Zadanie 1. Opieraj¡c si¦ na denicji ci¡gªo±ci jednostajnej pokaza¢, »e funkcja f(x) = x1 jest ci¡gªa jednostajnie na przedziale [1, +∞[.

ANALIZA I 18 i 21 listopada 2014

Semestr zimowy Lista X

Ciagªo±¢ jednostajna i ró»niczkowalno±¢

Javier de Lucas

Zadanie 1. Opieraj¡c si¦ na denicji ci¡gªo±ci jednostajnej pokaza¢, »e funkcja f(x) = _x ¹ jest ci¡gªa jednostajnie na przedziale [1, +∞[.

Zadanie 2. Opieraj¡c si¦ na denicji ci¡gªo±ci jednostajnej pokaza¢, »e funkcja f(x) = x ² jest ci¡gªa jednostajnie na przedziale ]0, 2[.

Zadanie 3. Opieraj¡c si¦ na denicji ci¡gªo±ci jednostajnej pokaza¢, »e funkcja f(x) = _x ¹ nie jest ci¡gªa jednostajnie na przedziale ]0, +∞[.

Zadanie 4. Opieraj¡c si¦ na denicji ci¡gªo±ci jednostajnej pokaza¢, »e funkcja f(x) = x ² nie jest ci¡gªa jednostajnie na przedziale ]0, +∞[.

Zadanie 5. Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ funckcji:

f (x) =

( e ⁻

, x > 0, x ⁿ , x ≤ 0

Zadanie 6. Zbada¢, czy istnieje pochodna funkcji f(x) = |x| w punkcie x = 0.

Zadanie 7. Zbada¢, czy istnieje pochodna funkcji f(x) = sgn x w punkcie x = 0.

Zadanie 8. Dane s¡ funkcje:

f (x) =

( x ² + 1, x > 0

2, x = 0 f (x) =

( x ² + 1, x > 0

1, x = 0 .

Oblicz f ⁰ (0 ⁺ ) .

Zadanie 9. Dana jest funkcja f(x) = p|x|, x ∈ R. Zbadaj dla jakich x ∈ R istnieje pochodna f(x).

Zadanie 10. Dla jakiego a funkcja f(x) =

( _ln(1+x)

x , dla x > −1 i x 6= 0,

a, dla x = 0 .

jest ró»niczkowalna w punkcie x = 0?

1