Szeregi Fouriera

Przekształcenia całkowe

Wykład 7

Szeregi Fouriera

Definicja:

Mówimy, że ciąg funkcji całkowalnych z kwadratem w przedziale jest ciągiem ortogonalnym, jeżeli

{

}

[ , ] a b

0 dla ,

( ) ( ) d

0 dla .

b

n m

a

n m X x X x x

A n m

⎧ ≠

= ⎨ ⎩ > =

∫

Szeregi Fouriera

Zadanie

Sprawdzić, że ciąg funkcji

Jest ciągiem ortogonalnym w .

{ 1, sin , cos , sin 2 , cos 2 , x x x x … }

[ −π π , ]

Szeregi Fouriera

Rozwiązanie:

Należy sprawdzić (zakładając )

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

n ≠ m sin n x x d 0

π

−π

∫ =

−π

∫

sinn x sinm x xd 0

π

−π

∫

^{cos n x cos m x x d 0}

−π

∫ = sin n x cos m x x d 0

π

−π

∫ =

π

−π

= >

∫

cos

n x x d A 0

π

−π

= >

∫

^{d x A 0}

−π

= >

∫

Szeregi Fouriera

Zadanie 1

Szeregi Fouriera

[ ]

[ ]

1 1

sin d sin d cos

d d

1 cos cos 0

n

n n n

u n x

n x x u u u

u n x n n

n n

n

π π

π

−π − π − π

⎫

⎧ =

= ⎨ ⎩ = ⎬ ⎭ = = − =

= − π − π =

∫ ∫

Zadanie 2

[ ]

1 1

cos d cos d sin 0

d d

n

n n n

u n x

n x x u u u

u n x n n

π π

π

−π − π − π

⎫

⎧ =

= ⎨ ⎩ = ⎬ ⎭ = = =

∫ ∫

Wzory

Szeregi Fouriera

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

α + β = α β − α β

α − β = α β + α β

Po odjęciu stronami

[ ]

cos( ) cos( ) 2sin sin sin sin 1 cos( ) cos( )

2

α − β − α + β = α β

α β = α − β − α + β

Zadanie 3

1 2

1 2

( ) ( )

2 2 1 1

( ) ( )

1 1

sin sin d cos ( ) d cos ( ) d

2 2

( ) ( )

d ( ) d d ( ) d

1 1

cos d cos d

2( ) 2( )

n m n m

n m n m

n x m x x n m x x n m x x

u n m x u n m x

u n m x u n m x

u u u u

n m n m

π π π

−π −π −π

− π + π

− − π − + π

= − − + =

⎧ = + = − ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ =

= + = −

⎪ ⎪

⎩ ⎭

= − =

− +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Szeregi Fouriera

1 1

sin ( n m ) sin ( n m ) 0

n m n m

= − π − + π =

− +

Wzory

Szeregi Fouriera

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

α + β = α β − α β α − β = α β + α β

Po dodaniu stronami

[ ]

cos( ) cos( ) 2cos cos cos cos 1 cos( ) cos( )

2

α + β + α − β = α β

α β = α + β + α − β

Zadanie 4

Szeregi Fouriera

1 2

1 2

( ) ( )

1 1 2 2

( ) ( )

1 1

cos cos d cos ( ) d cos ( ) d

2 2

( ) ( )

d ( ) d d ( ) d

1 1

cos d cos d

2( ) 2( )

1 1

sin ( ) sin ( ) 0

n m n m

n m n m

n x m x x n m x x n m x x

u n m x u n m x

u n m x u n m x

u u u u

n m n m

n m n m

n m n m

π π π

−π −π −π

+ π − π

− + π − − π

= + + − =

⎧ = + = − ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ =

= + = −

⎪ ⎪

⎩ ⎭

= + =

+ −

= + π − − π =

+ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Wzory

Szeregi Fouriera

sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin

α + β = α β + α β

α − β = α β − α β

Po dodaniu stronami

[ ]

sin( ) sin( ) 2sin cos sin cos 1 sin( ) sin( )

