Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} oznacza płaszczyznę,
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} przestrzeń.
Odległość punktów będziemy określali następująco:
|P1P0| =q(x1− x0)2+ (y1− y0)2, P0 = (x0, y0), P1 = (x1, y1),
|P1P0| =q(x1− x0)2 + (y1− y0)2+ (z1− z0)2, P0 = (x0, y0, z0), P1 = (x1, y1, z1).
Definicja 1 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór
O(P0, r) =nP ∈ R2(R3) : |P0P | < ro.
Definicja 2 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja 3 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R2(R3) o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej.
z = f (x, y), (x, y) ∈ A Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df.
Definicja 4 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ Df} .
Definicja 5 Poziomicą wykresu funkcji f , odpowiadającą poziomowi h ∈ R, nazywamy zbiór
{(x, y) ∈ Df : f (x, y) = h} .
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0, y0).
Definicja 6 f jest ciągła w punkcie (x0, y0), gdy
^
>0
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(q(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ) ⇒ (|f (x, y) − f (x0, y0)| < )]
Pochodne cząstkowe
Definicja 7 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x0, y0) określamy wzorem
∂f
∂x(x0, y0) = lim
∆x→0
f (x0+ ∆x, y0) − f (x0, y0)
∆x ,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 1 Niech F (x) = f (x, y0). Wtedy ∂f∂x(x0, y0) = F0(x0).
Analogicznie
∂f
∂y(x0, y0) = lim
∆y→0
f (x0, y0+ ∆y) − f (x0, y0)
∆y ,
o ile ta granica istnieje.
Uwaga 2 Niech G(y) = f (x0, y). Wtedy ∂f∂y(x0, y0) = G0(y0).
Definicja 8 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D ⊂ R2, to funkcje
∂f
∂x(x, y), ∂f
∂y(x, y), gdzie (x, y) ∈ D
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.
Płaszczyzna styczna
Załóżmy, że pochodne cząstkowe ∂f∂x,∂f∂y są ciągłe w punkcie (x0, y0). Wtedy płaszczyzna o równaniu
z = ∂f
∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f
∂y(x0, y0)(y − y0) + f (x0, y0) jest styczna do wykresu funkcji z = f (x, y) w punkcie (x0, y0, f (x0, y0)).
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Niech f ma pochodne ∂f∂x,∂f∂y na zbiorze otwartym D oraz niech (x0, y0) ∈ D.
Definicja 9 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x0, y0) określamy wzorami:
∂2f
∂x2(x0, y0) = ∂
∂x(∂f
∂x)(x0, y0) = fxx(x0, y0)
∂2f
∂x∂y(x0, y0) = ∂
∂x(∂f
∂y)(x0, y0) = fxy(x0, y0)
∂2f
∂y∂x(x0, y0) = ∂
∂y(∂f
∂x)(x0, y0) = fyx(x0, y0)
∂2f
∂y2(x0, y0) = ∂
∂y(∂f
∂y)(x0, y0) = fyy(x0, y0)
Twierdzenie 1 (Schwartza o pochodnych mieszanych)
Niech pochodne cząstkowe ∂x∂y∂2f ,∂y∂x∂2f istnieją na otoczeniu punktu (x0, y0) oraz będą ciągłe w punkcie (x0, y0). Wtedy
∂2f
∂x∂y(x0, y0) = ∂2f
∂y∂x(x0, y0).
Pochodna cząstkowa n-tego rzędu
∂nf
∂yk∂xl(x0, y0), gdzie k + l = n
-pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x0, y0) powstała w wyniku l- krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania względem zmiennej y
Pochodna kierunkowa funkcji
Niech ~v = (vx, vy) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D ⊂ R2 oraz niech punkt (x0, y0) ∈ D.
Definicja 10 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0, y0) w kierunku wersora ~v określamy wzorem:
∂f
∂~v(x0, y0) = lim
t→0+
f (x0+ tvx, y0+ tvy) − f (x0, y0)
t .
