Nieliniowość podłoża przy modelowaniu układu dynamicznego pojazd szynowy - tor

M IĘDZY N A RO D O W A K O NFEREN CJA N A U K O W O -TEC H N IC ZN A

ZESZYTY NA UK O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1999 POJAZDY S ZY N O W E N O W EJ G ENER A C JI ‘99 TRA N SPO RT z.35. nr kol. 1415

Zbigniew CICH O CK I Andrzej GRZYB

PKP CN TK Zakład M echaniki Taboru Pracow nia Hamulców, Politechnika K rakow ska

NIELINIOWOŚĆ PODŁOŻA PRZY MODELOWANIU UKŁADU DYNAMICZNEGO POJAZD SZYNOWY - TOR

S tre szc ze n ie . W artykule przedstaw iono problem doboru nieliniow ego modelu układu dynam icznego pojazd szynowy-tor z w ykorzystaniem w yników badań eks­

perym entalnych.

NONLINEARITY OF FOUNDATION BY MODELLING DYNAMICAL SYSTEM: RAIL VEHICLE-TRACK

Sum m ary. In the paper the problem o f a choice of a nonlinear model for a dy­

namical system: rail v ehicle-track is presented. The results of the experim ental investigation have been taken into account.

Rozwój teorii m odelow ania i sym ulacji kom puterowej zjawisk fizycznych spraw ił, że w literaturze spotkać m ożna d u żą liczbę publikacji dotyczących problem atyki m odelow ania i analizy zjaw isk w układzie pojazd szynowy-tor. Prace te m ożna podzielić na dw ie grupy:

1) prace zaw ierające obszerny przegląd literaturowy, m iędzy innymi: [7, 11, 13, 14],

2) prace, które om aw iają konkretny temat, np. m odelow anie toru, lub zaw ierają rozw iązania wybranych zagadnień z zakresu om awianej tematyki, przykładow o prace [1, 2, 3, 8, 9].

Przegląd literatury (reprezentatyw ne prace zam ieszczam y w wykazie) w skazuje, że autorzy przeważnie nie podejm ow ali dotychczas zagadnienia uw zględnienia nieliniow ości podłoża drogi kolejow ej. W yniki prac, w których rozw ażano nieliniowość podłoża, np. [7, 10], oka­

zują się jeszcze niew ystarczające na potrzeby praktyki kolejowej. Ś w iadczą o tym wyniki po­

m iarów uzyskanych m iędzy innymi na kolejach DB [12], W skazują one, że nieliniow e cha­

rakterystyki podłoża należy dokładniej opisać i uw zględnić w analizie.

1. W STĘP

12 Z. C ichocki, A. Grzyb

W artykule przedstaw iam y sposób wykorzystania danych uzyskanych w trakcie badań rze­

czyw istego toru do budow y i analizy modelu dynam icznego pojazd szynowy - tor, z uw zględnieniem nieliniow ości podłoża. Zam ieszczony przykład pierw szego przybliżenia uw zględnienia nieliniow ości pozw ala porównać rezultaty otrzym ane teoretycznie z wynikam i badań eksperym entalnych.

2.OPIS M O DELU U K ŁA D U POJA ZD SZY NO W Y - TO R PRZYJĘTEGO DO ANALIZY

Do analizy przyjm ujem y układ m echaniczny przedstaw iony na rys. 1. U kład ten m ożna traktować w szczególności ja k o m odel toru i jadącego po nim pociągu. Jest to ciągły układ dynam iczny, w którym po prostoliniow ej nieskończenie długiej belce o m odelu Tim oshenki porusza się ze stałą prędkością niezm ienny w czasie zespół obciążeń.

R ys. 1. M o d el fiz y c z n y p rz y ję ty d o b a d a ń s y m u la c y jn y c h

Fig. 1. P h y sical m o d e l o f sy ste m a ss u m e d in lo sim u la tio n W cstigalions

Skupione siły pionow e reprezentują naciski w ywołane przez zestaw y kołow e dw óch są­

siednich w ózków , a obciążenie ciągłe o dow olnym kształcie je st obciążeniem obliczeniow ym , którego działanie pozw ala uw zględnić w pływ nieliniow ości w analizowanym układzie.

W prow adzam y układ w spółrzędnych O x , ź zw iązany z belką (nieruchom y) oraz ruchom y układ współrzędnych O x , z zw iązany z poruszającym się w zdłuż belki obciążeniem .

