Wykład II

(1)

FIZYKA I

Wykład II

(2)

Pojęcia podstawowe i historia Rachunek wektorowy (I)

՜𝑎

՜𝑏

Ԧ

𝑎 = 𝑥_𝑎, 𝑦_𝑎 𝑏 = 𝑥_𝑏, 𝑦_𝑏

Składowe wektora

𝑥_𝑏 y

𝑥_𝑎 x 𝑦_𝑏

𝑏 = 𝑥_𝑏² + 𝑦_𝑏² Ԧ

𝑎 = 𝑥_𝑎² + 𝑦_𝑎² Długość wektora

𝑥_𝑏 y

𝑥_𝑛= 𝑛 cos(𝛼) 𝑦_𝑛= 𝑛 sin(𝛼)

a

(3)

Pojęcia podstawowe i historia Rachunek wektorowy (II)

՜𝑎

՜𝑏

Ԧ

𝑎 = 𝑥_𝑎, 𝑦_𝑎 𝑏 = 𝑥_𝑏, 𝑦_𝑏

Suma wektorów

𝑥_𝑏 y

𝑥_𝑐= 𝑥_𝑎 + 𝑥_𝑏 𝑦_𝑐= 𝑦_𝑎 + 𝑦_𝑏

Ԧ

𝑐 = Ԧ𝑎+𝑏

՜𝑐

Różnica wektorów

𝑥_𝑏 y

−𝑏

՜𝑑

𝑥_𝑑= 𝑥_𝑎 − 𝑥_𝑏 𝑦_𝑑= 𝑦_𝑎 − 𝑦_𝑏

𝑑 = ԦԦ 𝑎-𝑏

(4)

Pojęcia podstawowe i historia Rachunek wektorowy (III)

Iloczyn skalarny wektorów

Ԧ

𝑎°𝑏 = ෍

𝑖=1 𝑛

𝑎_𝑖𝑏_𝑖

(5)

Pojęcia podstawowe i historia Rachunek wektorowy (IV)

Iloczyn wektorowy wektorów

Ԧ

𝑎 × 𝑏 = Ԧ𝑎 𝑏 sinθ

(6)

Pojęcia podstawowe i historia Rachunek wektorowy (V)

Iloczyn wektorowy wektorów

Reguła Sarrusa

Rozwinięcie Laplace’a

(7)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (I)

Punkt materialny (masa punktowa) to ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające tak małe rozmiary, że w opisie matematycznym można je potraktować jak punkt geometryczny.

Punktem materialnym może być:

• kamień rzucony pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi, jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z odległością jaką przebędzie i dokładnością pomiarów

• statek na morzu, jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z rozmiarami morza

• Ziemia poruszająca się po orbicie wokół Słońca, jej wymiary są nieistotne w porównaniu z promieniem orbity.

Redukcja ciała do punktu materialnego ma istotne znaczenie dla prostoty opisu ruchu danego ciała. Masa punktowa w fizyce to idealizacja ciała lub układu ciał, w której wymiary układu można pominąć w porównaniu z odległościami, które pokonuje. Wtedy można przyjąć, że cała masa układa jest skupiona w środku masy układu. W przypadku jednorodnego ciała kulistego, masa punktowa jest nie tylko idealizacją, ponieważ takie ciała zachowuje się tak jak masa punktowa

(8)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (II)

Kinematyka punktu materialnego:

1. Położenie:

2. Opis ruchu:

3. Tor ruchu:

x

y z

r r₁

r₂ r

Ԧ𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 Ԧ𝑟 = 𝑥 𝑦, 𝑧

Ԧ𝑟 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑡₂, 𝑡₁

(9)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (III)

t r t

t r r



 



 



 

1 2

V

sr

Prędkość średnia:

 0

t

Prędkość chwilowa:

dt z y dz dt x dy dt dx dt

r d t r

t ˆ ˆ ˆ

lim

V 0    



 







 

Prędkość to pochodna wektora wodzącego r(t) po czasie;

Pochodna wektora, to suma iloczynów pochodnych jego współrzędnych przez odpowiednie wersory;

(10)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (IV)

r d t r

t ˆ ˆ ˆ

lim V

0    



 







