Sieci Petri i ich zastosowanie do projektowania dyskretnych układów sterowania

(1)

ZESZYTY NAUKOWE P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J 1978

S e r i a : AUTOMATYKA z , 43 ' N r k o l. 579

P i o t r M is iu r e w ic z P o l i t e c h n i k a Warszawska

S I E C I P E T R I I ICH,ZASTOSOWANIE DO PROJEKTOWANIA DYSKRETNYCH UKŁADÓW STEROWANIA

S t r e s z c z e n ie . P o n iż e j p rz e d s ta w io n o nowe n a rz ę d z ie s łu ż ą c e do o p is u system ów d y s k r e t n y c h , a m ia n o w ic ie s i e c i P e t r i . Można j e t ra k to w a ć ja k o u o g ó ln ie n ie s i e c i d z i a ła ń , u m o ż liw ia ją c e o p is y w a n ie p ro cesó w ró w n o le g ły c h w d y s k r e t n y c h s y ste m a c h . Ja k o p r z y k ła d poka

zano z a s to s o w a n ie s i e c i P e t r i do o p is u a lg o ry tm u s t e r o w a n ia zespo

łem p o w ią z a n y ch ze sohą u rz ą d z e ń te c h n o lo g ic z n y c h , o raz do o p is u z a ch o w a n ia o b ie k t u d y s k re tn e g o . O p isy t a k i e 'u ł a t w i a j ą p r o je k to w a n ie d y s k r e t n y c h u k ład ó w s t e r o w a n ia lu b k o n t r o l i .

1 . Wprow adzenie do s l e o l P e t r i

S i e ć P e t r i t o g r a f sk ie ro w a n y z dwoma r o d z a ja m i w ie rz c h o łk ó w , zwany

m i w ę z ła m i i t r a n z y c ja m i. Ł u k i g r a f u łą c z ą w ę z ły z t r s n z y c ja m i lu b od

w r o t n i e . Na ry s u n k u w ę z ły oznaczane s ą k ó łk a m i, a t r a n z y c j e - p r o s t o k ą t a m i ( r y s . 1 ) . Każdy w ę z e ł może z a w ie r a ć dowolną l i c z b ę m arkerów , oznacza

n yc h na ry s u n k u k ro p k a m i.

R y s . 1 . P r z y k ła d s i e c i P e t r i

F o rm a ln ie s i e ć P e t r i N można o p is a ć ja k o czw ó rkę uporządkow aną:

5 » < P ,T ,A ,M 0 >

g d z ie ś P = *fp 1 . . . p m^ - z b ió r węzłów»

T = { t 1 . . . t n ^ - z b ió r t r a n z y c j i *

A £ P x T * » T x P - r e l a c j a o d p o w ia d a ją ca łukom s i e c i »

H : P o { 0 , 1 , 3 , . . . i - m arkow anie po czątkow e s i e c i »

^

W d a lsz ym c ią g u symbolem Ł i( p ) o zn aczać będziem y l i c z b ę markerów w w ęzie p . M arkow anie s i e c i możeny z a p is a ć - ja k o w e k to r*

M = < M ( P l ) , M (p2 ) . . . U (p m) >

(2)

BO P. Misiurewicz

Z b ió r węzłów w e jś c io w y c h t r a n z y p j i t o z n a cz a ć będziem y sym b o lem *tt t, ^p fl P J (p*"fc) 6 A J

z b ió r węzłów w y jś c io w y c h - symbolem t * : t ' = { p * P j ( t , p ) & A }

P ra n z y c ja t j e s t a k ty w n a , gdy j e j w s z y s t k ie w e jś c io w e w ęz ły m ają co n a jm n ie j je d e n m a rk e r. Je d n a z a k tyw n ych t r a n z y c j i może wykonać a k c j ę , p o le g a ją c ą na u s u n ię c iu jed n eg o m arkera z każdego w ęz ła w e jś c io w e g o i d o daniu jed n eg o m arkera do każdego w ęz ła w y jś c io w e g o ( r y s . 2 ) . .Akcja t r a n z y c j i t powoduje w ię c zm ianę m arkowania na I£^, co z a p isu je m y

