dx = 2xy, b) e x+y dy − dx = 0, c) dy

Lista nr 7 Biotechnologia sem.II, studia stacjonarne I stopnia, 2015/16

Równania różniczkowe

1. Rozwiązać następujące równania różniczkowe:

a) dy

dx = 2xy, b) e ^x+y dy − dx = 0, c) dy

dx = y

x ln x , d) dy

dx = y ² x ² + 1 , e) dy

dx = 2x(y − 1)

x ² + 3 , f) y − x dy

dx = 3 − 2x ² dy

dx , g) dy

dx = x(y ² − 1)

2(x − 2)(x − 1) , h) dy

dx = x ² y − 32 16 − x ² + 2.

2. Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe:

a) dy

dx = 1 − sin(x + y) sin y cos x , y( π

4 ) = π

4 , b) dy

dx = y ³ sin x, y(0) = 1.

3. Rozwiązać następujące równania różniczkowe:

a) (3x − 2y) dy

dx = 3y, b) sin( y x )(x dy

dx − y) = x cos( y

x ), c) (2x − y)dy − (x + 2y)dx = 0, d) x dy

dx + y ln x = y ln y, e) dy

dx = (x + y) ²

2x ² , f) x dy

dx = x tg( y x ) + y, g) x ² dy

dx = y ² + 3xy + x ² .

4. Rozwiązać następujące zagadnienie początkowe:

a) dy

dx = 2x − y

x + 4y , y(1) = 1, b) dy

dx = y − p x ² + y ²

x , y(3) = 4.

5. Rozwiązać następujące równania różniczkowe:

a) y ⁰ = 3y

x + x, b) y ⁰ + 2y = e ^3x , c) xy ⁰ + x ² + xy = y, d) y ⁰ cos x − y sin x = 1.

6. Znaleźć rozwiązania odanych zagadnień początkowych:

a) y ⁰ + y tg x = 1

cos x , y(0) = 0, b) y ⁰ = 2y + e ^x − x, y(0) = 1 4 , c) xy ⁰ + y = xe ^x

, y(1) = 2, d) xy ⁰ + 2y = cos x, y( π

2 ) = 0.

7. Rozwiązać następujące równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach:

a) 6y ⁰⁰ − 5y ⁰ + y = 0, b) y ⁰⁰ − y ⁰ − 2y = 0, c) 4y ⁰⁰ − 4y ⁰ + y = 0, d) y ⁰⁰ + y ⁰ + 1

4 y = 0, e) y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 5y = 0, f) y ⁰⁰ − 2y ⁰ + 5y = 0.

8. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:

a) y ⁰⁰ + y ⁰ − 6y = 0, y(0) = 1, y ⁰ (0) = 0, b) y ⁰⁰ + 9y = 0, y( π

3 ) = 1, y ⁰ ( π

3 ) = 1,

c) y ⁰⁰ − 2y ⁰ + y = 0, y(1) = 2, y ⁰ (1) = 3.