CAŁKI OZNACZONE Definicja

1

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 9.

CAŁKI OZNACZONE

Definicja (podział odcinka)

Podziałem odcinak [ , ]a b na n części, gdzie n nazywamy zbiór:

0 1

{ , , , _n} P x x x

Stosowane oznaczenia

  x_k x_k x_k1 - długość k-tego odcinak podziału P, gdzie 1 k n

 ( )P max{x_k,1 k n} - średnica podziału P

 x^*_k(x_k x_k1) - punk pośredni k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 k n

Definicja (całka oznaczona Riemanna)

Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [ , ].a b Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [ , ]a b definiujemy wzorem

* ( ) 0 1

( )

lim

b n

k k

P k

a

f x dx f x x

  







2

o ile z prawej strony granica jest właściwa oraz nie zależy od sposobu podziału P przedziału [ , ]a b ani od sposobu wyboru punktów pośrednich.

Przyjmujemy, że ( ) 0

a

a

f x dx



a b

f x dx  f x dx

 

Funkcją dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [ , ]a b nazywamy funkcją całkowalną na [ , ].a b

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ Pole trapezu krzywoliniowego

Niech D oznacza pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem ciągłej nieujemnej funkcji f, a osią OX oraz prostymi x=a, x=b. Pole D trapezu krzywoliniowego jest granicą sum pól

prostokątów D_k aproksymujących ten trapez, gdy średnica podziału ( )P 0.

*

( ) 0 1 ( ) 0 1

( ) ( ) .

lim lim

b

k k k

P k P k a

D D f x x f x dx

 

 

   









Gdy wykres funkcji f leży pod osią OX, wtedy przyjmujemy, że pole trapezu D jest ujemne.

Twierdzenie (warunek wystarczający całkowalności funkcji)

Jeżeli f jest ograniczona na przedziale [ , ]a b i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju (np.: „skok” lub „luka”), to jest na nim całkowalna.

3 Twierdzenie (Newtona-Leibniza)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b , to

( ) ( ) ( ).

b

a

f x dxF b F a



gdzie funkcja F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale.

Przykład

Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki:

1 4 6

3

1 0

6

a) (x 3x 1)dx, b) tgx dx c, ) sinx dx.





 

 

  

Twierdzenie (o linowości całki oznaczonej) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na [ , ]a b , to

1) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ;

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

2) ( ) ( ) ,

b b

a a

cf x dxc f x dx

 

METODY OBLICZANIA CAŁEK OZNACZONYCH Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [ , ]a b , to

 

( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ) .

b b

b a

a a

f x g x dx f x g x  f x g x dx

 

Przykład

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki:

3

0 0

a) xarctgxdx, b) xsinx dx.





4 Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli 1) funkcja :[ , ] [ , ]

na

    a b ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]  , 2)

 

 

3) funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b to

( ) ( ( )) '( ) .

b

a

f x dx f t t dt





 





Przykład

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie obliczyć podane całki:

1 2 2 ln 2

0 0 0

a)







Twierdzenie (addytywność całki względem przedziałów całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [ , ]a b , oraz c( , )a b to

( ) ( ) ( ) .

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

Definicja (wartość średnia funkcji)

Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [ , ]a b . Wartością średnią funkcji f na przedziale [ , ]a b nazywamy liczbę

1 ( )

b sr

a

f f x dx

b a

 



5 Uwaga

Wartość średnia funkcji f na przedziale [ , ]a b jest wartością prostokąta o podstawie b-a, którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ogr. wykresem funkcji f, osią OX i prostymi x=a, x=b

Przykład

Obliczyć wartość średnią funkcji f x( )sinx na przedziale [0, ] Twierdzenie (całkowe o wartości średniej funcji)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b , to

( , ) : ( ), tzn. ( ) ( ) ( ).

b sr

a

c a b f f c f x dx b a f c

  



6 Fakt (całka funkcji nieparzystej, parzystej)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [ , ]a b , oraz jest

1) nieparzysta, to ( ) 0;

a

a

f x dx





2) parzysta, to

0

( ) 2 ( ) ;

a a

a

f x dx f x dx







Definicja (funkcja górnej granicy całkowania)

Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [ , ]a b oraz niech c[ , ]a b . Funkcję

( ) ( ) ,

x

c

F x 



gdzie x[ , ]a b nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.