 

Ruch jest jednostajny jeśli wektor prędkości nie zmienia się w czasie:

V (t)

V   



 

 

   const(t) t

lim r dt

r d

0 t

t )

0 ( r ) t ( t r

) 0 ( r ) t ( r t

r     





 



  V

V      

t V ) 0 ( z ) t ( z , t V ) 0 ( y ) t ( y , t V ) 0 ( x ) t (

x   _x   _y   _z

(11)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (V)

r d t r

t ˆ ˆ ˆ

lim V

0    



 







 

Przyspieszenie to pochodna wektora prędkości V(t) po czasie (szybkość zmiany wektora prędkości)

2 2 2

2 2

2

t z z d t

y y t

x x t

t z dV t

y V t

x V t

a V ^x ^y ^z

ˆ d d

d

ˆ d d

d









 r

 

2 t t a ) 0 ( V ) 0 ( r ) t ( r

 2

 

   

t a ) 0 ( V 2 )

t t a ) 0 ( V ) 0 ( r dt(

d dt

) t ( r V d

2  

 

      

(12)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (VI)

x

v



r₁

r₂

v₁

v₂ y

r

Ruch jednostajny po okręgu

(13)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (VI)

Ruch krzywoliniowy w biegunowym układzie odniesienia:

x y

r

v 





𝑣_𝑟 = 𝑑𝑟

𝑑𝑡 𝑣_𝜑 = 𝑟𝑑𝜑

𝑑𝑡 = 𝑟𝜔 𝜔 = 𝑑𝜑

𝑑𝑡

Prędkość radialna Prędkość transwersalna Prędkość kątowa

(14)

Pojęcia podstawowe i historia Mechanika: kinematyka (VII)

Ruch krzywoliniowy w biegunowym układzie odniesienia:

x y

r

v 





𝑎_𝑟 = 𝑑²

𝑑𝑡² 𝑟 − 𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2

= 𝑑²

𝑑𝑡² r − r𝜔²

𝑎_𝜑 = 𝑟 𝑑²

𝑑𝑡² 𝜑 + 2𝑑𝑟 𝑑𝑡

𝑑𝜑

𝑑𝑡 = 𝑟𝑑𝜔

𝑑𝑡 + 2𝑑𝑟

𝑑𝑡 𝜔 = 𝑟𝜀 + 2𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝜔

𝜀 = 𝑑𝜔 𝑑𝑡 Przyspieszenie radialne

Przyspieszenie transwersalne

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie liniowe

Przyspieszenie Coriolisa

Przyspieszenie dośrodkowe

(15)

Pojęcia podstawowe i historia

Mechanika: dynamika punktu materialnego (I)

Siła: miara wielkości oddziaływania (wartość, kierunek i zwrot, punkt przyłożenia)

Wypadkowa sił:

Siły równoważące: ten sam kierunek i zwrot, ta sama wartość, ten sam punkt przyłożenia 𝐹_𝑤 = ෍

𝑖=1 𝑛

𝐹_𝑖

(16)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (II)

Zasady dynamiki Newtona

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się

ruchem jednostajnym prostoliniowym.

W inercjalnym układzie odniesienia jeśli siły działające na ciało nie

równoważą się (czyli wypadkowa sił jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie

proporcjonalnym do masy ciała.

Ԧ

𝑎 = 1 𝑚𝐹_𝑤

Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. W inercjalnym układzie odniesienia siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam

kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne

ciało).

(17)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (III)

Galileusz (1564-1642) – włoski astronom, astrolog, matematyk, fizyk i filozof, prekursor nowożytnej fizyki, udoskonalił tzw. „kompas geometryczny i wojskowy”, wykonał eksperyment dowodzący, że czas trwania spadku swobodnego nie zależy od masy ciała, badał staczanie się kul po równi pochyłej, skonstruował termometr.

Zasada względności Galileusza: prawa mechaniki są jednakowe we wszystkich inercjalnych układach

odniesienia.