—£> , g d z ie ś

i

MŁ (P )-1 dla P € * t - t *

% ( p ) + 1 d la p e t * . - * t M ^ p ) in a c z e j

W _ W

A 7 V

B y s . '2 , A k c ja t r a n z y c j i

P rz y pomooy s i e c i P e t r i można o p is y w a ć zach o w an ie system ów d y s k r e t n y c h . Wtedy w ęz ły o d p o w ia d a ją pewnym warunkom - w a ru n k i t e s ą s p e łn io n e , gdy odpow iednie w ęz ły s ą zam arkowane. M arkow anie s i e c i r e p r e z e n t u je s t a n sy ste m u . I r a n z y c je o d p o w ia d a ją z darzen io m zachodzącym w s y s t e m ie , każde z d a rz e n ie z m ie n ia s t a n s y ste m u . Z d a rz e n ie o d p o w ia d a ją ce t r a n z y c j i t może z a j ś ć , gdy s p e łn io n e s ą w s z y s t k ie w a ru n k i re p re z e n to w a n e p rz ez w ęz ły

■wejściowo p « * t . W w yn ik u z a j ś c ia tego z d a rz e n ia b ę d ą s p e łn io n e w a ru n k i re p rez e n to w an a p rz e z w ę z ły w y jś c io w e p e t *

A k o j E t r a n z y c j i może b y ć m om entalna, w tedy p rz y jm u je s i ę , że t y l k o je d n a t r a n z y c ja może wykonać a k c j ę w d a n e j c h w i l i . Można t e ż p r z y j ą ć , że a k c ja trw a o k re ś lo n y c z a s , p rz y czym w momencie j e j ro z p o c z ę c ia usuwane s ą m arkery z w ęzłów w e jś c io w y c h , a w momencie z a k o ń c z e n ia - um ieszczane w w ę z ła c h w y jś c io w y c h . D la t r a n z y c j i d ru g ie g o ty p u można n a ry s o w a ć ró w no

ważną s i e ć r t r a n z y c ja m l p ierw sz eg o r o d z s ju ^(osobne t r a n z y c je r e p r e z e n t u ją c e ro z p o c z ę c ie i z a k o ń cz e n ie a k c j i ) .

S z e rs z e in f o rm a c je na tem at s i e c i P e t r i i z w ią z a n yc h z n im i p r o b le mów zzm leźć można n p , w 111. B r a k m ie js c a n ie po zw ala n a ^ p r z e d s ta w ie n ie t ą t a j t y c h problemów naw et w s k r ó c i e . Podamy j e d y n i e , że w ie le w ła s n o ś c i

(3)

Sieci Petri i ich zastosowanie ... 31

s i e c i P e t r i można o p is a ć p rz ez po d an ie z b io r u markowań o s ią g a ln y c h z msr- k o w an ia p o cz ątk o w eg o , o ra z tz w . g r a f u o s ią g a l n o ś c i. G r a f o s ią g a ln o ś c i d la s i e c i z r y s . 1 J e s t p rz e d s ta w io n y na r y s . 3 .

Mq

R ys . 3. G r a f o s ią g a l n o ś c i s i e c i z r y s . 1

T / ie rz c h o łk a m i g r a f u są m arkow ania o s ią g a ln e z m arkow ania początkowego - s ą one o p isyw an e na ry s u n k u c ią g a m i M (p 1 ) , K ( P-,) , K (P - }> ■{?■}> . Ł u k i g r a f u o d p o w ia d a ją t r a n z y c jo m , przy czym luk o p isa n y symbolem t łą c z y m arkow ania z J e ż e l i tl^ .iŁ a tw o z a u w a ż y ć ,' że g r a f z r y s . 3 o p is u je au to m at n ie d e t e r m in is t y c z n y , równoważny s i e c i P e t r i z r y s . 1.

2 . Z a sto s o w a n ie s i e c i P e t r i do z a p is u alg o rytm ó w ró w n o le g ły c h

S i e c i P e t r i mogą b y ć tra k to w a n e Ja k o r o z s z e r z e n ie i u o g ó ln ie n ie s i e c i d z i a ł a ń , u m o ż liw ia ją c e o p is a lg o ry tm ó w , w k t ó r y c h pewne sek w en cje c z y n n o ś c i wykonywane s ą r ó w n o le g le . S y t u a c j e t a k i e w y s t ę p u ją p rz y s t e r o w a n iu z e s p o ła m i p o w ią z a n ych ze so b ą u rz ą d z e ń t e c h n o lo g ic z n y c h [3 1 .

