MACIERZE LOSOWE LISTA 7
Probabilistyka wolna i grupy wolne
1. Niech (Xj)j≥1 będzie ciągiem (klasycznie) niezależnych zmiennych losowych o średniej zero, wariancji jeden i wszystkich wyższych momentach wspólnie ogranic- zonych w sensie, że E(|Xj|k) ≤ rk < ∞ dla wszystkich j. Wykazać, że zachodzi wzór
lim
N →∞E(SNm) = |Pm2| gdzie SN = √1
N(X1+· · ·+XN), natomiast Pm2 jest zbiorem wszystkich dwupartycji zbioru [m] (przyjmujemy, że jeżeli m jest nieparzyste, to Pm2 = ∅).
2. Zauważyć, że dla m parzystych |Pm2| = (m − 1)!!, a następnie wykazać, że Z ∞
−∞
xmdµ(x) = (m − 1)!! gdy m parzyste
0 poza tym
gdzie µ jest standardową miarą Gaussa (rozkładu N (0, 1)). Innymi słowy, poprzed- nie zadanie prowadzi do CTG w sensie zbieżności momentów (można pokazać, że w tym przypadku zbieżność wg momentów implikuje zbieżność wg rozkładu).
3. Niech A = B(H), gdzie H - przestrzeń Hilberta oraz niech h ∈ H, taki że khk = 1, ϕ(T ) = hT (h), hi.
(a) Uzasadnić, że jeżeli przyjmiemy, że T∗ oznacza sprzężenie hermitowskie, to A z tą operacją jest *-algebrą z jednością.
(b) Uzasadnić, że para (A, ϕ) jest *-NPP (*-nieprzemienną przestrzenią proba- bilistyczną), czyli, że ϕ jest liniowym znormalizowanym dodatnim funkcjon- ałem.
4. Niech A = B(l2) oraz niech T : l2 → l2 będzie operatorem przesunięcia zadanym wzorem
T (en) = en+1
gdzie n ∈ N oraz (en)n≥1 jest ortonormalną bazą kanoniczną w l2. Sprawdzić, że ϕ(ωm) = Cm/2 gdy m parzyste
0 poza tym
gdzie ω = T + T∗ oraz ϕ(.) = h.e1, e1i. Operator ω nazywa się operatorem semicyrkularnym (lub wolnym operatorem Gaussowskim).
5. Rozważyć wolną przestrzeń Focka F (H), gdzie H = L∞
n=1Cen, gdzie (en) jest ciągiem ortonormalnym. Uzasadnić, że
ϕ(ωmj ) = Cm/2 gdy m parzyste 0 poza tym gdzie ωj = `j + `∗j oraz ϕ(.) = h.Ω, Ωi.
1
6. Niech (A, ϕ) będzie NPP, niech A1, A2 będą podalgebrami (z jednością) algebry A, które są wolne względem ϕ. Wyznaczyć wzór na moment mieszany
ϕ(a1b1a2b2),
gdzie a1, a2 ∈ A1, b1, b2 ∈ A2 w języku momentów brzegowych, czyli momentów postaci ϕ(a), ϕ(b), gdzie a ∈ A1 oraz b ∈ A2.
7. Niech (A, ϕ) będzie NPP, niech A1, A2, A3 będą podalgebrami (z jednością) alge- bry A, które są wolne względem ϕ. Wyznaczyć wzór na moment mieszany
ϕ(a1ba2c)
gdzie a1, a2 ∈ A1, b ∈ A2, c ∈ A3 w języku momentów brzegowych.
8. Niech Aj = alg(`j, `∗j) oraz Bj = alg(`k, `∗k : k 6= j), gdzie oznaczenia są takie jak w zadaniu 5. Pokazać, że algebry Aj oraz Bj są wolne względem ϕ.
9. Niech G będzie grupą. Przez algebrę grupową grupy G rozumiemy przestrzeń liniową z bazą (g)g∈G (można wektory oznaczyć nieco inaczej, np. zamiast g napisać δ(g)), oznaczamy ją C(G). Wprowadzamy działanie mnożenia
(X
g
αgg)(X
h
βhh) =X
k
(X
g,h gh=k
αgβh)k
oraz inwolucję
P
gαgg
∗
= P
gαgg−1, gdzie skończona liczba wspólczynników jest różna od zera (kombinacje liniowe). Uzasadnić, że C(G) z naturalnym do- dawaniem i mnożeniem przez skalary oraz tak zdefiniowanym mnożeniem i in- wolucją jest *-algebrą z jednością.
10. Uzasadnić, że funkcjonał τ : C(G) → C zadany wzorem τ (X
g
αgg) = αe
gdzie e jest elementem neutralnym grupy G, jest stanem na C(G), czyli liniowym znormalizowanym funkcjonałem dodatnim (jest to tzw. kanoniczny ślad).
11. Mówimy, że podgrupy (Gj)j∈J grupy G są wolne jeżeli zachodzi warunek g1g2· · · gk 6= e
dla każdych g1 ∈ Gj1, . . . , gk ∈ Gjk, takich że j1 6= j2 6= · · · 6= jk. Udowodnić, że zachodzi następująca równoważność: podgrupy (Gj)j∈J są wolne ⇐⇒ algebry (C(Gj)) (traktowane jako podalgebry algebry C(G)) są wolne względem τ . In- nymi słowy, jest ścisły związek między grupami wolnymi, a algebrami grupowymi wolnymi względem kanonicznego śladu.
Romuald Lenczewski
2