(18)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (III)

Transformacje Galileusza

Ԧ

𝑣_{𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠} = 0,0, 𝑣_𝑧 , 𝑣_𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜔 = 0 𝑥 = 𝑥^′ + 𝑣_𝑧𝑡, 𝑦 = 𝑦^′, 𝑧 = 𝑧′

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝑑𝑥′

𝑑𝑡 + 𝑣_𝑧 = 𝑣^′ + 𝑣_𝑧

𝑚𝑎^′ = 𝑚 𝑑²

𝑑𝑡² 𝑥^′ = 𝑚 𝑑²

𝑑𝑡² 𝑥 + 𝑣_𝑧𝑡 = 𝑚 𝑑 𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡 − 𝑣_𝑧 = 𝑚 𝑑² 𝑑𝑡² 𝑥

(19)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (IV)

1. Siła tarcia jest niezależna od wielkości powierzchni stykających się ze sobą ciał i zależy jedynie od ich rodzaju.

2. Wartość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmienić się od zera do granicznej wartości, proporcjonalnej do całkowitego nacisku normalnego.

3. W przypadku, gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od granicznej wartości.

Prawa tarcia Coulomba i Morena

𝑇 = 𝑇_𝑠 = 𝜇_𝑠𝑁 𝑇 = 𝑇_𝑘 = 𝜇_𝑘𝑁

(20)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (V)

Siły oporu

Opory toczenia

𝐹_𝑡 = 𝑄 ∙ 𝑓_𝑡 = 𝑞 ∙ 𝑒 𝑅

• stan i rodzaj nawierzchni (opór jest mniejszy na asfalcie niż na drodze gruntowej)

• konstrukcja ogumienia (większe opory toczenia występują dla opon o konstrukcji diagonalnej niż dla opon radialnych)

• ciśnienie (wraz ze wzrostem ciśnienia w ogumieniu opór toczenia maleje)

• opór w łożyskach,

• opór zbieżności kół (związany z nierównoległym ustawieniem kół w stosunku do osi podłużnej pojazdu),

• opór skrętu kół (zależny od prędkości pojazdu i promienia skrętu),

• opór związany z odkształceniem się opony na nierównościach, opór na mokrej nawierzchni.

𝐹_𝑚 = 𝑏 ∙ 𝑣^𝑛

Opór aerodynamiczny 𝐹_𝑎 = 1

2𝜌 ∙ 𝑣² ∙ 𝐴 ∙ 𝐶_𝑥

A - powierzchnia czołowa pojazdu czyli 0,8 - 0,9 iloczynu szerokości i wysokości pojazdu

C_x- współczynnik oporu aerodynamicznego

q - gęstość powietrza (1,293 kg/m3 w T= 273 K i P=0,1 MPa)

𝐹_𝑎 = 0,047 ∙ 𝑣² ∙ 𝐴 ∙ 𝐶_𝑥

• opory profilowe (związane z kształtem w przekroju wzdłużnym) ok. 60% całkowitego oporu

• opory indukcyjne (związane z kształtem powierzchni bocznej) ok. 8% całkowitego oporu

• opory tarcia ok. 10% całkowitego oporu

• opory zakłóceń (czyli wszelkie nierówności karoserii) ok. 12 % całkowitego oporu

• opory układu chłodzenia i wentylacji ok. 10 % całkowitego oporu

𝐹_𝑜 = ෍

𝑖=1 𝑛

𝐷_𝑖 ∙ 𝑣^𝑖

(21)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (VI)

Siły oporu – prędkość graniczna w spadku swobodnym

𝐹_𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑔 𝑠 = 𝑣₀𝑡 + 𝑎𝑡²

𝑣₀ = 0; 𝑎 = 𝑔; 𝑠 = ℎ2

ℎ = 𝑔𝑡² 2 𝑡 = 2ℎ

𝑔 𝑔 = 𝑣_𝑘

𝑡 𝑣_𝑘 = 2𝑔ℎ

𝐹_𝑔 = 𝐹_𝑜 𝑘𝑣_𝑔² = 𝑚𝑔

𝑣_𝑔 = 𝑚𝑔 𝑘

𝑘 = 2

𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝐶_𝑥 𝐹_𝑜 = 𝑘 ∙ 𝑣²

(22)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (VI)

