xy dx dy, b) RR

Lista nr 4 I´ S, sem.II, studia niestacjonarne, 2015/16

Ca lka podw´ ojna

1. Obliczy´ c ca lk e podw´ _, ojn a w prostok _, acie D = {−4 ≤ x ≤ −1; −3 ≤ y ≤ −1}: _, a) RR

D 1

xy dx dy, b) RR

D 1

(x+y)

dx dy, c) RR

D

√ 1

xy dx dy.

2. Obliczy´ c ca lk e podw´ _, ojn a w obszarze ograniczonym liniami, kt´ _, orych r´ ownania podano obok ca lki:

a) RR

D

(x + y) dx dy; x = 0, y = 0, x + y = 1; b) RR

D

e ^x+y dx dy; x + y = 1, x − y = −1, y = 0;

c) RR

D

(x + y + 1) ² dx dy; x = 0, x + y = 1, x − y = 1; d) RR

D

xy dx dy; y = x ² , y = 0, x = 1;

e) RR

D

(x + 1) dx dy; xy = 1, x = 1, x = 2, y = 0; f) RR

D

dx dy; y = x ² , y = 4 − x ² ; g) RR

D

x dx dy; y = _x ¹ dla x > 0, y = x, y = 0, x = 2; h) RR

D

x dx dy; y = x ² dla x ≥ 0, y = ¹ ₄ x ² dla x ≥ 0, y = 1;

i) RR

D

xy dx dy; y = x ² , y = 2 + |x|;

3. Obliczy´ c pole ograniczone liniami:

a) xy = 4, y = x, x = 4; b) y = x ² , 4y = x ² , y = 4; c) y = x ² , 4y = x ² , x = ±2;

d) y ² = 4 + x, x + 3y = 0; e) y = ln x, x − y = 1, y = −1.

4. Stosuj ac wsp´ _, o lrz edne biegunowe, obliczy´ _, c pole obszaru ograniczonego liniami:

a) x ² + y ² = 1; b) x ² + y ² = 1, y = 0 dla y ≥ 0;

c) x ² + y ² = 1, x = 0 dla x ≥ 0; d) x ² + y ² = 1, x ² + y ² = 4;

e) x ² + y ² = 1, y = x, y = 0 dla x ≥ 0; f) x ² + y ² = 1, y = x, y = √

3x dla x ≤ 0;

g) x ² + y ² = 1, x ² + y ² = 4, y = x, y = −x dla y ≥ 0.