• Nie Znaleziono Wyników

Poda¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Poda¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

4. SZEREGI TAYLORA i FUNKCJE CAŠKOWITE

1. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci podanych ni»ej szeregów pot¦gowych, a nast¦pnie zbada¢ ich zbie»no±¢ na brzegu koªa zbie»no±ci:

a)

X

n=1

zn

(1 − i)n b)

X

n=1

zn

n c)

X

n=1

(z − 1 + i)n n√

n d)

X

n=1

(−1)n ln(n + 2)z2n.

2. Funkcj¦

f (z) = 1 2z + 1

rozwin¡¢ w szereg pot¦gowy o ±rodku w punkcie z0 = i. Poda¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu.

3. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = 0 dla funkcji f(z) = sinh z i poda¢ jego promie« zbie»no±ci.

4. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = i − 2 dla funkcji f(z) = Lnz.

Obliczy¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu. Czy mo»na u»y¢ otrzymanego rozwini¦cia do wyznaczenia warto±ci Ln(−2 − 101i)?

5. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w z0 = 0 funkcji f(z) = arctan z (gaª¦zi gªów- nej funkcji odwrotnej do tan) i obliczy¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu.

6. Niech α ∈ C \ {0}. Znale¹¢ rozwini¦cie w szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = 0 gaª¦zi gªównej funkcji f(z) = (1 + z)α.

7. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = 0 dla funkcji f(z) = sin2z.

Czy funkcja g(z) = sin2(√

z) jest caªkowita?

8. Gaª¡¹ Ÿ gªówn¡ funkcji f(z) = ln1+z1−z22 rozwin¡¢ w szereg Taylora o ±todku w punkcie z0 = 0. Wykaza¢, »e funkcja

g(z) = 1

zLn1 + z2 1 − z2 jest holomorczna w D(0, 1).

9. Udowodni¢ nast¦pij¡c¡ wersj¦ reguªy de l'Hospitala:

Niech f i g b¦d¡ funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu z0 ∈ C, przy czym f (z0) = g(z0) = 0 oraz g nie jest stale równa 0. Wówczas

z→zlim0

f (z)

g(z) = lim

z→z0

f0(z) g0(z),

w tym sensie, »e obie granice istniej¡ i s¡ sko«czone albo obie s¡ niesko«czone.

1

(2)

2

10. Znale¹¢ funkcj¦ caªkowit¡ f tak¡, »e:

f (−i) = 1 oraz f(n)(−i) = (−i)n dla dowolnego n ≥ 1.

Poda¢ wzór na f i obliczy¢ f(0).

11. Wyznaczy¢ krotno±ci wszystkich zer funkcji f(z) = (cosh z)3.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Je»eli granica po prawej stronie nierówno±ci istnieje i jest sko«czona, to mówimy, »e caªka niewªa±ciwa funkcji f na (a, b] jest zbie»na, w przeciwnym przypadku mówimy, »e

[r]

Nast¦pnie znajd¹ maksymalny bª¡d interpolacji na przedziale [−3, 5] (badaj ró»nic¦ pomi¦dzy funkcj¡ a wielomianem w punktach jakiej± wystarczaj¡co g¦stej siatki).. Sprawd¹

Jest to jedyny punkt nieci¡gªo±ci funkcji

Poniewa» jest okresowa, to jest ci¡gªa we wszystkich punktach swojej

Granica ta jest zerem niezale»nie od x, a wi¦c szereg pot¦gowy jest zbie»ny dla ka»dego x... Oba fakty

[r]

Podaj kilka przykªadów szeregów warunkowo