Uwaga 3 Niech F (t) = f (x0+ tvx, y0+ tvy). Wtedy ∂f∂~v(x0, y0) = F+0 (0).
Gradient funkcji
Definicja 11 Niech istnieją pochodne cząstkowe ∂f∂x(x0, y0),∂f∂y(x0, y0). Gradientem funkcji f w punkcie (x0, y0) nazywamy wektor
grad f (x0, y0) = (∂f
∂x(x0, y0),∂f
∂y(x0, y0)).
Twierdzenie 2 Niech pochodne ∂f∂x,∂f∂y istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w punkcie (x0, y0) ∈ D. Wtedy
∂f
∂~v(x0, y0) = grad f (x0, y0) ◦ ~v.
Interpretacja geometryczna
Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punk- cie.
Ekstrema lokalne
Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0, y0).
Definicja 12 f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne, jeżeli
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(x, y) ∈ O((x0, y0), δ) ⇒ f (x, y) f (x0, y0)].
Twierdzenie 3 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x0, y0). Jeśli f ma ekstremum lokalne w (x0, y0) i istnieją pochodne cząstkowe ∂f∂x(x0, y0),∂f∂y(x0, y0) to
∂f
∂x(x0, y0) = ∂f
∂y(x0, y0) = 0.
Twierdzenie 4 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0, y0) i
∂f
∂x(x0, y0) = ∂f∂y(x0, y0) = 0 oraz det
∂2f
∂x2(x0, y0) ∂x∂y∂2f (x0, y0)
∂2f
∂x∂y(x0, y0) ∂∂y2f2(x0, y0)
> 0 to f ma ekstremum lokalne w (x0, y0) i jest to :
minimum lokalne właściwe , gdy ∂∂x2f2(x0, y0) > 0 albo maksimum lokalne właściwe, gdy ∂∂x2f2(x0, y0) < 0.
Uwaga 4 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x0, y0) ekstremum lokalnego.
Ekstrema warunkowe
Definicja 13 Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne właściwe z warunkiem g(x, y) = 0 gdy g(x0, y0) = 0 i
_
δ>0
^
(x,y)∈D
[(x, y) ∈ S((x0, y0), δ) ∧ g(x, y) = 0] ⇒ [f (x, y) > f (x0, y0)]
Zbiory domknięte Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni:
Definicja 14 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli
^
r>0
O(P, r) ∩ A 6= ∅ oraz O(P, r) ∩ A0 6= ∅.
A0-dopełnienie zbioru A.
Definicja 15 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.
Definicja 16 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.
Definicja 17 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu
_
P0
_
r>0
D ⊂ O(P0, r).
Twierdzenie 5 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to
_
(x1,y1)∈D
f (x1, y1) = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
_
(x2,y2)∈D
f (x2, y2) = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ D}
Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zbiorze domkniętym
1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne (ekstrema warunkowe).
Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.
Całki podwójne Całka podwójna po prostokącie
Niech P = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} = [a, b] × [c, d]
i P = {P1, P2, ..., Pn} będzie podziałem prostokąta P na prostokąty Pk, 1 ¬ k ¬ n.
Oznaczmy
∆xk, ∆yk -wymiary prostokąta Pk, 1 ¬ k ¬ n,
dk =q(∆xk)2+ (∆yk)2 -długość przekątnej prostokąta Pk, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x∗k, y∗k) ∈ Pk
-punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 ¬ k ¬ n Σ = {(x∗k, yk∗) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P.
Definicja 18 Sumę
σ(f, P) =
n
X
k=1
f (x∗k, y∗k)∆xk∆yk nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (Pn) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli
n→∞lim δ(Pn) = 0.
Definicja 19 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem
R R
P f (x, y)dxdy = lim
n→∞σ(f, Pn)
gdzie (Pn) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σn
Twierdzenie 6 (Warunek wystarczający całkowania funkcji)
Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty niecią- głości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).
