozwi¸ ´ a˙z

a)z 2 + (4 − 2i)z + (7 − 4i) = 0 b) z 2 + z + (3 − 15i) = 0.

3

Cytaty

Powiązane dokumenty

Plan wykÃladu nr 13: CaÃlkowanie c.d..

Samochód ma pokona´c nierówno´s´c w kształcie klina (patrz rys.. Kr ˛a˙zki pchni˛eto, przy czym pierwszemu nadano tylko ruch post˛epowy, a drugiemu tak˙ze ruch obrotowy.

Ka˙zdy element zbioru F ma tylko jeden element

[r]

[r]

Ponadto, w ∂K tylko mamy jeden

Oblicz obj¸eto´s´ c r´ ownoleg lo´scianu zbu- dowanego z tych wektor´ ow oraz powierzchni ich ´scian.. Oblicz k¸ aty

(a) Pokaza´ c, ˙ze r´ owna mieszanka dw´ och maksymalnie spl¸ atanych stan´ ow (tzn np3. Informacja nie mo˙ze by´ c przekazywana szybciej ni˙z ´ swiat