xk je´sli k = n − 1

Zadania domowe 11-15

(termin: 25 maja 2018) Zadanie 11

Funkcje f (x) = x_, ⁴ interpolujemy wielomianem Hermite’a w dw´och podw´ojnych wez lach:_, x = 0 i x = 1.

(a) Wyznacz wielomian interpolacyjny w odpowiedniej bazie Newtona.

(b) Uzasadnij, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ [0, 1] b lad interpolacji mo˙zna oszacowa´_, c przez ₁₆¹. Zadanie 12.

Wyka˙z, ˙ze dla funkcji f (x) = xⁿ i dowolnych punkt´ow x_j, 0 ≤ j ≤ k, r´o˙znica dzielona f [x₀, x₁, . . . , x_k] =







0 je´sli k ≥ n + 1,

1 je´sli k = n,

x₀+ x₁+ · · · + x_k je´sli k = n − 1.

Zadanie 13.

Niech [a, b] bedzie przedzia lem sko´_, nczonym nie zawierajacym zera. Dla danego c ∈ R, niech_, Πe_n = { w ∈ Π_n : w(0) = c }.

Wska˙z w eΠnwielomian o najmniejszej normie jednostajnej na [a, b]. Ile wynosi jego norma?

Jakie bedzie rozwi_, azanie gdy 0 ∈ [a, b]?_, Zadanie 14.

Znajd´z wielomian stopnia nie wiekszego ni˙z 1 najlepiej aproksymuj_, acy funkcj_, e f (x) =_, √ x (i) w normie jednostajnej C([0, 1]),

(ii) w normie ´sredniokwadratowej L₂([0, 1]).

Zadanie 15.

Przeprowadzajac ortogonalizacj_, e Grama-Schmidta bazy pot_, egowej {1, x, x_, ², x³} znajd´z wie- lomiany ortogonalne Legendre’a stopnia 0, 1, 2, 3, tzn. wielomiany ortogonalne na przedziale [−1, 1] z waga ρ ≡ 1. Nast_, epnie wska˙z zera tych wielomian´_, ow.