Twierdzenie 7 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c ∈ R, to
R R
P (f (x, y) + g(x, y))dxdy =
R R
P f (x, y)dxdy + R RP g(x, y)dxdy,
R R
P cf (x, y)dxdy = c
R R
P f (x, y)dxdy,
R R
P f (x, y)dxdy =
R R
P1 f (x, y)dxdy +
R R
P2 f (x, y)dxdy gdzie {P1, P2} jest podziałem prostokąta P na prostokąty P1, P2.
Twierdzenie 8 Jeżeli istnieje
R R
P f (x, y)dxdy oraz istnieje całka Rd
c
f (x, y)dy dla każdego x, to
R R
P f (x, y)dxdy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y)dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f (x, y)dx.
Wniosek 1 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] × [c, d]. Wtedy
R R
P f (x, y)dxdy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y)dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f (x, y)dx.
Interpretacja geometryczna
Niech V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ P, 0 ¬ z ¬ f (x, y)} . Wtedy
|V | = R RP f (x, y)dxdy.
Obszary
Definicja 20 Zbiór D ⊂ R2 (R3) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.
Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
Całka podwójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D ⊂ R2. Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D ⊂ P. Określamy funkcję
f∗(x, y) =
( f (x, y) dla (x, y) ∈ D 0 dla (x, y) ∈ R2− D.
Definicja 21 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem
R R
D f (x, y)dxdy =
R R
P f∗(x, y)dxdy.
Definicja 22 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}
gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x ∈ (a, b).
b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)}
gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y ∈ (c, d).
Twierdzenie 9 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym a) D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}, to
R R
D f (x, y)dxdy =
Zb
a
(
h(x)
Z
g(x)
f (x, y)dy)dx,
b)D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} , to
R R
D f (x, y)dxdy =
Zd
c
(
q(y)
Z
p(y)
f (x, y)dx)dy.
Całka podwójna po obszarze regularnym
Definicja 23 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę- dem osi Ox lub Oy ) D1, ..., Dn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie.
Twierdzenie 10 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to
R R
D f (x, y)dxdy =
R R
D1 f (x, y)dxdy + ... +
R R
Dnf (x, y)dxdy.
Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Współrzędne biegunowe
P = (x, y) ≈ (ϕ, ρ),
gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P 0 ¬ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ¬ π),
ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych.
B :=
( x = ρcosϕ y = ρsinϕ.
B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y).
Twierdzenie 11 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normal- nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, g(ϕ) ¬ ρ ¬ h(ϕ)} ,
gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] ⊂ [0, 2π]. Niech f będzie ciągła na obszarze D = B(U ). Wtedy
R R
D f (x, y)dxdy =
R R
U f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ =
β
Z
α
[
h(ϕ)
Z
g(ϕ)
f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.
Całki potrójne Całka potrójna po prostopadłościanie
Niech P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q} = [a, b] × [c, d] × [p, q]
i P = {P1, P2, ..., Pn} będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany Pk, 1 ¬ k ¬ n.
Oznaczmy
∆xk, ∆yk, ∆zk -wymiary prostopadłościanu Pk, 1 ¬ k ¬ n,
dk=q(∆xk)2+ (∆yk)2+ (∆zk)2 -długość przekątnej prostopadłościanu Pk, 1 ¬ k ¬ n,
δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}
-średnica podziału P,
(x∗k, y∗k, zk∗) ∈ Pk
-punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 ¬ k ¬ n Σ = {(x∗k, yk∗, zk∗) : 1 ¬ k ¬ n}
-zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P.
Definicja 24 Sumę
σ(f, P) =
n
X
k=1
f (x∗k, yk∗, zk∗)∆xk∆yk∆zk nazywamy sumą całkową.
Ciąg podziałów (Pn) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli
n→∞lim δ(Pn) = 0.
Definicja 25 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem
R R R
P f (x, y, z)dxdydz = lim
n→∞σ(f, Pn)
gdzie (Pn) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σn
Interpretacja fizyczna całki potrójnej
Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę M =
R R R
P f (x, y, z)dxdydz.
