Optyka Fourierowska

25  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Optyka Fourierowska

Wykład 1

Analiza sygnałów i układów dwuwymiarowych

(2)

Literatura

• K. Gniadek „Optyka Fourierowska”

• K. Gniadek „Optyczne przetwarzanie informacji”

• J.W. Goodman „Introduction to Fourier Optics”

• O. K. Ersoy „Diffraction, Fourier Optics and Imaging”

(3)

Dyfrakcja

• Kiedy pole falowe przechodzi przez przeszkody jego bieg nie może być opisany w koncepcji promieni,

zmienia się jego kształt i wielkosć – zjawisko dyfrakcji

• Dyfrakcja dotyczy wszelkich fal: elektromagnetycznych, akustycznych, radiowych, ultradźwiękowych.

• W przeszłości dyfrakcja głównie szkodziła ograniczając rozdzielczość układów optycznych. Dziś powstają

technologie ją wykorzystujące: holografia, dyfrakcyjne elementy optyczne DOE (hologramy syntetyczne,

komputerowe), optyka dyfrakcyjno-refrakcyjna

(4)

Optyka Fourierowska

• Optyka Fourierowska opisuje te tematy i

zastosowania optyki, które wykorzystują ciągłą lub dyskretną transformatę Fouriera

• Przede wszystkim jest to skalarna teoria dyfrakcji, ale także np. właściwości transformujące i

obrazujące soczewek, analiza częstotliwościowa układów obrazujących, filtracja przestrzenna,

optyczne przetwarzanie sygnałów, holografia

klasyczna i komputerowa, projektowanie i analiza DOE a także nowe techniki obrazowania.

(5)

Zastosowania optyki fourierowskiej

• Gęste zwielokrotnienie falowe (DWDM)

– Elementy obrazujące typu PHASAR pozwalają na łączenie/rozłączanie (multipleksację) kanałów

• Optyczne elementy dyfrakcyjne i subfalowe

– Elementy o dowolnych właściwościach fazowych w każdym punkcie (elektronolitografia, techniki nanofabrykacji)

• Urządzenia nanodyfrakcyjne i ścisła teoria dyfrakcji

– Warunki brzegowe równań Maxwella

– Mikrozwierciadła MEMS, optyczne układy zintegrowane

• Współczesne metody obrazowania

– Obrazowanie koherentne, holografia, przestrzenne modulatory światła

(6)

Układy optyczne

• Układem nazywamy pewne mapowanie sygnału wejściowego na sygnał wyjściowy

– W przypadku dyfrakcji i obrazowania najczęściej sygnałem wejściowym i wyjściowym są fale

• Układy mogą być jednowymiarowe (np. sygnał elektryczny, dźwięk) i zwykle czasowe, lub też

dwuwymiarowe (np. obraz) i zazwyczaj przestrzenne

• Światło posiadające koherencję można

charakteryzować przez dwu- lub trójwymiarowe rozkłady amplitudy zespolonej, tj. amplitudy i fazy, podczas gdy światło niekoherentne przez rzeczywiste wartości natężenia

(7)

Analiza częstotliwościowa

• Zarówno sygnały czasowe jak i przestrzenne mogą być analizowane częstotliwościowo za pomocą

transformaty Fouriera

• Transformata Fouriera może być używana także do łączenia (syntezy) sygnałów o poszczególnych częstotliwościach (np. filtracja)

• Właściwość liniowości pozwala rozłożyć złożony sygnał na sygnały elementarne zwane sygnałami bazowymi. W analizie fourierowskiej sygnałami składowymi są sinusoidy o różnych

częstotliwościach

(8)

Układy liniowe

• a1 i a2 są dowolnymi stałymi zespolonymi

     

   

a u x y a u x y

a O

u

 

x y

a O

u

 

x y

O

y x u O y

x g

, ,

, ,

, ,

2 2

1 1

2 2 1

1

(9)

Funkcja impulsu

• Możliwe są także inne definicje

 

   

 

     



t h d

h t

dt t

t x t

t a a

t a x

a

1 lim

0

2 2

1

0

h przypadkac h

pozostałyc w

(10)

Odpowiedź impulsowa

• Jest to całka superpozycji fal

    

     

        

   







1 1 1

1 1

1

1 1 1

1 1

1

1 1 1

1 1

1

1 1

1 1

,

; , ,

, ,

, ,

, ,

,

, ,

; ,

dy dx y

x y x h y x u

dy dx y

y x x

O y x u y

x u O y

x g

dy dx y

y x x y

x u y

x u

y y

x x O

y x y x h

(11)

Układy niezmiennicze

przestrzennie (izoplanarne)

• W układach niezmienniczych przestrzennie

wartość odpowiedzi impulsowej zależy jedynie od i możemy zapisać:

• W układach niezmienniczych przestrzennie

x x1, y y1

x y

O

  

x y

h , ;0,0 ,

     

   x y h x y

u

dy dx y

y x x

h y x u y

x g

, ,

, ,

, 1 1 1 1 1 1



(12)

Funkcja przenoszenia

• Ponieważ transformata Fouriera splotu jest iloczynem transformat, możemy zapisać:

• nazywana jest funkcją przenoszenia układu

     

f f

h x yh x y

i

f x f y

 

dxdy

H

f f H f

f U f

f G

y x

y x

y x y

x y

x



2 exp

, ,

,

, ,

,

fx fy

H ,

(13)

Transformata Fouriera (FT)

• Sygnały jednowymiarowe (czasowe)

– Równanie analizy:

– Równanie syntezy:

• Sygnały dwuwymiarowe (przestrzenne)

