Całki oznaczone c.d.
Opracowanie: Mieczysław Chalfen
Całka oznaczona
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) jest niewłaściwa gdy:
1. 𝑐∈[𝑎,𝑏]¬𝑐 ∈ 𝐷𝐹 c nie należy do dziedziny funkcji pierwotnej, czyli nie można obliczyć F(c), np. F(a) lub F(b) 2. 𝑎, 𝑏 = ±∞
Przykład 1.
Zamiana całki niewłaściwej na granice całek oznaczonych
Przykład 1.
0 11
𝑥 𝑑𝑥 = lim
ℎ 0+ ℎ 11
𝑥 𝑑𝑥 = lim
ℎ 0+ln(𝑥) 1 ℎ
= lim
ℎ 0+ ln 1 − ln ℎ = 0 − −∞ = +∞
Przykład 2.
0 1 1
𝑥 𝑑𝑥 =
0 1
𝑥−12𝑑𝑥 = 𝑥12 12
1 0
= 2 𝑥 1 0
= 2
0 nie należy do dziedziny funkcji podcałkowej, ale należy do dziedziny funkcji pierwotnej !
Uwaga !!! Przykład złośliwy !!!
Błędne rozwiązanie:
−1 1 1
𝑥2 𝑑𝑥 =
−1 1
𝑥−2𝑑𝑥 = 𝑥−1
−1 1
−1
= (−1 𝑥) 1
−1
= −1 − 1 = −2
−1 1 1
𝑥2 𝑑𝑥 =
−1 0 1
𝑥2 𝑑𝑥 +
0 1 1
𝑥2 𝑑𝑥 = lim
ℎ 0− −1 ℎ
𝑥−2𝑑𝑥 + lim
ℎ 0+ ℎ 1
𝑥−2𝑑𝑥 = lim
ℎ 0−−1 𝑥
ℎ
−1
+ lim
ℎ 0+ −1 𝑥
1 ℎ
=
¬(0 ∈ 𝐷)
= lim
ℎ 0− −1
ℎ − 1 + lim
ℎ 0+(−1 +1
ℎ) = +∞ − 1 − 1 + ∞ = +∞
Granice nieskończone
Przykłady.
Pole obszaru nieograniczonego.
Zad. Oblicz pole ograniczone wykresem funkcji f(x)=cosh(x), g(x)=sinh(x), x>0
Objętość bryły nieograniczonej
Wpisz tutaj równanie.
Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej Gaussa y(x) = 𝑒−𝑥2dookoła osi OY
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-3 -2 -1 0 1 2 3
Krzywa Gaussa
𝑣 = 2𝜋
0 +∞
𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥
𝑡 = −𝑥2 𝑑𝑡
𝑑𝑥 = −2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
−2𝑥
= 2𝜋 𝑥𝑒𝑡 𝑑𝑡
−2𝑥 = − 𝜋 𝑒𝑡𝑑𝑡 = − 𝜋𝑒𝑡 = −𝜋𝑒−𝑥2 +∞
0 = − 𝜋(𝑒−∞2−𝑒0) = 𝜋
Ś𝑟𝑓 = 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 − 𝑎
a
h 𝑃 = 𝑎ℎ ℎ = 𝑃
𝑎 Wartość średnia funkcji na przedziale [a, b]
Temperatura powietrza zmienia się w ciągu doby według wzoru - Naszkicuj wykres tej funkcji
- Oblicz średnią temperaturę dla całej doby
- Oblicz średnią temperaturę pomiędzy godz. 6 a 12
𝑇(𝑡) = 4 sin 𝜋
12 𝑡 − 12 + 10
Błąd całkowy
Przybliżanie funkcji nieliniowej linią prostą.
Przybliż funkcję y = 𝑒𝑥 funkcją liniową y=ax+1, tak by zminimalizować błąd przybliżenia na odcinku (0,1)
δ(3/2)≈0.01
Całka w fizyce
Praca = siła · przesunięcie W = F · s
Oblicz pracę potrzebną do wyniesienia statku kosmicznego o masie m [kg] z powierzchni Ziemii na wysokość h [km]
𝐹 = 𝑘𝑀𝑚 𝑟2
𝑊 =
𝑅 𝑅+ℎ
𝑘 𝑀𝑚
𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑘𝑀𝑚(−1
𝑥) 𝑅 + ℎ 𝑅
= 𝑘𝑀𝑚(− 1
𝑅 + ℎ + 1 𝑅)
𝑊∞ = lim
ℎ +∞𝑘𝑀𝑚 − 1
𝑅 + ℎ + 1
𝑅 = 𝑘𝑀𝑚
𝑅 < ∞ F – siła
M – masa Ziemi m – masa ciała k – stała grawitacji
r – odległość dwóch ciał
droga = prędkość · czas s = vt w ruchu jednostajnym prostoliniowym, czyli wtedy, gdy v nie zależy od czasu !
Zadanie. Maratończyk biegnie przez 3 godz. z prędkością zmieniającą się według wzoru
1. Sporządź wykres tej funkcji 2. Jaki dystans przebiegł ?
3. Jaka była średnia prędkość ?
4. Jaki dystans przebiegł pomiędzy 1 a 2 godz. biegu ?
5. Jaka była średnia prędkość pomiędzy 1 a 2 godz. biegu ?
𝑣 𝑡 = −𝑡2 + 20 [km/h]
Zad. „Medycyna”. Kroplówka podaje pacjentowi lekarstwo ze zmiennym w czasie natężeniem określonym wzorem:
c 𝑡 = 10 1 − 𝑡 60
2 2
[𝑔/𝑚𝑖𝑛]
1. Sporządź wykres tej funkcji.
2. Kiedy natężenie było największe ?
3. Jaką dawkę lekarstwa pacjent otrzymał w ciągu godziny ? 4. Jaką dawkę otrzymał w ciągu pierwszych 30 min ?
5. Jaka była średnia minutowa dawka w ciągu godziny ?
Ad.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 10 20 30 40 50 60
y 𝑥 = 𝑎 1 − 𝑥 𝑏
𝑛 𝑚
y′ 𝑥 = −𝑎𝑚 1 − 𝑥 𝑏
𝑛 𝑚−1
𝑛 𝑥 𝑏
𝑛−11 𝑏
Ad.2. Oczywiście w chwili t=0 Ad.3,4.
Ad.5. Średnia dawka minutowa w ciągu godziny 320/60 = 5,33 g/min
Średnia dawka w ciągu pierwszych 30 min 253,75/30 = 8,46 g/min
A jaka jest średnia dawka pomiędzy 30 a 60 min?
(320-253,75)/30 = 2,21 g/min
Powtórka – całki.
Całki nieoznaczone:
- Wzory podstawowe - Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie - Całkowanie funkcji wymiernych
Całki oznaczone - zastosowania - Definicja
- Wzór Newtona-Leibniza - Pole figury płaskiej
- Długość łuku krzywej - Objętość bryły obrotowej
- Pole powierzchni bryły obrotowej - Wartość średnia funkcji
- Błąd całkowy - Praca
- Droga