Ja k o p r z y k ła d p r z e a n a liz u je n y u rz ą d z e n ie s łu ż ą c e do p r o d u k c ji b e to nu. { r y s . 4 a ) . Z a w ie ra ono t r a n s p o r t e r y T1 i T2 p o d a ją ce cement i kruszyw o do w a g i, z b io r n ik z w;odą i b e t o n ia r k ę . S e k w e n c ja c z y n n o ś c i n ie z b ę d n y ch do w y tw o rz e n ia p o r c j i b e to n u j e s t , podana na r y s . 4 b. J e ż e l i v y tw a rz a c y k o le jn e p o r c je b 6 to n u i c h c e n y ,b y u rz ą d z e n ie p ra co w a ło z m aksym alną wy

da j n o ś c i ą , t o po w in niśm y s t a r a ć s i ę wykonywać j a k n a jw ię c e j c z y n n o ś c i j e d n o c z e ś n ie , Tak na p r z y k ła d , w c z a s ie m ie s z a n ia s k ła d n ik ó w w b e t o n ia r c e możemy odw/ażać n a s tę p n ą p o r c ję cem en tu . O g ó ln ie r z e c z b i o r ą c , o p e ra c je związane- z tym samym u rz ą d z en iem muszą b yć wykonywane s e k w e n c y jn ie , n a t o m ia s t o p e r a c jo zw iązan e z ró ż n ym i u rz ą d z e n ia m i mogą b y ć wykonywane równo

l e g l e . D la p r z e a n a liz o w a n ia m o ż liw y c h r ó w n o le g ło ś c i możemy u ż yć s i e c i P e t r i . lia r y s . 5 podane s ą v/arunki n ie z b ę d n e d la ro z p o c z ę c ia k a ż d e j se k - . n e n c j l c z y n n o ś c i. O p is d z i a ł a n i a c a łe g o u rz ą d z e n ia j e 3 t pokazany na r y s . 6 , P rz y ste ro w ja n iu komputerowym u rz ą d z en iem do p r o d u k c ji b eto n u o p is t a k i p o k a z u je p o d z ia ł program u s t e r u ją c e g o na z a d a n ia i u ła tw iła s y n c h r o n iz a c j ę t y c h z a d a ń .

(4)

32 P. Misiurewicz

b )

C

^{S to rt} ⁾

I Zważ cement , I

T z z

[Opróżnij wagę |

Zważ kruszywo | T

Opróżnij wagą

I

Odmierz wodą ~1

Zmieszaj sktadniki I

T

C stop )

R y s . 4 . U rz ą d z e n ie do p r o d u k c ji betonu

<=>

Zważ cement [

betoniarka pusta Opróżnij wagą

....

Zwaz kruszywo |

i

Opróżnij wagą |

betoniar ka pusta

---

ⁱ

(ś*

Zmieszaj sktodrikj

Opróżnij betoniarkę}

dosypane

R ys . 5. Sek w en cje c z y n n o ś c i w u rz ą d z e n iu

(5)

Steci Petri i ich zastosowanie 83

-<?>

Zwoź cement

betoniarka

“ p u sta

Odmierz wodę J

_betcjniarko pu< ta

Opróżnij wagę j

i

Zważ kruszywoj

?

Opróżnij wagę |

^.cement U i

kruszywc dosypani

woda ina lana

Zmieszaj skIDdnil¿ki]

i

[Opróżnij betoniarką

R y s . 6 . P r o c e s p r o d u k c j i b e to n u

3,. Z a s to s o w a n ie s i e c i P e t r l do o p is u zachow ania o b ie k t n d y sk re tn e g o P rz y p r o je k to w a n iu a s y n c h ro n ic z n y c h autom atów s t e r u ją c y c h (s z c z e g ó ln ie gdy j e 3 t ono wspomagane kom puterem ) n a jw ię k s z y k ło p o t s p r a n ia sfo rm u ło w a n ie warunków d z i a ł a n i a u k ła d u , t j . o k r e ś le n ie wymaganego od

w zorow ania w e jś o io w o - w y jś c io w e g o . itymaga ono s z c z e g ó ło w e j a n a liz y m o ż li

w ych z d a rz e ń w o b ie k c ie .