Ruch belki w układzie nieruchom ym O x , z opisuje następujący układ rów nań różniczko­

wych cząstkow ych:

ruchomy z e sp ó ł obciążeń p v = p v(xi,t)

O

V z _V z

(1)

N ieliniowość podłoża przy m odelowaniu.. 13

gdzie:

A - pole pow ierzchni przekroju belki, E - moduł sprężystości podłużnej, G - m oduł sprężystości poprzecznej, I - m om ent bezw ładności przekroju belki,

m 0 - zew nętrzne obciążenie reakcyjne m om entow e rozłożone w sposób ciągły, N - zadana siła podłużna,

p y - zadane ruchom e obciążenie ciągłe,

po - zew nętrzne obciążenie reakcyjne siłow e rozłożone w sposób ciągły, r - prom ień bezw ładności przekroju belki (/ = A r ) ,

t - czas,

w - ugięcie belki,

k - w spółczynnik ścinania T im oshenki,

p - gęstość liniow a (m asa jednostki długości) belki, l/r- kąt obrotu przekroju belki.

Przyjmujemy, że linię ugięcia belki:

w = w ( x ,,r ) wywołują następujące obciążenia:

P v = p v ( x , , 0 , Po = P o ( x ], t ) , m 0 = m 0( x t , t ) oraz N.

Zew nętrzne obciążenia reakcyjne siłowe i m om entow e jako zależne od przem ieszczeń wywołanych drganiam i belki w yrażają się następującym i wzorami:

, d w . <9y/

Po = CP w + hr + Po ■ " h = c mW + bm — , gdzie:

p'0 - oznacza składnik nieliniow y,

cp , cm- stałe sprężystości składow ej liniowej charakterystyki podłoża odniesione do je d ­ nostki długości belki,

bp, b,„ - stałe tłum ienia składow ej liniowej charakterystyki podłoża odniesione do jednostki długości belki.

Poszukując rozw iązań stacjonarnych w prow adzam y nowe bezw ym iarow e zm ienne:

X, - V! W

x = ---, u = — ,

r w ,

gdzie: v oznacza prędkość ruchu obciążenia (jazdy pociągu), a Wj. przyjętą, stałą, dodatnią wartość ugięcia w.

d

Pochodną w zględem x, czyli — oznaczam y ( ) .

d x

W prow adzenie zm iennej x oraz przejście do układu ruchom ego spow odow ało, że pochod­

ne cząstkowe w yrażają się pochodnym i zw yczajnym i i rów nania drgań belki (1) przyjm ują postać równań różniczkow ych zwyczajnych. N astępnie w wyniku elim inacji kąta y/ oraz w prow adzenia kilku bezw ym iarow ych param etrów otrzym ujem y rów nanie różniczkow e zw y­

czajne czw artego rzędu na u ( x ) , które w form ie zwartej je st następujące:

F [ «M] + / [ « ( * ) ] (2)

14 Z. Cichocki. A. Grzyb

w którym:

F[m(a-)] =

)2

-

2) +

2)]«'" +

Ą v 2

(v,2 +1 +

+ C) - (5 + C)V,2 -

- (3) -2v[/b(v,2 + c ) + f ] « ' + (v,2

/[«(*)] = (V2

(4)

^/,[pv(a-)]=(v2

+ c)p,.(x). (5)

W spółczynniki rów nania (2) wyrażone są za pom ocą przyjętych param etrów bezw ym iaro­

wych, które charakteryzują układ dynamiczny. Opisane są one następującym i wzoram i:

D ( y ' - ) = ( v ' - v ; \

v = i

v , = i (M

r \ ! c r r ] c r * r \ c r

b b N c

b = — A = .

c = - ^ - ,

2< c p p 2 r \ lc r P r c P r c n

P ’o = P'0 ["(x)]= — . P,. = Py( x ) = — , p, = C W .

P, P,

W przypadku liniowym ruch belki w układzie ruchomym Ox\z (zw iązanym z ruchomym obciążeniem) opisuje rów nanie różniczkow e zwyczajne (2) czw artego rzędu, w którym

F [u(x)] jest składnikiem liniowym , a /[ » ( a -)] składnikiem nieliniowym.