Twierdzenie 12 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α ∈ R, β ∈ R, to
R R R
P (αf (x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α
R R R
P f (x, y, z)dxdydz + β
R R R
P g(x, y, z)dxdydz,
R R R
P f (x, y, z)dxdydz =
R R R
P1 f (x, y, z)dxdydz +
R R R
P2 f (x, y, z)dxdydz gdzie {P1, P2} jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P1, P2.
Twierdzenie 13 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną)
Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Wtedy
R R R
P f (x, y, z)dxdydz =
b
Z
a
dx
d
Z
c
dy
q
Z
p
f (x, y, z)dz
Całka potrójna po obszarze
Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V ⊂ R3.
Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję f∗(x, y, z) =
( f (x, y, z) dla (x, y, z) ∈ V 0 dla (x, y, z) ∈ R3− V.
Definicja 26 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem
R R R
V f (x, y, z)dxdydz =
R R R
P f∗(x, y, z)dxdydz.
Definicja 27 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy nazywamy zbiór {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
gdzie U jest obszarem regularnym na xOy, funkcje D i G są ciągłe na U , przy czym D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U.
Analogicznie:
b) względem xOz
{(x, y, z) : (x, z) ∈ U, D(x, z) ¬ y ¬ G(x, z)}
c) względem yOz
{(x, y, z) : (y, z) ∈ U, D(y, z) ¬ x ¬ G(y, z)} .
Twierdzenie 14 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}
normalnym względem płaszczyzny xOy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regu- larnym U , to
R R R
V f (x, y, z)dxdydz =
R R
U (
G(x,y)
Z
D(x,y)
f (x, y, z)dz)dxdy.
Jeżeli
U = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)} , gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to
R R R
V f (x, y, z)dxdydz =
Zb
a
dx
g(x)
Z
d(x)
dy
G(x,y)
Z
D(x,y)
f (x, y, z)dz.
Całka potrójna po obszarze regularnym
Definicja 28 Obszar V , który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę- dem płaszczyzn układu ) V1, ..., Vn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni.
Twierdzenie 15 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V , to
R R R
V f (x, y, z)dxdydz =
R R R
V1 f (x, y, z)dxdydz + ... +
R R R
Vn f (x, y, z)dxdydz.
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Współrzędne walcowe
P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ρ, h), gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y),
0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), 0 ¬ ρ < ∞, −∞ < h < ∞
W :=
x = ρcosϕ y = ρsinϕ z = h.
W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 16 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normal- nym i ma postać
U = {(ϕ, ρ, h) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ρ) ¬ h ¬ G(ϕ, ρ)} ,
gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ)} .
Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U ), to
R R R
V f (x, y, z)dxdydz =
β
Z
α
dϕ
g(ϕ)
Z
d(ϕ)
dρ
G(ϕ,ρ)
Z
D(ϕ,ρ)
f (ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.
Współrzędne sferyczne
P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ψ, ρ), 0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), −π2 ¬ ψ ¬ π2, 0 ¬ ρ < ∞.
S :=
x = ρcosϕcosψ y = ρsinϕcosψ z = ρsinψ.
S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).
Twierdzenie 17 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normal- nym i ma postać
U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ¬ ρ ¬ G(ϕ, ψ)} , gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze
{(ϕ, ψ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ)} . Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U ), to
R R R
V f (x, y, z)dxdydz =
β
Z
α
dϕ
g(ϕ)
Z
d(ϕ)
dψ
G(ϕ,ψ)
Z
D(ϕ,ψ)
f (ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ2cosψdρ.
Zastosowania całek wielokrotnych
Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, wyraża się wzorem
|Σ| = R RD
s
1 + (∂f
∂x)2+ (∂f
∂y)2dxdy.
Zakładamy, że ∂f∂x, ∂f∂y są ciągłe na obszarze D.
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru U ⊆ R3 o gęstości objętościowej masy γ.
M Sxy =
R R R
U zγ(x, y, z)dxdydz, M Sxz =
R R R
U yγ(x, y, z)dxdydz, M Syz =
R R R
U xγ(x, y, z)dxdydz.