Ja k o p r z y k ła d rozważmy znane [ 2 ] z a d a n ie o p r z e ja ź d z ie k o lejo w ym ( r y s . 7 a ) . Ea t o r a c h s ą z a in s t a lo w a n a t r z y c z u j n i k i a , h , c , d a ją c a sy g n a ł 1 ,gdy nad n im i z n a jd u je s i ę s k ła d p o c ią g u . Ea d łu g o ś ć p o cią g u 1 od

l e g ł o ś c i c z u jn ik ó w n ie n a k ła d a s i ę żadnych o g r a n ic z e ń - p rz y jm u je s i ę j e d y n i e , że p o c ią g n ie może s i ę c o f a ć . Ś w i a t ł a o strz e g a w cz e S m ają s i ę z a p a l i ć , gdy c z o ło p o c ią g u z n a jd z ie s i ę nad c z u jn ik ie m a lu b c ( z a le ż n ie od k ie ru n k u j a z d y ) , a z g a s n ą ć ,g d y t y ł p o cią g u z e jd z ie z c z u jn ik a b . Po

n ie w a ż p r z e ja z d j e s t s y m e t ry c z n y , w y s ta r c z y w ię c r o z p a t r z y ć t y l k o je d e n k ie r u n e k j a z d y .

K la s y c z n a metoda p r o je k to w a n ia autom atu a s y n c h ro n ic z n e g o wymaga na

ry s o w a n ia w y k re su czaso w eg o , na k tó rym p rz e d s ta w io n e s ą w s z y s tk ie m o ż li

we c i ą g i sy g n a łó w w e jś c io w y c h ( ję z y k w e jś c io w y ) i o d p o w ia d a ją ce im c i ą g i sy g n a łó w w y jś c io w y c h . D la fo rm a ln e g o o k r e ś le n ia ję z y k a w e jścio w e g o a u to matu można n a ry so w a ć m odel o b ie k t u w p o s t a c i s i e c i P e t r i , a n a s tę p n ie o k r e ś l i ć j ę z y k generow any p rz e z tę s i e ć . V/ w ie lu p rz yp ad kach n a ry so w a n ie m odalu o b ie k t u j e s t b ardzo p r o s t e , n a to m ia s t d a ls z e c z y n n o ś c i może wyko

n ać k o m p u te r.

(6)

34 P. Misiurewicz

a ) TOR

• -a g>S b SZOSA

R y s .7 . P r z e ja z d k o le jo w y i je g o o p is s i e c i ą P e t r i

Ea ry .s. 7b j e s t p rz e d s ta w io n y model p rz e ja z d u k o le jo w e g o p rz y ru c h u p o c ią g u z g ó ry na d ó ł . T/ęzeł p^ j e s t zam arkow ery, gdy p o c ią g z n a jd u je s i ę z d a la od p r z e ja z d u . A k c je t r a n z y c j i t ^ , t 2 i t-j o d p o w ia d a ją n a j e c h a n iu c z o ła p o c ią g u na c z u j n i k i o d po w iedn io a , b 1 c . A k c je t r a n z y c j i t , , tg i tg o d p o w ia d a ją z je c h a n iu t y ł u p o c ią g u z c z u jn ik ó w a , b , e.Y/ęzły oznaczone l i t e r a m i a , b , c r e p r e z e n t u j ą s y g n a ły z c z u jn ik ó w - w ę z e ł za- markowany odpowiada s y g n a ło w i 1 . P o łą c z e n ig pomiędzy w ęz ła m i a t r a n z y c ja - mi o k r e ś l a j ą w a ru n k i z a j ś c i a p o sz c z e g ó ln yc h z d a rz e ń - n p . w arunkiem z j e ch a n ia t y ł u p o cią g u z c z u jn ik a b (a k c ja t r a n z y c j i t ^ ) j e s t :

- zn a jd o w a n ie s i ę p o cią g u nad c z u jn ik ie m b (zam arkow anie w ę z ła b )»

- u p rz e d n ie z je c h a n ie t y ł u p o c ią g u z c z u jn ik a a (zam arkow anie w ęzła P4 ) . *

Tięzeł s na r y s . 7b s y m b o liz u je s t a n ś w ia t ła o s trz e g a w cz e g o .