Porów nując w yrażenia (4) i (5) m ożem y zapisać:

/ [ « ( * ) ] = g r { p 0'[ u ( a ) ] } . (6)

Jeżeli zatem w prow adzim y pom ocniczą funkcję:

A * ( * ) = -F o ‘ [“ (*)]■ (7)

to wyrażenie (6) przyjm ie postać:

/ [ « U ) ] = - g p [p„(x)]. (8)

W stawiając (7) do (2) otrzym ujemy:

a po przekształceniu:

F[u(.v)] = g j p , . ( ż ) + p „ { x ) ] . (9) N a podstaw ie w zajem nie równow ażnych równań różniczkowych (2) i (9) m ożem y stw ier­

dzić, że wpływ składnika nieliniow ego m oże być uw zględniony przez w prow adzenie dodat­

kowego (obliczeniowego), ruchom ego obciążenia ciągłego p,„(x), poruszającego się wraz z zadanym obciążeniem eksploatacyjnym pj.(x). Rów nanie (9) jest rów naniem nieliniow ym ze względu na t t{x), poniew aż zgodnie z w yrażeniem (7), funkcja u(x) w ystępuje ogólnie nieliniowo w p va{ x ) . Przy w yznaczaniu funkcji u(x) posługujem y się m etodą kolejnych przy­

bliżeń:

Nieliniowość podłoża przy m odelowaniu.. 15

1° Zakładam y, że pierw szym przybliżeniem rozw iązania równania różniczkow ego nieli­

niowego (9) je st rozw iązanie je g o przybliżenia liniowego u0( x ) . czyli:

F [« o W ] = g , [ ? v W ] . ' ( ‘ O)

2° Po w yznaczeniu funkcji u0(x) przechodzimy do równania nieliniow ego (9), w którym na podstaw ie (7), za funkcję j?ra(x) podstawiamy:

P » iW = - P « k W ] ' (>')

W rezultacie otrzym ujem y rów nanie różniczkow e liniowe, zastępujące w pierw szym przy­

bliżeniu rów nanie nieliniow e (9):

f [ u , (x)]

=

nie, podobnie ja k za pierw szym razem , korzystając z (7) m ożem y wyznaczyć kolejne przybli­

żenie funkcji p vil{x):

p ra2(x) = - p ó [ iil (x )]. (13)

Pozw ala to, podobnie ja k w poprzednim kroku, wyznaczyć kolejne przybliżenie funkcji u ( x ) :

F [ lh W ] = S r [Pv M + P*o2 W ] ■ ( 14 >

W ten sposób m ożem y w yznaczać dalsze wyrazy ciągu kolejnych przybliżeń uk , uł+l funkcji w (x). Z a pom ocą odpow iedniego kryterium sprawdzamy, czy różnica pom iędzy kolejnymi przybliżeniam i funkcji u (x ), tzn. (wł+l - u k ), jest dostatecznie mała. Pojaw iające się w ciągu kolejnych przybliżeń funkcji u(x) wyrażenia p „ ,|( x ), p m2( x ) , .. ., p rał(x) m oże­

my traktować ja k o dodatkow e ruchom e obciążenia. W ten sposób rzeczyw isty ulęład nielinio­

wy m ożem y zastąpić układem liniowym , w którym oprócz obciążeń rzeczyw istych działają obciążenia dodatkowe. W przypadku zbieżności ciągu wł (x) ten zastępczy układ liniowy, pod wpływem obciążeń rzeczyw istych działających na układ nieliniow y i ostatniego z ciągu obli­

czanych obciążeń dodatkow ych p,.a t(x), zachowuje się tak samo, jak układ nieliniowy. D o­

datkowe obciążenia, które nazw aliśm y obliczeniowymi, przybierają postać obciążeń ciągłych o dowolnych zw ykle kształtach.

Przyjm ując z kolei konkretny przypadek obciążenia toru oraz charakter nieliniow ości cha­

rakterystyki podtorza m ożna w yznaczyć konkretne obciążenia dodatkowe, czyli p m( x ) . Przykłady kształtów obciążeń dodatkowych, jakie m ożna spotkać przy analizie przypadku prostych obciążeń toru dla pierw szego przybliżenia, czyli p m,(x ) , przedstaw iono w pracy [5].

W pracy tej podano rów nież sposób analitycznego uwzględnienia obciążeń ciągłych o dowolnym kształcie polegający na wykorzystaniu teorii funkcji sklejanych i przybliżaniu tych obciążeń funkcjam i sklejanym i do stopnia trzeciego włącznie.