Siły oporu – prędkość graniczna w spadku swobodnym

𝐹_𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑔 𝑠 = 𝑣₀𝑡 + 𝑎𝑡²

𝑣₀ = 0; 𝑎 = 𝑔; 𝑠 = ℎ2

ℎ = 𝑔𝑡² 2 𝑡 = 2ℎ

𝑔 𝑔 = 𝑣_𝑘

𝑡 𝑣_𝑘 = 2𝑔ℎ

𝐹_𝑔 = 𝐹_𝑜 𝑘𝑣_𝑔² = 𝑚𝑔

𝑣_𝑔 = 𝑚𝑔 𝑘

𝑘 = 2

𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝐶_𝑥 𝐹_𝑜 = 𝑘 ∙ 𝑣²

(23)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (VII)

  dt

v m d dt

v dm dt

v m F d

t m m

a dt m

v m d dt

p F d

const m

v m dt p

p F d

 















) (

) , (

,

Pęd (ruch ciał ze zmienną masą)

Zasada zachowania pędu

Całkowity pęd układu ciał jest stały, jeżeli w układzie nie działają siły zewnętrzne:

෍

𝑖=1 𝑛

Ԧ

𝑝_𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(24)

Mechanika: dynamika punktu materialnego (VIII)

  dt

v m d dt

v dm dt

v m F d

t m m

 







 ( )

Pęd (ruch ciał ze zmienną masą)

(25)

Pojęcia podstawowe i historia Praca i energia (I)

Praca





B

A

r d F

w  

B A B

A B

A

r F r

F r

F r d F const F

r d F

W 



^ ^  ^   ^



^  ^ ^ _  _ ^cos⁽^^,^⁾ ^cos⁽ ^^,^⁾¹ _

Siła zachowawcza – siła mająca tę własność, że praca wykonana przez nią przy przemieszczaniu ciała na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu.

(26)

Pojęcia podstawowe i historia Praca i energia (II)

Energia potencjalna:

r F d dW  

r F d dU 

y dy dx U x dU U









  ^dy

y dx U x dy U F dx F d

dU _x _y















 F  r -

0 y dy F U

x dx

F_x U _y  

 









 



 









x F_x U





 y

F_y U







U



F j

y i U x F U











Praca siły F(x,y) na drodze elementarnego przemieszczenia dr:

Praca siły F(x,y) nie zależy od drogi, a tylko od punktu startu i końca przemieszczenia to można określić funkcję skalarną, zależną tylko od współrzędnych (x,y). Nazywamy ją energią potencjalną i określamy jej nieskończenie mały przyrost:

Minus został wybrany ze względu na to, że ubytek energii potencjalnej jest równy wykonanej elementarnej pracy.

Jest on przyjęty ze względów fizycznych. Przyrost funkcji U(x,y) można wyrazić jako sumę przyrostów funkcji względem obydwu zmiennych niezależnych x i y jako:

Z drugiej strony

Grupując wyrazy z odpowiednimi przyrostami dx i dy otrzymamy:

Mówimy, że siła równa jest ujemnemu gradientowi energii potencjalnej co zapisujemy:

(27)

Pojęcia podstawowe i historia Praca i energia (III)

Energia kinetyczna:

2 mv 2

mvdv mv dt dv

mdx dt dx

mdv madx

dx F W

2 1 2

2 v

v v

v x

x x

x

2

1 2

1





     

2 mv 2

mv m m

m dt m dt

W

2 1 2 2 v

v

2 mv

2 mv v

v r

r r

r

2

1

2 2

2 1 2

1 2

1







 



 



^F^^dr  ^dv^^dr  ^dv^^dr  ^dv^^v  ^d ₂^v²

Jeśli siła F jest stała i rozpędza masę m od prędkości v₁do prędkości v₂to możemy napisać:

Podobne rozumowanie dla siły zmiennej co do kierunku względem przesunięcia daje:

Siła zwiększa przez wykonanie nad ciałem pracy jego energię ruchu – energię kinetyczną.

