a) Wykaza´c, ˙ze je´sli p &gt

PODLASKI KONKURS MATEMATYCZNY 2005 ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

KLASY PIERWSZE Zadanie 1. Niech N = 999 . . . 99

| {z }

n dziewiatek_,

. Obliczy´c sume cyfr liczby N_, ³.

Zadanie 2. a) Wykaza´c, ˙ze je´sli p > 3 jest liczba pierwsz_, a, to liczba p_, ²− 1 dzieli sie przez 24._, b) Wykaza´c, ˙ze je´sli p > 5 jest liczba pierwsz_, a, to liczba p_, ⁴− 1 dzieli sie przez 240._, Zadanie 3. Rozwiaza´_, c w liczbach ca lkowitych r´ownanie 5^x = 3y + 7.

Zadanie 4. Kt´ora z liczb

1, ³ q

2 −√ 5 + ³

q 2 +√

5 jest wieksza?_,

Zadanie 5. Rozwiaza´_, c uk lad r´owna´n:







x

y + ^y_z + ^z_x = 3

y

x + ^z_y + ^x_z = 3

x + y + z = 3

Zadanie 6. Dla liczby naturalnej n > 2 wyznaczy´c wszystkie ciagi (x_{, 1}, x₂, . . . , x_n) takie, ˙ze ka˙zda z liczb x_i jest r´owna kwadratowi sumy wszystkich pozosta lych liczb.

Zadanie 7. Jaka minimaln_, a warto´s´_, c mo˙ze przyja´_,c suma d lugo´sci przekatnych czworok_, ata wy-_, puk lego o polu S?

Zadanie 8. Liczby x, y, z sa takie, ˙ze x+y+z = 0 oraz x_, ²+y²+z² = 1. Wykaza´c, ˙ze przynajmniej jedna z liczb xy, yz, zx jest nie wieksza ni˙z −1/3._,

Zadanie 9. Trener tenisa, opiekujacy si_, e grup_, a 16 zawodnik´_, ow, zaplanowa l 12 gier kontrolnych miedzy tymi zawodnikami. Wed lug przygotowanego planu ka˙zdy z zawodnik´_, ow roze- gra przynajmniej jeden mecz. Wykaza´c, ˙ze pewne cztery mecze moga by´_, c rozegrane w tym samym czasie (oczywi´scie na czterech r´o˙znych kortach).

Zadanie 10. a) W turnieju pi lkarskim uczestniczy 6 zespo l´ow. Ka˙zdy z ka˙zdym rozgrywa jeden mecz. Rozgrywki odbywaja si_, e w dw´_, och miastach. Udowodni´c, ˙ze pewne trzy zespo ly rozegraja wszystkie mecze mi_, edzy sob_, a w jednym mie´scie._,

b) W turnieju pi lkarskim uczestniczy 18 zespo l´ow. Ka˙zdy z ka˙zdym rozgrywa jeden mecz. Rozgrywki odbywaja si_, e w trzech miastach. Udowodni´_, c, ˙ze pewne trzy zespo ly rozegraja wszystkie mecze mi_, edzy sob_, a w jednym mie´scie._,

Zadanie 11. Z pola E1 do pola E8 szachownicy kr´ol mo˙ze doj´s´c w siedmiu ruchach. Iloma r´o˙znymi drogami mo˙ze to zrobi´c?

Zadanie 12. Udowodni´c, ˙ze ka˙zdy tr´ojkat mo˙zna podzieli´_, c na 2005 tr´ojkat´ow r´ownoramiennych.

Zadanie 13. W tr´ojkat ABC wpisano okr_, ag. Punkty styczno´sci okr_, egu z bokami tr´_, ojkata oz-_, naczono odpowiednio przez A₁, B₁, C₁, przy czym A₁ ∈ BC, B₁ ∈ AC, C₁ ∈ AB. Nastepnie w tr´_, ojkat A_{, 1}B₁C₁ wpisano okrag, a punkty styczno´sci oznaczono_, odpowiednio przez A₂, B₂, C₂. Czynno´s´c te powt´_, orzono n razy, otrzymujac w ko´_, ncu tr´ojkat A_, nBnCn. Okaza lo sie, ˙ze tr´_, ojkaty ABC i A_, nBnCn sa podobne. Wyznaczy´_, c miary ich kat´_, ow.

1

Zadanie 14. Wszystkie boki wypuk lego czworokata podzielono na 2_, ⁿ r´ownych cze´sci. Nast_, epnie_, narysowano ,,szachownice” l_, acz_, ac odcinkami odpowiadaj_, ace punkty przeciwleg lych_, bok´ow i kolorujac na przemian pola otrzymanej siatki na bia lo lub czarno._,

a) Wykaza´c, ˙ze ka˙zdy z narysowanych odcink´ow jest podzielony odcinkami poprzecz- nymi na 2ⁿ r´ownych cze´sci,_,

b) Wykaza´c, ˙ze suma p´ol bia lych czworokat´_, ow jest r´owna sumie p´ol czarnych czwo- rokat´_, ow.

Zadanie 15. Na bokach AD i BC r´ownoleg loboku ABCD obrano punkty K i L tak, ˙ze AK = LC.

Niech P bedzie dowolnym punktem le˙z_, acym na boku CD. Prosta KL przecina proste_, AP i BP odpowiednio w punktach M i N . Wykaza´c, ˙ze tr´ojkat M N P ma pole r´_, owne sumie p´ol tr´ojkat´_, ow AKM i BLN .

2