3. O BUDOW IE M O D ELU N IELINIO W EG O , DAJĄCEGO W YNIKI M O ŻLIW IE ZBLIŻONE DO U ZY SK A N Y CH DROGĄ EKSPERY M ENTALNĄ

Rys. 2 przedstaw ia wyniki badań eksperymentalnych uzyskanych na kolejach niem ieckich DB [12], Są to ugięcia toru w yw ołane przejazdem dwóch wózków sąsiednich w agonów p o ­ ciągu ekspresow ego ICE przejeżdżającego z prędkością 250 km /h, ze statycznym naciskiem

16 Z. Cichocki, A. Grzyb

wywoływanym przez jeden zestaw kołow y wynoszącym 140 kN. Rysunek przedstaw ia dwa wykresy ugięć w yw ołanych przejazdem sąsiednich w ózków dw óch kolejnych wagonów. G ór­

ny wykres dotyczy pionow ych ugięć zarejestrowanych czujnikiem przym ocow anym do szyny, a dolny czujnikiem przym ocow anym do podkładu.

Zakładam y, że podczas pom iaru eksperym entalnego chwila, w której środek odległości m iędzy wózkam i znajduje się nad czujnikiem pomiarowym , m oże być przyjęta ja k o początek ruchom ego układu w spółrzędnych O x t z . W naszym przypadku w chw ili tej t = 0,15 s, zgod­

nie z położeniem w agonów przedstaw ionym na rys. 2.

R ys. 2. W yniki b a d a ń e k sp e ry m e n ta ln y c h [12]

Fig. 2. R esu lts o f e x p e rim e n ta l re s e a rc h [ 12]

Na rys. 3 przedstaw iono m odel odpow iadający param etram i pociągow i badanem u na DB, utworzony w celu porów nania w yników analizy teoretycznej z badaniam i na rzeczywistym obiekcie.

R ys. 3 . M o d el d o a n a liz y te o re ty c z n e j F ig . 3. M o d el fo r th e o re tic a l a n a ly sis

N ieliniowość podłoża przy m odelow aniu.. 17

U tw orzenie m odelu teoretycznego wym aga przyjęcia konkretnych w artości param etrów opisujących układ rzeczyw isty. C zęść tych param etrów, takich ja k prędkość jazdy, naciski zestawów kołow ych, param etry szyn, je st znana. Jednak niektóre w łaściw ości fizyczne toru nie były podane. D otyczy to param etru cp., czyli stałej sprężystości składow ej liniowej cha­

rakterystyki podłoża odniesionej do jednostki długości toru. W edług naszych szacunków w cytowanym eksperym encie w artość c,, wynosiła od 200 do 250 MN/m". W analizie założy­

liśmy wartość cp = 230 M N /m 2. Przyjęte wartości param etrów pozw oliły przeliczyć w spół­

rzędne w ym iarow e w ykresu z eksperym entu (góm a krzyw a dotycząca pom ierzonych ugięć szyny) na stosow ane w analizie w spółrzędne bezwym iarowe. N a rys. 4 przedstaw iono wykres ugięcia szyny z eksperym entu DB w ykonany we w spółrzędnych bezw ym iarow ych.

R y s. 4 . B e z w y m ia ro w e u g ię c ie szy n o b lic z o n e na p o d sta w ie e k sp e ry m e n tu DB F ig . 4. D im c n sio n le s s d e fle c tio n o f ra ils c a lc u la te d on b a sis o f D B e x p e rim e n t

Opierając się na opisanej w poprzednim rozdziale teorii utw orzyliśm y m odel liniowy z takimi sam ym i param etram i prędkości, toru i sposobu obciążenia, ja k w eksperym encie DB.

Rys. 5 przedstaw ia, w yznaczoną na drodze teoretycznej, funkcję bezw ym iarow ego ugięcia toru (do m odelu przedstaw ionego na rys. 3 z podłożem o liniowej charakterystyce), w przypadku obciążenia go układem czterech ruchom ych sił skupionych (odpow iednio do badań na DB przyjęto naciski w yw ołane przez dw a wózki sąsiednich w agonów i zbliżone do układu rzeczyw istego pozostałe param etry). Bezw ym iarowe siły m ają w artość 110 i rozm iesz­

czone są w punktach x o w spółrzędnych: -80, -40, 40 i 80.

-utul

R y s. 5. B e z w y m ia ro w e u g ię c ia to ru d o m o d e lu p rz e d sta w io n e g o n a ry s. 3 F ig . 5 . D im e n sio n le s s tra c k d e fle c tio n fo r m o d el o n F ig . 3

18 Z. C ichocki, A. Grzyb

Porów nując przedstaw ione wykresy (rys. 4 i 5) możemy zauważyć, że wyniki analizy teo­

retycznej układu liniow ego nie odzw ierciedlają w sposób zadow alający rezultatów badań eks­

perymentalnych. N aszym zdaniem różnice w ynikają głów nie.z faktu, że w rzeczyw istości od­

powiedniejszym m odelem układu dynam icznego pojazd szynowy - tor je st model uw zględ­

niający nieliniow ość.

W przykładzie num erycznym przyjm ujem y model nieliniow ości sprężystości przedstaw io­

ny na rys. 6 i nieliniow ości tłum ienia na rys. 7.

Param etry charakterystyki sprężystości: załam ania przy dodatnim i ujem nym u (-0,04 i 2,00 ) oraz w spółczynniki kierunkow e w ynoszące odpowiednio 0,2 i 1,3.

Param etry charakterystyki tłum ienia przybliżającej tarcie suche: części poziom e m ają wartości bezw ym iarow e -0 . 2 i +0.2.

Do tak przyjętych charakterystyk nieliniow ości wyznaczamy obciążenia obliczeniow e, któ­

re działając w raz z obciążeniam i eksploatacyjnym i dadzą zastępczy układ liniowy, który może zachowywać się w sposób zbliżony do układu rzeczywistego.

R ys. 6. N ie lin io w a c h a ra k te ry sty k a sp rę ży sto ści F ig . 6. N o n lin e a r c h a ra c te ris tic o f ela stic ity

p d B |u *}/(> tu*» vdl

1

-1 -0.5 0 C .5 1

R ys. 7. N ie lin io w a c h a ra k te ry sty k a tłu m ie n ia F ig . 7. N o n lin e a r c h a ra c te ris tic o f d a m p in g

Rys. 8 przedstaw ia sum aryczne dodatkowe obciążenia pochodzące od nieliniow ych cha­

rakterystyk sprężystości i tłum ienia. Sposób analitycznego uw zględnienia obciążeń ciągłych o tak złożonym kształcie polega na wykorzystaniu teorii funkcji sklejanych i przybliżaniu tych obciążeń funkcjam i sklejanym i do stopnia 3 w łącznie [4, 5]. W naszym przykładzie obciąże­

nia obliczeniow e przybliżam y funkcjami sklejanym stopnia 1, czyli krzyw ą łamaną.

Nieliniowość podłoża przy m odelow aniu. 19

• 200 -100 0 100 200

R y s. 8. S u m a ry c z n e o b c ią ż e n ie o b lic z e n io w e F ig . 8. T o ta l c o m p u ia tio n a l lo ad

W pierw szym przybliżeniu uw zględnienia przyjętej nieliniow ości, przy ruchu obciążeń eksploatacyjnych i dodatkow ych, otrzym ujem y wykres bezw ym iarow ego ugięcia zam ieszczo­

ny na rys. 9.

-u 1 * 1

R y s. 9 . U g ię c ie to ru w y z n a c z o n e p rz y z a ło ż e n iu n ie lin io w o śc i p o d ło ż a F ig . 9. T r a c k d e fle c tio n u n d e r a ssu m p tio n o f n o n lin e a rity o f fo u n d a tio n

4. W NIO SKI

U w zględnienie nieliniow ości podłoża zbliża wyniki analizy teoretycznej do rezultatów ba­

dań eksperym entalnych. O bserw ujem y w zrost wartości uniesienia toru oraz zm niejszenie ugięcia m aksym alnego. Pam iętać należy, że przykład pokazuje jedynie pierw sze przybliżenie rozwiązania. Z dotychczasow ych dośw iadczeń autorów wynika że zbieżność szeregu przybli­

żeń uzyskuje się w granicach od 5 do 10 kroku iteracyjnego. Stopień zbliżenia do rzeczyw i­

stości zależy od doboru typu nieliniow ości oraz w artości jej parametrów. W ym aga to w yko­

nania licznych sym ulacji kom puterow ych. B ędzie to przedm iotem dalszych analiz. N a obec­

nym etapie m ożna - naszym zdaniem - stw ierdzić, że m etoda daje wyniki pozw alające opra­

cować taki m odel nieliniow ego układu dynam icznego pojazd szynowy - tor, który m oże być w dużym stopniu przydatny do zastosow ania w praktyce.

