4. SZEREGI TAYLORA i FUNKCJE CAKOWITE
1. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci podanych ni»ej szeregów pot¦gowych, a nast¦pnie zbada¢ ich zbie»no±¢ na brzegu koªa zbie»no±ci:
a)
∞
X
n=1
zn
(1 − i)n b)
∞
X
n=1
zn
n c)
∞
X
n=1
(z − 1 + i)n n√
n d)
∞
X
n=1
(−1)n ln(n + 2)z2n.
2. Funkcj¦
f (z) = 1 2z + 1
rozwin¡¢ w szereg pot¦gowy o ±rodku w punkcie z0 = i. Poda¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu.
3. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = 0 dla funkcji f(z) = sinh z i poda¢ jego promie« zbie»no±ci.
4. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = i − 2 dla funkcji f(z) = Lnz.
Obliczy¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu. Czy mo»na u»y¢ otrzymanego rozwini¦cia do wyznaczenia warto±ci Ln(−2 − 101i)?
5. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w z0 = 0 funkcji f(z) = arctan z (gaª¦zi gªów- nej funkcji odwrotnej do tan) i obliczy¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu.
6. Niech α ∈ C \ {0}. Znale¹¢ rozwini¦cie w szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = 0 gaª¦zi gªównej funkcji f(z) = (1 + z)α.
7. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = 0 dla funkcji f(z) = sin2z.
Czy funkcja g(z) = sin2(√
z) jest caªkowita?
8. Gaª¡¹ gªówn¡ funkcji f(z) = ln1+z1−z22 rozwin¡¢ w szereg Taylora o ±todku w punkcie z0 = 0. Wykaza¢, »e funkcja
g(z) = 1
zLn1 + z2 1 − z2 jest holomorczna w D(0, 1).
9. Udowodni¢ nast¦pij¡c¡ wersj¦ reguªy de l'Hospitala:
Niech f i g b¦d¡ funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu z0 ∈ C, przy czym f (z0) = g(z0) = 0 oraz g nie jest stale równa 0. Wówczas
z→zlim0
f (z)
g(z) = lim
z→z0
f0(z) g0(z),
w tym sensie, »e obie granice istniej¡ i s¡ sko«czone albo obie s¡ niesko«czone.
1
2
10. Znale¹¢ funkcj¦ caªkowit¡ f tak¡, »e:
f (−i) = 1 oraz f(n)(−i) = (−i)n dla dowolnego n ≥ 1.
Poda¢ wzór na f i obliczy¢ f(0).
11. Wyznaczy¢ krotno±ci wszystkich zer funkcji f(z) = (cosh z)3.