Ea r y s . 8a p rz e d sta w io n y j e s t g r a f o s ią g a l n o ś c i, o d p o w ia d a ją cy s i e c i z r y s . 7 b. J e s t to g r a f autom atu n ie d e t e r m in is t y c z n e g o > je g o s ta n y (o d

p o w ia d a ją c e stanom o b ie k t u ) o k re ś lo n e są p rz ez o s ią g a ln e m arkowania s i e c i P e t r i . M arkowania t e z ap isyw an e s ą na r y s . 8e w p o s t a c i cią g ó w b i n a r n ych ;

M = Ć E ( p 1 ) , łi ( p 2 ) , M (p3 ) , K (p4 ) , M (p5 ) , M ( a ) , 12(b), K ( c ) , l i ( s ) >

(7)

Sieoi Petri i ich zastosowanie ... 85

b) a

b

S

R y s , 3 . G r a f o s i ą g a l n o ś c i i w yk re s czasow y d la p r z e ja z d u k o le jo w e g o

V/ g r a f i e z r y s . 8a mamy p i ę ć m o ż liw ych d ró g .z e s ta n u ILj z powrotem do Ii.| - d r o g i te o p is u j ą j ę z y k generow any p rz ez model o b ie k tu r

d1 = d 2 = Ifj d3 =

d^ = M ^k^M gM gM g d5 = M1K 2ii7Ł!8M9M6

C i ą g i s łó w < ! i ( a ) , I ł ( b j , « ( c ) , Ł I ( s ) > o p is u j ą odwzorowanie w e jś c io w o - w y j- śc io w e autom atu s t e r u ją c e g o ś w ia tłe m na p r z e je ź d z ie k o le jo w ym . Ciągom tym odpowiada w yk re s czasowy pokazany na r y s . 8 b . T y k re s d la p rz eciw n e g o k i e ru n k u ja z d y o trz y m a n y , z a m ie n ia ją c a z c . Ila p o d sta w ie w ykresu czasowego ła t w o j e s t n a ry so w a ć p ie r w o t n ą t a b l i c ę p r z e j ś ć a s y n c h ro n ic z n e g o autom atu s t e r u ją c e g o ś w ia tłe m S na p o d sta w ie s y g n a łć w z c z u jn ik ó w a , b , c .

(8)

B6 P. Misiurewicz

Powyższe p o stęp o w an ie u m o ż liw ia a lg o r y t m iz a c ję w stępnego e ta p u p ro je k to w a n ia u k ła d u p r z e łą c z a ją c e g o » a m ia n o w ic ie u ło ż e n ie t a b l i c y p r z e j ś ć . M odel w p o s t a c i s i e c i P e t r i o p is u je w sposób fo rm a ln y żądane d z i a ła n ie u k ła d u , p r z e j ś c i e od modelu do t a b l i c y p r z e j ś ć j e s t ju ż c z y s t o meoha- n ic z n e . Problemem p o z o s ta je n a d a l o p ra co w a n ie i w e r y f ik a c j a m od elu.

LITERATURA

£1] J . L , P e t e r s o n : P e t r i N e ta .C o m p u tin g S u r v e y s , V o l . 9 , N o .3 . Sep tem b er 1977

£2] Z b ió r zadań z u kładó w p r z e łą c z a j ą c y c h . S k r y p t P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j p o d .r e d . J , S I w i ń s k i e g o , G l iw ic e 1976

£33 P . M is i u r e w i c z i L e c t u r e s on r e a l- t im e m ic r o p r o c e s s o r c o n t r o l s y s te m s . L e c tu re n o t e s , U n iv e r s i t y o f liin n e s o t a 1976.

C m HETPH H EL K P M E H O T E I£M HPOEKTHPOBAHffil j£HCKPETHHX CWCTM yU PA BIE- M f l

P e 3 b u e

.C era IleTpH mjismTcz HHCTraaeHTOM jy m onpicamfl jpicKpeTHHx crrcTew.

M

okho hx

paciaaTpHBara

ksk

ododmeHHe jparpaiaz ne2cTBHs , .narapix

bosmos

-

hoctl

OEHcaHiH napaJuiejrtHHX npopeccoB

b

jjpcKpeTHHX cHCTeMax.

B HacToameS padOTe jspmcx flBa npiraepa npaM eHeHm c e T e S .

P E T R I NETWORKS AND T H EIR A PPLIC A T IO N TO THE DESIGN OP D ISC R ET E CONTROL SYSTEM

S u m m a r y

mu n e tw o rk s a r c a new t o o l f o r th e a n a l y s i s o f d i s c r e t e s y s te m s , uhey a re a g e n e r a li z a t io n o f f l o w d ia g ra m s , h a v in g th e p o s s i b i l i t y o f p r e s e n t in g p a r a l l e l p r o c e s s e s i n d i s c r e t e sy s te m s . Two exam ples o f t h e i r a p p l i c a t i o n a r e p r e s e n t e d .