20 Z. Cichocki, A. Grzyb

LITERATURA

1. A chenbach I. D., Sun C, T.: M oving load on a flexibly supported Tim oshenko beam . Int.

J. Solids Structures, 1, 1965, s. 353-370.

2. Bogacz R.: On dynam ics and stability o f continuous systems subjected to a distributed moving load. Ingenieur A rchiv, 53, 1983, s. 243-255.

3. Bogacz R., R ozenbajgier Z.: Stacjonarne drgania belki spoczywającej na półprzestrzeni lepkosprężystej wywołane" ruchom ym obciążeniem . Prace N aukow e Politechniki W ar­

szaw skiej, ser. M echanika, z. 63, W arszaw a 1979, s. 45-71.

4. Cichocki Z., Grzyb A.: A naliza drgań belki Tim oshenki przy ruchom ych obciążeniach ciągłych o dowolnym kształcie. Zbiór referatów IV W arsztatów N aukow ych PTS K - Jele­

nia G óra 1997, Sym ulacja w badaniach i rozwoju, W arszaw a 1998, s. 48-57.

5. Cichocki Z.: D rgania toru kolejow ego wyw ołane ruchem pojazdów. Zeszyty N aukow e Politechniki Śląskiej, ser. Transport, z 31, G liwice 1998, s. 57-68.

6. Grzyb A.: On Dynam ie Properties o f Tw o M odels of Beam on N onlinear Foundation Subjected to M oving Load. Engineering Transactions, 41, 3-4, 1993, s. 337-350.

7. Grzyb A.: D rgania układów ciągłych pod wpływem bezinercyjnych obciążeń ruchomych w zastosow aniu do problem ów transportu. M onografia nr 174, P olitechnika K rakow ska, s. M echanika, K raków 1994, s. 1-165.

8. Grzyb A.: P odstaw y teoretyczne analizy nieliniowego układu dynam icznego pojazd - tor.

Politechnika Krakow ska, ZN Politechniki Krakowskiej nr 10, Kraków 1996, s. 47-60.

9.- Grzyb A.: A naliza zachow ania lepko-sprężysto-plastycznego podłoża poddanego działa­

niu dowolnych ruchom ych obciążeń. Zbiór referatów III W arsztatów N aukow ych PTSK - W igry 1996, Sym ulacja w badaniach i rozwoju, W arszawa 1997, s. 32-41.

10. Jem ielita G., Szczęśniak W.: Sposoby m odelow ania podłoża. Prace N aukow e Politechniki W arszaw skiej, ser. B udow nictw o, z. 120, W arszawa 1993, s. 5-49.

11. Kisilowski J. (red.): D ynam ika układu m echanicznego pojazd szynow y - tor. PW N , W ar­

szawa 1991.

12. M iiller-Boruttau F. H., Ebersbach D.: Elastische Zwischenlagen im G leis lösen Schw ingungsproblem e. H ochbruck H., Knothe K., M einke P.: System dynam ik der Eisenbahn, H ennigsdorf 13,14 X 1994, s. 87-95.

13. Strzyżakowski Z.: D ynam ika układu m echanicznego pojazd-tor-otoczenie m odelow anego układem dyskretno-ciągłym . Prace Instytutu Transportu Politechniki W arszaw skiej, z. 31, W arszawa 1992.

14. Szczęśniak W.: W ybrane zagadnienia kolejowe. W zajem ne oddziaływ ania w układzie pojazd - tor kolejow y - podtorze - podtorze gruntowe. Prace N aukow e P olitechniki W ar­

szawskiej, ser. B udow nictw o, z. 129, W arszaw a 1995, s. 5-182.

Recenzent: D r hab.inż. M arek Sitarz Prof. P olitechniki Śląskiej

Nieliniowość podłoża przy m odelow aniu.. 21

A b s tra c t

In the paper the suggestion o f application the m ethod for determ ining track displacem ents caused by passing o f a train for form ulating the nonlinear model o f dynam ical system is pre­

sented. Results o f experim ental investigations done for DB rail vehicles are given and the comparison o f these results and those obtained by analysis o f a nonlinear model is made.

Praca finansow ana z projektu badaw czego KBN nr 0947/T07/99/16.