Energia potencjalna (przykłady):

(28)

Pojęcia podstawowe i historia Zasady zachowania

m

1

m

2

V_1p V_2p

V₁

k

V₂

k

Zderzenia elastyczne

p_przed=p_po E_Kprzed= E_Kpo Zderzenia nieelastyczne

m₁

m₂ V_1p

V_2p

V₁

k

V₂

k

p_przed=p_po

Zasada zachowania energii mechanicznej

(29)

Pojęcia podstawowe i historia Układy nieinercjalne (I)

Siły w układach nieinercjalnych (pozorne, bezwładności)

Zjawiska fizyczne:

• odchylenie swobodnie spadających ciał od pionu (niewielkie)

• wahadło Foucault. Jeżeli uruchomimy wahadło na biegunie północnym, to przy każdym wahnięciu kulka odchyli się w prawo dla obserwatora związanego z Ziemią (dochodząc do bieguna – na wschód, po minięciu bieguna – na zachód). Dla niego płaszczyzna wahań będzie obracać się względem podłoża z prędkością kątową Ziemi, tylko, że w przeciwnym kierunku.

(30)

Pojęcia podstawowe i historia Układy nieinercjalne (II)

Siły w układach nieinercjalnych (pozorne, bezwładności)

Siła bezwładności w ruchu niejednostajnym prostoliniowym – siła d’Alemberta:

Ruch jednostajny:

w układzie inercjalnym Ԧ

𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Hamowanie:

𝑎 𝑎′

w układzie inercjalnym w układzie nieinercjalnym

𝐹_𝑏 Siła bezwładności w układzie nieinercjalnym 𝐹_𝑏 = 𝑚𝑎′

𝐹_𝑏 = −𝑚 Ԧ𝑎

(31)

Pojęcia podstawowe i historia Układy nieinercjalne (III)

Siły w układach nieinercjalnych (pozorne, bezwładności)

Siła bezwładności w ruchu po okręgu – siła odśrodkowa:

𝑣 = 𝜔𝑟

𝐹Ԧ_𝑑𝑜𝑠 = −𝑚𝜔²Ԧ𝑟 = −𝑚𝑣² 𝑟

Ԧ𝑟 𝑟

Obserwator w układzie inercjalnym

𝐹Ԧ_𝑜𝑑𝑠 = 𝑚𝜔²Ԧ𝑟 = 𝑚𝑣² 𝑟

Ԧ𝑟 𝑟

Obserwator w układzie nieinercjalnym

(32)

Pojęcia podstawowe i historia Układy nieinercjalne (IV)

Siły w układach nieinercjalnych (pozorne, bezwładności)

dt d L ab g R G g

Y_t  G^t ²  ^^z² 

 a

 

a ( ) sin

cos

2 2

P z

P

P X

dt d l

b g

R Q g

Y G   

(33)

Pojęcia podstawowe i historia Układy nieinercjalne (V)

Siły w układach nieinercjalnych (pozorne, bezwładności)

𝑣_𝑏 = 85𝑘𝑚

ℎ = 23,7𝑚 𝑠 𝑣_𝑐 = 6,7𝑚

𝑠

𝐹_𝑏 = 4493 𝑁 = 5.6𝑄 𝐹_𝑐 = 359 𝑁 = 0,45𝑄

(34)

Pojęcia podstawowe i historia Układy nieinercjalne (VI)

Siły w układach nieinercjalnych (pozorne, bezwładności)

Efekty militarne:

• I wojna światowa: ostrzał artyleryjski Paryża z odległości 110 km – znoszenie pocisków na wschód o 1,6 km

• II wojna światowa: bombardowanie Londynu rakietami V2 z odległości ok.

300 km – odchylenie torów rakiet na wschód o 3,7 km

• podmywanie prawych brzegów rzek syberyjskich

• skręcanie pasatów (w prawo na półkuli północnej, w lewo – na południowej)

• cyklony (sytuacja na półkuli północnej)

Obserwator w układzie nieinercjalnym 𝑎_𝑐 = 2𝑑𝑟

𝑑𝑡 𝑑𝜑

𝑑𝑡 = 2 Ԧ𝑣 × 𝜔 𝐹_𝑐 = 2𝑚 Ԧ𝑣 × 𝜔

Obserwator w układzie inercjalnym

Siła bezwładności podczas ruchu ciała w układzie obracającym się – siła Coriolisa: