Całki nieoznaczone

(1)

Całka nieoznaczona

W. śakowski, G. Decewicz, Matematyka cz. I, Analiza matematyczna, WNT, Warszawa 1991.

(2)

∫

^f⁽^x⁾^dx = F(x) + C,

gdzie F(x) jest dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X, a C – dowolna stałą, zwana stałą całkowania.

Całka sumy i róŜnicy

∫

^[^f⁽^x⁾^±^g⁽^x^)]^dx⁼

∫

^f⁽^x⁾^dx ^±

∫

^g⁽^x⁾^dx

Zadania Zad. 1

Oblicz całkę funkcji f(x)=4x+5.

Rozwiązanie:

Stosujemy w tym zadaniu wzory całkowe:

∫

^kdx⁼^kx⁺^C ⁽¹⁾

gdzie:

k - stała, dowolna liczba rzeczywista,

C - stała całkowania, czyli dowolna liczba rzeczywista.

C 1x

n dx 1

xⁿ ⁿ ¹+

= + ⁺

∫

^{n −}^≠ ¹ ⁽²⁾

Wykonujemy następujące obliczenia:

∫f(x) dx=∫(4x+5) dx=2x²+5x+C Sprawdzamy rozwiązanie:

(2x²+5x+C)′=4x+5

Zad. 2

Oblicz całkę funkcji f(x)=x². Rozwiązanie:

Stosując wzór (2) wykonujemy następujące obliczenia:

∫f(x) dx=∫x² dx=

3 1x³+C Sprawdzamy rozwiązanie:

(3

1x³+C)′=

3

1 3x²=x²

(3)

Zad. 3

Oblicz całkę funkcji f(x)=2x⁴. Rozwiązanie:

∫f(x) dx=∫2x⁴ dx=2∫x⁴ dx=

5 2x⁵+C Sprawdzamy rozwiązanie:

(5

2x⁵+C)′=

5

2 5x⁴=2x⁴

Zad. 4

Oblicz całkę funkcji f(x)= x⁵ 2

−3 . Rozwiązanie:

C 4x

C 1 6x 1 2 dx 3 2 x dx 3 ) 2x

(−3 ⁵ =−

∫

⁵ =− ⋅ ⁶+ =− ⁶+

∫

Sprawdzamy rozwiązanie:

5 5

6 x

2 x 3 4 6 )' 1 C 4x

(−1 + =− ⋅ =−

Zad. 5

Oblicz całkę funkcji f(x)=-2x³+3x². Rozwiązanie:

Rozpisujemy całkę z funkcji f(x) na sumę dwóch całek, a następnie liczymy całki dla kaŜdego wyraŜenia wielomianowego osobno.

C x 2x C 1 3x 3 1 4x 2 1 dx x 3 dx ) x 2 ( dx ) x 3 x 2

(− ³+ ² =

∫

− ³ +

∫

² =− ⋅ ⁴+ ⋅ ³+ =− ⁴+ ³+

∫

2 3 2

3 3

4 4x 3x 2x 3x

2 )' 1 C x 2x

(−1 + + =− ⋅ + =− +

Zad. 6

Oblicz całkę funkcji f(x)=4x⁸-5x⁶. Rozwiązanie:

(4)

Rozpisujemy całkę z funkcji f(x) na róŜnicę dwóch całek, a następnie liczymy całki dla kaŜdego wyraŜenia wielomianowego osobno.

C 7x

x 5 9 C 4 7x

5 1 9x 4 1 dx x 5 dx x 4 dx ) x 5 x 4

( ⁸ − ⁶ =

∫

⁸ −

∫

⁶ = ⋅ ⁹ − ⋅ ⁷ + = ⁹ − ⁷ +

∫

6 8 6 8

7

9 7x 4x 5x

7 x 5 9 9 )' 4 C 7x

x 5 9

(4 − + = ⋅ − ⋅ = −

Zad. 7

Oblicz całkę funkcji

x ) 2 x (

f = .

Stosujemy w tym zadaniu wzór całkowy:

C x ln xdx

1 = +

∫

⁽³⁾

Rozwiązanie:

C x ln 2 xdx 2 1 xdx

2 =

∫

= +

∫

x 2 x 21 )' C x ln 2

( + = =

Zad. 8

Oblicz całkę funkcji ₂ x ) 5 x (

f = .

Rozwiązanie:

C x 5 C 1x

2 5 1 dx x 5 x dx

5 ₂ ₁ ₁

2 + =− +

+

= −

=

∫

⁻ ⁻ ⁻

∫

(5)

2 2 1

x x 5 ) 1 )(

5 ( )' C x 5

(− ⁻ + = − − ⁻ =

Zad. 9

Oblicz całkę funkcji

4 x 2 ) 1 x (

f = + .

C b ax aln dx 1 b ax

1 = + +

∫

+ ⁽⁴⁾

Rozwiązanie:

C 4 x 2 2ln dx 1 4 x 2

1 = + +

∫

+

4 x 2 2 1 4 x 2

1 2 )' 1 C 4 x 2 2ln (1

= +

= + + +

Drugi sposób na obliczenie pochodnej funkcji złoŜonej.

Robimy podstawienie i wprowadzamy nową zmienną u:

u=2x+4

4 x 2

1 u 2 1 u 1 2 ' 1 uu 1 2 )' 1 C u 2ln (1

= +

=

= +

Zad. 10

Oblicz całkę funkcji f(x)=3e^x.

C e dx e^x = ^x +

∫

⁽⁵⁾

Rozwiązanie:

C e 3 e 3 dx e

3 ^x =

∫

^x = ^x +

∫

(6)

x x C)' 3e e

3

( + =

Zad. 11

Oblicz całkę funkcji f(x)=2^x.

a C ln dx a a

x = x +

∫

⁽⁶⁾

Rozwiązanie:

a C ln dx 2 2

x = x +

∫

x x x

2 a ln a 2

ln )' 1 a C ln

( 2 + = ⋅ ⋅ =

Zad. 12

Oblicz całkę funkcji f(x)= x.

Rozwiązanie:

Stosujemy wzór (2) i wykonujemy następujące obliczenia:

C 3x

C 2 x 2 1 1 dx 1 x dx

x ²

3 2

1

+

= + +

=

∫

x 2x

3 3 )' 2 C 3x

(2 ²

1 2

3

=

= +

(7)

Zad. 13.

Oblicz całkę funkcji f(x)=2sinx: Stosujemy w tym zadaniu wzór całkowy:

C x cos xdx

sin =− +

∫

⁽⁷⁾

Rozwiązanie:

C x cos 2 C ) x cos ( 2 xdx sin 2 xdx sin

2 = = − + =− +

∫ ∫

Zad. 14.

Oblicz całkę funkcji f(x)=3x+sinx: Rozwiązanie:

C x cos 2x

xdx 3 sin xdx 3 xdx sin xdx 3 dx ) x sin x 3

( + = + = + = ² − +

Całki nieoznaczone

Całka nieoznaczona

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