ZASTOSOWANIE CAŁEK NIEOZNACZONYCH W GEOMETRII Fakt (pole trapezu krzywoliniowego)

1) Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [ , ]a b oraz niech d x( )g x( ) dla każdego [ , ]

x a b . Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz x=a, x=b wyraża się wzorem

[ ( ) ( )] ;

b

a

D 



7

2) Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [ , ]p q oraz niech d y( )g y( ) dla każdego [ , ]

y p q . Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz y=p, y=q wyraża się wzorem

[ ( ) ( )] .

q

p

D 



Przykład

Obliczyć pole figur geometrycznych ograniczonych podanymi krzywymi:

a) yx26x4, y 3 x, b) y2 ,x y 3 x y, 0.

Fakt (długość krzywej)

Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]a b . Wtedy długość krzywej {( , ( )) :x f x x [ , ]}a b

   wyraża się wzorem

1 ( '( ))2 .

b

a

f x dx

 



8 Obliczyć długość łuku krzywej ln cos , 0 .

y_ x _{ }x 3

Fakt (objętość bryły obrotowej)

Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale [ , ]a b . Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, osią OX oraz prostymi x=a, x=b. Wtedy

1) objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi OX wyraża się wzorem

2( ) .

b

a

V 



2) objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi OY wyraża się wzorem

2 ( ) .

b

a

V  



9 Przykład

Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu podanej figury T wokół wskazanej osi 0 y xe^x, 0 x 4 wokół osi OX.

Fakt (pole powierzchni obrotowej)

1) Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]a b . Wtedy pole powierzchni

 powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX wyraża się wzorem

2 ( ) 1 ( '( ))2 .

b

a

f x f x dx



 



2) Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]a b , gdzie a0. Wtedy pole powierzchni  powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OY wyraża się wzorem

2 1 ( '( ))2 .

b

a

x f x dx



 



CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU Definicja (całka niewłaściwa na półprostej)

Niech f będzie określona na przedziale [ , )a  . Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na [ , )a  definiujemy wzorem

( )

lim

T

a T a

f x dx f x dx









Jeżeli granica po prawej stronie jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f na [ , )a  jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa  lub , to mówimy, że całka jest rozbieżna do  lub

.

10 Analogicznie

( )

lim

b b

S S

f x dx f x dx

 





Przykład

Obliczyć podane całki niewłaściwe

2

2 4

a) dx, b) dx .

x x

 

 

Definicja (całka niewłaściwa na prostej)

Niech f będzie określona na przedziale ( , ). Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na ( , ) definiujemy wzorem

( ) ( ) ( ) ,

a

a

f x dx f x dx f x dx

 

 

 

  

gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Przykład

Obliczyć

2 .

1 dx x







CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU Definicja (całka niewłaściwa drugiego rodzaju)

Niech f określona na przedziale ( , ]a b będzie nieograniczona tylko na prawym sąsiedztwie punktu a.

Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na ( , ]a b definiujemy wzorem

( )

lim

b b

A a

a A

f x dx f x dx

 





Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f określonej na przedziale [ , )a b i nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b:

( )

lim

b B

B b

a a

f x dx f x dx

 





11 Przykład

Obliczyć

1

ln .

e dx

x x



Definicja (całki niewłaściwe drugiego rodzaju, ciąg dalszy)

Niech f będzie określona na zbiorze [ , )a c ( , ]c b będzie nieograniczona tylko na obu

jednostronnych sąsiedztwach punktu c. Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na [ , ]a b definiujemy wzorem

( ) ( ) ( ) .

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

Przykład

Obliczyć

8 3 8

dx .