Współrzędne środka masy obszaru U xc= M Syz
M , yc= M Sxz
M , zc = M Sxy M
Szeregi liczbowe
Definicja 29 Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn), gdzie
Sn= a1+ a2+ · · · + an.
Szereg oznaczamy przez P∞n=1an, an-n-ty wyraz, Sn-n-ta suma częściowa szeregu.
Definicja 30 Mówimy, że szereg P∞n=1an jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu (Sn).
Oznaczamy: limn→∞Sn =P∞n=1an.
Jeżeli limn→∞Sn = ∞ (−∞), to mówimy, że szeregP∞n=1anjest rozbieżny do ∞ (−∞).
Jeżeli limn→∞Sn nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Twierdzenie 18 Jeżeli szeregi P∞n=1an, P∞n=1bn są zbieżne i c ∈ R, to a)
∞
X
n=1
(an+ bn) =
∞
X
n=1
an+
∞
X
n=1
bn,
b)
∞
X
n=1
can = c
∞
X
n=1
an.
Twierdzenie 19 Szereg geometrycznyP∞n=0xnjest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |x| <
1,
∞
X
n=0
xn= 1 1 − x.
Twierdzenie 20 Jeżeli szereg P∞n=1an jest zbieżny, to limn→∞an = 0.
Uwaga 5 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Kryteria zbieżności szeregów
Twierdzenie 21 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n0, ∞) → [0, ∞), gdzie n0 ∈ N, będzie funkcją nierosnącą. Wówczas
szereg
∞
X
n=1
f (n) jest zbieżny ⇐⇒ całka
Z ∞ n0
f (x)dx jest zbieżna.
Z ∞ n+1
f (x)dx ¬ Rn ¬
Z ∞ n
f (x)dx, gdzie Rn=P∞i=n+1f (i) jest n−tą resztą szeregu i n n0.
Twierdzenie 22 Szereg P∞n=1n1p jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p ¬ 1.
Twierdzenie 23 (Kryterium porównacze) Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n n0 i niech szeregP∞n=1bn będzie zbieżny. Wtedy szereg P∞n=1an jest zbieżny. Jeśli P∞n=1an jest rozbieżny do ∞ to szereg P∞n=1bn jest też rozbieżny do ∞.
Twierdzenie 24 (Kryterium ilorazowe) Niech an, bn> 0 (an, bn< 0) dla każdego n n0 oraz niech
n→∞lim an bn = k, gdzie 0 < k < ∞. Wówczas
szereg P∞n=1an jest zbieżny ⇐⇒ szeregP∞n=1bn jest zbieżny.
Twierdzenie 25 (Kryterium d’Alemberta) 1. Jezeli
n→∞lim |an+1 an | < 1, to szereg P∞n=1an jest zbieżny.
2. Jeżeli
n→∞lim |an+1 an | > 1, to szereg P∞n=1an jest rozbieżny.
W przypadku
n→∞lim |an+1 an | = 1 kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Twierdzenie 26 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli
n→∞lim
qn
|an| < 1 to szereg P∞n=1an jest zbieżny.
2. Jeżeli
n→∞lim
qn
|an| > 1 to szereg P∞n=1an jest rozbieżny.
W przypadku
n→∞lim
qn
|an| = 1 kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Twierdzenie 27 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (bn) jest nierosnący od numeru n0 ∈ N i limn→∞bn = 0 to szereg naprzemienny P∞n=1(−1)n+1bn jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu
|Rn| ¬ bn+1 dla każdego n n0.
Definicja 31 Mówimy, że szereg P∞n=1an jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg P∞n=1|an| jest zbieżny.
Twierdzenie 28 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.
Definicja 32 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.
Szeregi potęgowe
Definicja 33 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R i współczynnikach cn ∈ R, nazywamy szereg postaci
∞
X
n=0
cn(x − x0)n.
Granica górna i dolna ciągu
Definicja 34 Niech (kn) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (an) będzie dowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn) określony wzorem bn = akn, gdzie n ∈ N.
Twierdzenie 29 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.
Definicja 35 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a.
Symbol −∞(∞) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do −∞(∞).
Definicja 36 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (an) (właściwych lub nie- właściwych). Wtedy
limn→∞an = inf S jest granicą dolną ciągu, a
limn→∞an= sup S jest granicą górną ciągu.
Twierdzenie 30 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli
limn→∞qn|an| < 1 to szereg P∞n=1an jest zbieżny.
2. Jeżeli
limn→∞qn|an| > 1 to szereg P∞n=1an jest rozbieżny.
W przypadku
limn→∞qn|an| = 1 kryterium nie rozstrzyga zbieżności.
Promień zbieżności szeregu potęgowego
R =
0 gdy limn→∞qn|cn| = ∞,
1 limn→∞n√
|cn| gdy 0 < limn→∞n
q|cn| < ∞,
∞ gdy limn→∞qn|cn| = 0.
Uwaga 6
R = lim
n→∞
1
qn
|cn|, R = lim
n→∞| cn cn+1| - o ile granice w tych wzorach istnieją.
Twierdzenie 31 (Cauchy’ego-Hadamarda) Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbież- ności szeregu potęgowego P∞n=0cn(x − x0)n. Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny w każdym punkcie przedziału (x0 − R, x0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru (−∞, x0− R) ∪ (x0+ R, ∞).
Definicja 37 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowegoP∞n=0cn(x−x0)nnazywamy zbiór
(
x ∈ R : szereg
∞
X
n=0
cn(x − x0)n jest zbieżny
)
.
Szereg Taylora funkcji Wzór Taylora
Niech f ma w przedziale (x0 − δ, x0+ δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy
f (x) =
n−1
X
k=0
f(k)(x0)
k! (x − x0)k+ Rn(x) gdzie
Rn(x) = f(n)(c)
n! (x − x0)n, c-punkt pośredni między x i xo.
Twierdzenie 32 Jeżeli dla każdego x ∈ (x0− δ, x0+ δ) limn→∞Rn(x) = 0, to f (x) =
∞
X
n=0
f(n)(x0)
n! (x − x0)n dla każdego x ∈ (x0− δ, x0+ δ)
Uwaga 7 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że |f(n)(x)| ¬ M dla każdego n ∈ N ∪ {0} oraz dla każdego x ∈ (x0− δ, x0 + δ), to limn→∞Rn(x) = 0.
Różniczkowanie szeregu potęgowego
Twierdzenie 33 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego
P∞
n=0cnxn. Wtedy
(
∞
X
n=0
cnxn)0 =
∞
X
n=1
ncnxn−1 dla każdego x ∈ (−R, R).
Wniosek 2 Jeżeli f (x) =P∞n=0cn(x − x0)n dla każdego x ∈ (x0− δ, x0+ δ), gdzie δ > 0, to
cn= f(n)(x0) n!
dla n = 0, 1, ...
Całkowanie szeregu potęgowego
Twierdzenie 34 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu P∞n=0cnxn. Wtedy
Z x 0
(
∞
X
n=0
cntn)dt =
∞
X
n=0
cn n + 1xn+1 dla każdego x ∈ (−R, R).
Twierdzenie 35 (Abela) Jeżeli szereg f (x) = P∞n=0cnxn jest zbieżny w końcowym prze- dziale zbieżności (np. w R), to
lim
x→R−f (x) =
∞
X
n=0
cnRn.
Szeregi Fouriera
Oznaczmy przez L[−π, π] przestrzeń funkcji całkowalnych na przedziale [−π, π]. W prze- strzeni tej określamy pseudoiloczyn skalarny
(f, g) =
Z π
−π
f (x)g(x)dx
Ciąg funkcji
√1
2π,cosx
√π ,sinx
√π , ...,cosnx
√π ,sinnx
√π , ...
stanowi układ ortonormalny w L[−π, π].
Definicja 38 Wielomianem trygonometrycznym nazywamy każdą funkcję okresową po- staci
Sn(x) = a0 2 +
n
X
k=1
(akcoskx + bksinkx), gdzie ak, bk są współczynnikami rzeczywistymi.
Twierdzenie 36 Średni błąd kwadratowy δ2 = 1
2π
Z π
−π[f (x) − Sn(x)]2dx jest najmniejszy jeśli
ak = 1 π
Z π
−πf (x)coskxdx dla k = 0, 1, 2, ..., n bk= 1
π
Z π
−πf (x)sinkxdx dla k = 1, 2, ..., n.
Definicja 39 Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci a0
2 +
∞
X
n=1
(ancosnx + bnsinnx).
Definicja 40 Sumą szeregu trygonometrycznego nazywamy granicę ciągu sum częścio- wych
Sn(x) = a0 2 +
n
X
k=1
(akcoskx + bksinkx).
Szereg Fouriera funkcji Niech f ∈ L[−π, π].
Definicja 41 Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny, gdzie an = 1
π
Z π
−πf (x)cosnxdx dla n = 0, 1, 2, ...
bn = 1 π
Z π
−πf (x)sinnxdx dla n = 1, 2, ...
Liczby an, bn nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f.
Będziemy stosowali oznaczenie f (x) ≈ a0
2 +
∞
X
n=1
(ancosnx + bnsinnx).
Twierdzenie 37 Jeżeli f ∈ L[−π, π], to szereg Fouriera jest zbieżny średnio z kwadratem do danej funkcji, tzn.
n→∞lim
Z π
−π[f (x) − Sn(x)]2dx = 0
Twierdzenie 38 (Dirichleta) Jeżeli funkcja f okresowa o okresie 2π spełnia warunki:
1. przedział [−π, π] można rozłożyć na skończoną ilość przedziałów otwartych, w każdym z których funkcja f jest ciągła i monotoniczna,
2. w każdym punkcie nieciągłości f istnieją granice f (x−) i f (x+),
to szereg Fouriera tej funkcji jest zbieżny i jego suma równa się f (x) w punktach ciągłości f, a w punktach nieciągłości funkcji suma ta równa się 12[f (x−) + f (x+)]
Uwaga 8 Jeżeli funkcja f jest okresowa o okresie 2π i całkowalna w przedziale [−π, π]
oraz jest funkcją
1. parzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem cosinusowym (bn = 0), 2. nieparzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem sinusowym (an = 0).
Uwaga 9 Zamiast przedziału [−π, π] można rozpatrywać przedział [−l, l]. Szereg Fouriera ma postać
a0 2 +
∞
X
n=1
(ancosπnx
l + bnsinπnx l ), gdzie
an = 1 l
Z l
−lf (x)cosπnx
l dx dla n = 0, 1, 2, ...
bn= 1 l
Z l
−lf (x)sinπnx
l dx dla n = 1, 2, ...
Transformata Fouriera
Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji f : R → R takich, że całka niewłaściwa
Z ∞
−∞|f (x)| dx jest zbieżna.
Definicja 42 Transformatą Fouriera funkcji f ∈ L(R) nazywamy funkcję
f (y) =b 1
√2π
Z ∞
−∞f (x)e−ixydx.
Twierdzenie 39 Jeżeli f ∈ L(R), to transformata f istnieje i jest funkcją ciągłą.b Uwaga 10 Jeżeli f ∈ L(R) oraz f jest funkcją
1. parzystą, to
f (y) =b s2
π
Z ∞ 0
f (x)cosxydx, 2. nieparzystą, to
f (y) = −ib s2
π
Z ∞ 0
f (x)sinxydx.
Transformata odwrotna do transformaty Fouriera Oznaczmy przezL(R) zbiór funkcji F : R → C takich, że całka niewłaściwae
Z ∞
−∞|F (x)| dx jest zbieżna.
Definicja 43 Transformatą odwrotną do transformaty Fouriera funkcji F ∈ L(R) nazy-e wamy funkcję
F (x) =e 1
√2π
Z ∞
−∞F (y)eixydy.
Zauważmy, żeF (x) =e F (−x).b