2

α + β + α − β = α β

α β = α + β + α − β

Zadanie 5

Szeregi Fouriera

[ ]

1 2

1 2

( ) ( )

1 1 2 2

( ) ( )

( )

1 ( )

1 1

sin cos d sin ( ) d sin ( ) d

2 2

( ) ( )

d ( ) d d ( ) d

1 1

sin d sin d

2( ) 2( )

1 1

2( ) cos 2( )

n m n m

n m n m

n m n m

n x m x x n m x x n m x x

u n m x u n m x

u n m x u n m x

u u u u

n m n m

n m u n m

π π π

−π −π −π

+ π − π

− + π − − π

+ π

− + π

= + + − =

⎧ = + = − ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ =

= + = −

⎪ ⎪

⎩ ⎭

= + =

+ −

= +

+ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

[ cos u

]

= 0

Wzory

Szeregi Fouriera

2 2 2

2

2 2 2

2

cos 2 cos sin 2 cos 1 1 1

cos cos 2

2 2

cos 2 cos sin 1 2sin 1 1

sin cos 2

2 2

α = α − α = α −

α = + α

α = α − α = − α

α = − α

Zadanie 6

Szeregi Fouriera

[ ] [ ]

2

2

2 2 2

1 1 2

sin d d cos 2 d

d 2 d

2 2

1 1 1

cos d sin 0

2 2 2

n

n n n

u n x

n x x x n x x

u n x

x u x u

π π π

−π −π −π

π π π

−π − π

− π

⎧ = ⎫

= − = ⎨ ⎩ = ⎬ ⎭ =

= − = π − = π − = π

∫ ∫ ∫

∫

Zadanie 7

Szeregi Fouriera

[ ] [ ]

2

2

2 2 2

1 1 2

cos d d cos 2 d

d 2 d

2 2

1 1 1

cos d sin 0

2 2 2

n

n n n

u n x

n x x x n x x

u n x

x u x u

π π π

−π −π −π

π π π

−π − π

− π

⎧ = ⎫

= + = ⎨ ⎩ = ⎬ ⎭ =

= + = π + = π + = π

∫ ∫ ∫

∫

Sprawdziliśmy, że dany ciąg jest ortogonalny w przedziale

, przy czym

.

[ −π π , ] ^{A = π}

Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera

Niech będzie funkcją o okresie mającą w przedziale co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości

i całkowalną w tym przedziale.

Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:

gdzie – współczynniki.

( )

f x 2π

[ −π π , ]

0

1

( ) ( cos sin ),

2

f x a a n x b n x

∞

=

= + ∑ +

0

,

,

a a b

Szeregi Fouriera

Czyli

Wyznaczanie współczynników

Wiemy, że ciąg

jest ciągiem ortogonalnym w przedziale . Obie strony wzoru na szereg Fouriera całkujemy od do .

0 1 1 2 2

( ) 1 cos sin cos 2 sin 2

f x = 2 a + a x + b x + a x + b x +…

{

}

[ −π π , ]

−π π

Szeregi Fouriera

Otrzymujemy:

Szeregi Fouriera

[ ]

0

1

0 0

0

0

0

( ) d d cos d sin d

2

( ) d

2

1 ( ) d

n n

n

f x x a x a n x x b n x x

f x x a x a

a f x x

π π ∞ π π

−π −π = −π −π

π π

−π −π

π

−π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= + ⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = π

= π

∫ ∫ ∑ ∫ ∫

∫

∫

Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez i całkujemy od do .