        

 tU fU  f iftdf

u

dt ift t

u t

u f

U





2 exp

2 exp

1

 

    

   

 x y

U

f f

 

U

f f

 

i

f x f y

t

df

u

dt y f x f i y

x u y

x u f

f U

y x

y x y

x

y x

y x





2 exp ,

, ,

2 exp

, ,

,

1

(14)

Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)

• W przypadku sygnału dyskretnego i układu

niezmienniczego i liniowego w miejsce splotu sumę:

• Funkcja przenoszenia wyraża się wówczas wzorem:

1 1

1 1

1

1 m m n n

m n

n m

mn u h

g





 

 

 

   





m n

y x

mn x

x f h i f m x f n y

f

H , exp 2

(15)

Właściwości FT

• Liniowość

• Splot

• Korelacja

     

     

     

     

     

     

     

     

     

 

 

 

   

       

   

x xy

 

y x yx

xy y x y

y x

y x

y x y

x y

x

y x y

x y

x

y x y

x y

x

y x y

x y

x

df df f

f U f f U dxdy

y x u y x u

y f x

f i f

f U f

f G y

y x x u y

x g

f U f

U f

f G y

u x u y

x g

f f U f

f U f

f G y

x u y x u y

x g

f f U f

f U f

f G y

x u y

x u y

x g

f f U f

f U f

f G y

x u y

x u y

x g

f f bU f

f aU f

f G y

x bu y

x au y

x g

, ,

, ,

2 exp

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

*

*

0 0

0 0

2 1

2 1

2 1

2 1

* 2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1





• Modulacja

• Funkcje rozłączne

• Przesunięcie przestrzenne

(16)

Właściwości FT

• Rzeczywisty i parzysty sygnał ma rzeczywiste i parzyste widmo

• Rzeczywisty i nieparzysty sygnał ma urojone i nieparzyste widmo

   

   

       

       

       

x y

 

x y

 

x y

 

x y

y x

y x y

x y

x

y x

y x

f f

U f

f U f

f U f

f U

y x

u y

x u y

x u y

x u

f f

U f

f U f

f U f

f U

y x

u y

x u y

x u y

x u

f f

U f

f U y

x u y

x u

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

*

*

*

*

*

*

(17)

Widmo amplitudowe i fazowe

• Widmo możemy zapisać jako gdzie

Transformata wyraża się w tym przypadku przez:

i jeśli sygnał jest rzeczywisty można to zapisać jako

   

   

 

     

    

df f

ft f

U t

u

df e

f U t

u

f U

f f U

f U f

U

a

f ft i a

a

2 cos

Re arctan Im

2

  f U

a

  f e

i  f

U

(18)

Symetria obrotowa

• Jeśli sygnały przestrzenne mają symetrię

obrotową łatwiej jest używać współrzędnych radialnych

(19)

• Transformata Fouriera

we współrzędnych sferycznych przyjmuje postać:

Transformata Fouriera-Bessela

(Hankela)

(20)

• Jeśli pole ma symetrię obrotową można zapisać

i wykorzystując definicję funkcji Bessela zerowego rzędu

otrzymujemy transformatę Fouriera-Bessela (Hankela)

Transformata Fouriera-Bessela

(Hankela)

(21)

Funkcje specjalne

• Funkcja kwadratowa (rectus)

• Funkcja sincus

• Funkcja znaku (signum)

 

h przypadkac h

pozostałyc w

0 1

2 1 2

1

2 1 2

1

x

x x

rect

  x x x

sin sinc

 

0 x 1

0 0

0 1

sgn x

x x

   





b

f a

f by ab

rect ax

rect 1 sinc x sinc y

   

 

y x i f f

ab i by

ax

1 sgn 1

sgn

sgn

(22)

Funkcje specjalne

• Funkcja trójkątna

• Funkcja grzebieniowa (combus)

• Funkcja kołowa (circus)

 

0 wpozostałychprzypadkach 1

1 x x x

 



n

n x x

comb

 

 



h przypadkac h

pozostałyc w

0

1 1 1

2 2

2 1

2 2

2

2 x y

y x

y x

circ r

circ

   





b

f a

f by ab

ax 1 sinc2 x sinc2 y

   





b

comb f a

comb f by ab

comb ax

comb 1 x y

 



1 2 r J

circ

(23)

Próbkowanie

• Często wygodniej zarówno dla przetwarzania danych jak i dla analizy matematycznej

posługiwać się sygnałem dyskretnym

• Jeśli sygnał ma ograniczone widmo można znaleźć taką odległość próbkowania, że

możliwe będzie odbudowanie pełnej informacji o sygnale na podstawie

ograniczonej liczby dyskretnych wartości

(24)

Twierdzenie

Whittakera - Shannona

• Zdefiniujmy próbkowany sygnał jako:

• Widmo takiego sygnału

dyskretnego będzie równe:

  y g x y

x comb comb

y x g

y x

d , ,





 

 

















n m y

y x x

y x

n m y

y x x

y x y

y x

x y

x y

x y

x y

x d

f m f n

G f

f m G

n f f

f f G f

comb f

comb f

f y G

x comb comb

f f G

, ,

,

, ,

,

(25)

Twierdzenie

Whittakera - Shannona

• Widać, że są to rozsunięte o odległości kompletne widma sygnału

• Zakładając, że widmo sygnału jest ograniczone i mieści się

w prostokącie i, że gęstość próbkowania spełnia warunki i filtrując jedynie jeden element widma możemy odtworzyć sygnał

x y , 1 1

 x y

g ,

2B 2x, By

y y

x

x B 2B

1 2

1

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :