Dla z ∈ R, niech z + = max(0, z). Wyka˙z, ˙ze ka˙zd a naturaln , a kubiczn , a funkcj , e sklejan , a s , opart a na w , ez lach x , 0 < x 1 < · · · < x n mo˙zna przedstawi´ c w postaci

Zadania domowe

(termin: 12 czerwca 2015)

Zadanie 4.1

Dla z ∈ R, niech z + = max(0, z). Wyka˙z, ˙ze ka˙zd a naturaln _, a kubiczn _, a funkcj _, e sklejan _, a s _, opart a na w _, ez lach x _, 0 < x 1 < · · · < x n mo˙zna przedstawi´ c w postaci

s(x) = w(x) +

n

X

k=0

a _k (x − x _k ) ³ ₊ , gdzie a _k ∈ R a w jest wielomianem stopnia co najwy˙zej 1. Ponadto,

n

X

k=0

a k x ⁱ _k = 0 dla i = 0, 1, 2.

Zadanie 4.2

Niech h > 0 i c ∈ R. Wyznacz wsp´o lczynniki kubicznej funkcji sklejanej s opartej na pi eciu ,

w ez lach −2h, −h, 0, h, 2h i spe lniaj _, acej dodatkowo nast _, epuj _, ace warunki interpolacyjne: _, s(0) = c, s ^(k) (±2h) = 0, k = 0, 1, 2.

Zadanie 4.3

Czy span(1, x ² , x ³ ) jest podprzestrzeni a Haara w _, (i) C([0, 1]),

(ii) C([−1, 1])?

Zadanie 4.4

Niech [a, b] b edzie przedzia lem sko´ _, nczonym nie zawieraj acym zera. Dla danego c ∈ R, niech _, Π e _n = { w ∈ Π _n : w(0) = c }.

Wska˙z w e Π _n wielomian o najmniejszej normie jednostajnej na [a, b]. Ile wynosi jego norma?

Jakie b edzie rozwi _, azanie gdy 0 ∈ [a, b]? _, Zadanie 4.5

Zaproponuj algorytm obliczania warto´sci p(x) wielomianu p danego przez wsp´ o lczynniki a ₀ , a ₁ , . . . , a _n jego rozwini ecia w bazie Czebyszewa, tzn. _,

p(x) =

n

X

k=0

a k T k (x).

Algorytm ma dzia la´ c w czasie proporcjonalnym do n.

Zadanie 5.1

Znajd´ z wielomian stopnia nie wi ekszego ni˙z 1 najlepiej aproksymuj _, acy funkcj _, e f (x) = _, √ x (i) w normie jednostajnej C([0, 1]),

(ii) w normie ´sredniokwadratowej L 2 ([0, 1]).

2

Zadanie 5.2

Przeprowadzaj ac ortogonalizacj _, e Grama-Schmidta bazy pot _, egowej {1, x, x _, ² , x ³ } znajd´z wie- lomiany ortogonalne Legendre’a stopnia 0, 1, 2, 3, tzn. wielomiany ortogonalne na przedziale [−1, 1] z wag a ρ ≡ 1. Nast _, epnie wska˙z zera tych wielomian´ _, owi, czyli w ez ly odpowiednich _, kwadratur Gaussa-Legendre’a.

Zadanie 5.3

Znajd´ z w eze l c oraz wsp´ _, o lczynniki α i γ tak, aby kwadratura Q(f ) = αf (a) + γf (c) przybli˙zaj aca ca lk _, e _, R b

a f (x) dx mia la najwi ekszy rz _, ad. _, Zadanie 5.4

Niech ˆ T _n (f ) b edzie z lo˙zon _, a kwadratur _, a trapez´ _, ow dla aproksymacji ca lki I(f ) = R b

a f (x) dx, opart a na r´ _, ownomiernym podziale odcinka [a, b] na n pododcink´ ow. Niech

Q ˆ _n (f ) = ˆ T _n (f ) − (b − a) ²

12n ² f ⁰ (b) − f ⁰ (a)
.

Wyka˙z, ˙ze je´sli f ∈ C ² ([a, b]) to b l ad kwadratury |I(f ) − ˆ _, Q _n (f )| zbiega do zera co najmniej tak szybko jak n ⁻⁴ gdy n → ∞.

Zadanie 5.5

Niech S(a, b; f ) b edzie prost _, a trzypunktow _, a kwadratur _, a Simpsona na przedziale [a, b]. Niech _, I(a, b; f ) = R b

a f (x) dx. Znajd´ z funkcj e ψ = ψ(a, b; ·) tak _, a, ˙ze dla ka˙zdej f ∈ C _, ⁴ ([a, b]) mamy S(a, b; f ) − I(a, b; f ) =

Z b a

ψ(a, b; t)f ⁽⁴⁾ (t) dt.

Wskaz´ owka. Wykorzystaj wz´ or

f (x) = T ₃ (x) + Z x

a

(x − t) ³

3! f ⁽⁴⁾ (t) dt, gdzie T ₃ (x) = P 3

k=0 (x−a)

k! f ^(k) (a) jest odpowiednim wielomianem Taylora. Dla uproszczenia,

za l´ o˙z najpierw, ˙ze [a, b] = [0, 1].