Wówczas otrzymujemy:

cos m x −π π Szeregi Fouriera

0

0

1

0

cos ( ) d cos d

2

cos cos d sin cos d

n n

n

dla n m

m x f x x a m x x

a n x m x x b n x m x x

π π

−π −π

π π

∞

= −π −π

π =

= +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜

+ + ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜ ⎠

⎝

∫ ∫

∑ ∫ ∫

cos ( ) d

1 ( ) cos d

m

m

m x f x x a

a f x m x x

π

−π

π

−π

= π

= π

∫

∫

Szeregi Fouriera

Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez

i całkujemy od do : sin m x

−π π

0

0

1

0

sin ( ) d sin d

2

cos sin d sin sin d

sin ( ) d

1 ( )sin d

n n

n

dla n m

m

m

m x f x x a m x x

a n x m x x b n x m x x

m x f x x b

b f x m x x

π π

−π −π

π π

∞

= −π −π

π =

π

−π

π

−π

= +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

+ ⎜ + ⎟

⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠

= π

= π

∫ ∫

∑ ∫ ∫

∫

∫

Szeregi Fouriera

Szereg Fouriera

Szeregi Fouriera

0

1

0

( ) ( cos sin )

2

1 ( ) d

1 ( ) cos d

1 ( )sin d

n n

n

n

n

f x a a n x b n x

a f x x

a f x n x x

b f x n x x

∞

= π

−π π

−π π

−π

= + +

= π

= π

= π

∑

∫

∫

∫

Jeżeli jest funkcją nieparzystą:

f x ( ) Szeregi Fouriera

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫ ( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

=

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

=

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

=

=

−

−

−

−

−

−

π

π π

π π

π π

π π

π

π π

π

π

π π

π π

π π

0

0 0

0 0

0

0 0

2 sin

sin 1 sin

1 sin

0 cos

1 cos 1 cos

1 0 1

nxdx x

f

nxdx x

f nxdx

x f nxdx

x f b

nxdx x

f nxdx

x f nxdx

x f a

dx x f dx

x f dx

x f a

n n

Szeregi Fouriera

Jeżeli jest funkcją parzystą:

f x ( ) Szeregi Fouriera

0

0

0

0

0

1 2

( ) d ( ) d

1 2

( ) cos d ( ) cos d 1 ( )sin d

1 ( )sin d ( )sin d 0

n

n

a f x x f x x

a f x n x x f x n x x

b f x n x x

f x n x x f x n x x

π π

−π

π π

−π π

−π

π

−π

= =

π π

= =

π π

= =

π

⎡ ⎤

= ⎢ + ⎥ =

π ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

Szeregi Fouriera

jest funkcją nieparzystą

( )

f x

Szeregi Fouriera

0

0

0 0

2 ( )sin d

n

n

a a

b f x n x x

π

=

=

= π ∫

jest funkcją parzystą

( )

f x

Szeregi Fouriera

0

0

0

2 ( ) d

2 ( ) cos d 0

n

n

a f x x

a f x n x x

b

π

π

= π

= π

=

∫

∫

Rozwinięcie funkcji o okresie 2L w szereg Fouriera

Niech będzie funkcją o okresie mającą w przedziale co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i całkowalną w tym przedziale.

( ) f x

[ − L L , ] 2L

Szeregi Fouriera

Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:

gdzie – współczynniki.

0

1

( ) ( cos sin ),

2 _n ^{n n}

a n x n x

f x a b

L L

∞

=

π π

= +

∑

0

,

,

a a b

Szeregi Fouriera

0

1 ( ) d

1 ( ) cos d

1 ( )sin d

L

L

n

L n

L

a f x x

L

a f x n x x

L L

b f x n x x

L L

− π

−π

−

=

= π

= π

∫

∫

∫

jest funkcją nieparzystą

( )

f x

Szeregi Fouriera

0

0

0 0

2 ( )sin d

n

L n

a a

b f x n x x

L L

=

=

= ∫ π

jest funkcją parzystą

( )

f x

Szeregi Fouriera

0

0

0

2 ( ) d

2 ( ) cos d 0

L

L n

n

a f x x

a f x n x x

L b

= π

= π π

=

∫

∫