do analizy rzeczywistych sieci złożonych teoria i przykłady zastosowań Wykładnicze grafy przypadkowe:

(1)

Wykładnicze grafy przypadkowe:

teoria i przykłady zastosowań

do analizy rzeczywistych sieci złożonych

Agata Fronczak

Zakład Fizyki Układów Złożonych Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

Gdańsk, Warsztaty pt. Układy Złożone (8–10 maja 2014)

(2)

(3)

Agata Fronczak

Wykładnicze grafy przypadkowe:

teoria i przykłady zastosowań do analizy rzeczywistych sieci złożonych

CZĘŚĆ 2.

Wykładnicze grafy przypadkowe

(4)

Zespoły statystyczne sieci przypadkowych

Sieć przypadkowa → pojedyncza sieć, w procedurze konstrukcyjnej której jest pewien element losowości;

Sieć przypadkowa → zespół statystyczny sieci; zbiór możliwych realizacji sieci {G}, którym to realizacjom (tj. mikrostanom) są przypisane odpowiednie prawdopodobieństwa P(G);

Wykładnicze grafy przypadkowe: sieci o zadanym hamiltonianie strukturalnym

(5)

Przykład: klasyczne grafy przypadkowe

Procedura konstrukcyjna:

 Ustalona liczba węzłów N

 Każdą parę węzłów łączymy z prawdopodobieństwem p.

p=0 p=0.1

p=0.5 p=1

suma statystyczna:

hamiltonian zespołu klasycznych grafów przypadkowych:

prawdopodobieństwo grafu w zespole :

E(G) – liczba krawędzi w grafie

(6)

Sformułowanie problemu …

Krok 1.

Ustalamy te spośród strukturalnych cech badanej sieci, które są dla nas ważne, np.

 liczba krawędzi w sieci,

 liczba trójkątów, .

 sekwencja stopni węzłów:

 ogólnie, pewien zbiór parametrów:

Krok 2.

Na podstawie sieci rzeczywistej, określamy oczekiwane wartości tych parametrów:

 (…)

 ogólnie:

Krok 3.

Ustalamy zbiór możliwych realizacji badanej sieci :

 zbiór wszystkich grafów prostych o zadanej liczbie węzłów

 zbiór grafów ważonych o wagach z ustalonego zbioru

Problem: Przypuśćmy, że badamy pewną sieć rzeczywistą i chcemy stworzyć model tej sieci

Krok 4.

Wybieramy rozkład taki, by typowe realizacje zespołu sieci miały określone cechy sieci rzeczywistej.

Pytanie: W jaki sposób wybrać P(G)?

(7)

Zasada maksymalnej entropii

(8)

Dygresja: Zasada maksymalnej entropii

i alternatywne sformułowanie fizyki statystycznej stanów równowagi

(9)

Zespół kanoniczny Wykładnicze grafy przypadkowe:

na przykładzie klasycznego grafu przypadkowego

(10)

Przykład : uogólnione grafy przypadkowe (grafy o zadanej sekwencji stopni węzłów)

W granicy rzadkich grafów:

(11)

Symulacje numeryczne metodą Monte Carlo

(12)

Algorytm Metropolis

(13)

Klasyczne grafy przypadkowe

Przykład wykorzystania algorytm Metropolis

1.

2.

3. Symulacja

(14)

Model Straussa

Symulacja

(15)

Agata Fronczak

Wykładnicze grafy przypadkowe:

teoria i przykłady zastosowań do analizy rzeczywistych sieci złożonych

CZĘŚĆ 3.

Wykładnicze grafy przypadkowe

– przykłady zastosowań

(16)

Sieć handlu światowego

i j

(17)

Sieć handlu światowego

Brak efektów związanych z utratą wartości pieniędzy

Uproszczona wersja grawitacyjnego modelu handlu

(18)

Sieć handlu światowego

Dane rzeczywiste vs symulacje MC sieci handlu

(19)

Sieć handlu światowego

Zmienność sieci w czasie, proces quasistatyczny

(20)

Sieć handlu światowego

Relacja fluktuacyjno – dysypacyjna

(21)

Sieć handlu światowego

Podatność wymiany handlowej na zmianę PKB

(22)

Moduły (bloki) w sieciach złożonych:

gęsto połączone grupy węzłów w sieciach o mniejszej gęstości połączeń.

• Ludzie o podobnych zainteresowaniach

• Strony WWW o tej samej tematyce

• Proteiny pełniące podobne funkcje

Modele blokowe

Sieci rzeczywiste o strukturze modułowej (blokowej)

Powody dla których bada się strukturę blokową:

Teoretyczne:

• Zasady organizacji sieci

• Klasyfikacja węzłów i połączeń międzywęzłowych

• Algorytmy do detekcji brakujących połączeń Praktyczne:

• Poprawa efektywności różnych algorytmów sieciowych (wyszukiwarek, kontekstowych translatorów, systemów rekomendujących itd.)

• Badania nad genomem, identyfikacja funkcji protein.

Wielkie wyzwanie ostatniej dekady → algorytmy do detekcji bloków

(23)

Modele sieci wykorzystywane do testowania

algorytmów do detekcji modułów w sieciach rzeczywistych

Klasyczne modele blokowe (Girvan, Newman, PNAS 2004)

N węzłów, K bloków o tej samej wielkości.

Bloki – losowo połączone klasyczne grafy przypadkowe.

Realistyczny model sieci blokowej

(Lancichinetti, Fortunato, Radicchi, PRE 2008)

Moduły o różnych wielkościach.

Potęgowy rozkład stopni węzłów.

do analizy rzeczywistych sieci złożonych teoria i przykłady zastosowań Wykładnicze grafy przypadkowe:

Wykładnicze grafy przypadkowe:

teoria i przykłady zastosowań