• Nie Znaleziono Wyników

a następnie wykazać, że Z

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "a następnie wykazać, że Z"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

MACIERZE LOSOWE LISTA 7

Probabilistyka wolna i grupy wolne

1. Niech (Xj)j≥1 będzie ciągiem (klasycznie) niezależnych zmiennych losowych o średniej zero, wariancji jeden i wszystkich wyższych momentach wspólnie ogranic- zonych w sensie, że E(|Xj|k) ≤ rk < ∞ dla wszystkich j. Wykazać, że zachodzi wzór

lim

N →∞E(SNm) = |Pm2| gdzie SN = 1

N(X1+· · ·+XN), natomiast Pm2 jest zbiorem wszystkich dwupartycji zbioru [m] (przyjmujemy, że jeżeli m jest nieparzyste, to Pm2 = ∅).

2. Zauważyć, że dla m parzystych |Pm2| = (m − 1)!!, a następnie wykazać, że Z

−∞

xmdµ(x) = (m − 1)!! gdy m parzyste

0 poza tym

gdzie µ jest standardową miarą Gaussa (rozkładu N (0, 1)). Innymi słowy, poprzed- nie zadanie prowadzi do CTG w sensie zbieżności momentów (można pokazać, że w tym przypadku zbieżność wg momentów implikuje zbieżność wg rozkładu).

3. Niech A = B(H), gdzie H - przestrzeń Hilberta oraz niech h ∈ H, taki że khk = 1, ϕ(T ) = hT (h), hi.

(a) Uzasadnić, że jeżeli przyjmiemy, że T oznacza sprzężenie hermitowskie, to A z tą operacją jest *-algebrą z jednością.

(b) Uzasadnić, że para (A, ϕ) jest *-NPP (*-nieprzemienną przestrzenią proba- bilistyczną), czyli, że ϕ jest liniowym znormalizowanym dodatnim funkcjon- ałem.

4. Niech A = B(l2) oraz niech T : l2 → l2 będzie operatorem przesunięcia zadanym wzorem

T (en) = en+1

gdzie n ∈ N oraz (en)n≥1 jest ortonormalną bazą kanoniczną w l2. Sprawdzić, że ϕ(ωm) =  Cm/2 gdy m parzyste

0 poza tym

gdzie ω = T + T oraz ϕ(.) = h.e1, e1i. Operator ω nazywa się operatorem semicyrkularnym (lub wolnym operatorem Gaussowskim).

5. Rozważyć wolną przestrzeń Focka F (H), gdzie H = L

n=1Cen, gdzie (en) jest ciągiem ortonormalnym. Uzasadnić, że

ϕ(ωmj ) =  Cm/2 gdy m parzyste 0 poza tym gdzie ωj = `j + `j oraz ϕ(.) = h.Ω, Ωi.

1

(2)

6. Niech (A, ϕ) będzie NPP, niech A1, A2 będą podalgebrami (z jednością) algebry A, które są wolne względem ϕ. Wyznaczyć wzór na moment mieszany

ϕ(a1b1a2b2),

gdzie a1, a2 ∈ A1, b1, b2 ∈ A2 w języku momentów brzegowych, czyli momentów postaci ϕ(a), ϕ(b), gdzie a ∈ A1 oraz b ∈ A2.

7. Niech (A, ϕ) będzie NPP, niech A1, A2, A3 będą podalgebrami (z jednością) alge- bry A, które są wolne względem ϕ. Wyznaczyć wzór na moment mieszany

ϕ(a1ba2c)

gdzie a1, a2 ∈ A1, b ∈ A2, c ∈ A3 w języku momentów brzegowych.

8. Niech Aj = alg(`j, `j) oraz Bj = alg(`k, `k : k 6= j), gdzie oznaczenia są takie jak w zadaniu 5. Pokazać, że algebry Aj oraz Bj są wolne względem ϕ.

9. Niech G będzie grupą. Przez algebrę grupową grupy G rozumiemy przestrzeń liniową z bazą (g)g∈G (można wektory oznaczyć nieco inaczej, np. zamiast g napisać δ(g)), oznaczamy ją C(G). Wprowadzamy działanie mnożenia

(X

g

αgg)(X

h

βhh) =X

k

(X

g,h gh=k

αgβh)k

oraz inwolucję

P

gαgg



= P

gαgg−1, gdzie skończona liczba wspólczynników jest różna od zera (kombinacje liniowe). Uzasadnić, że C(G) z naturalnym do- dawaniem i mnożeniem przez skalary oraz tak zdefiniowanym mnożeniem i in- wolucją jest *-algebrą z jednością.

10. Uzasadnić, że funkcjonał τ : C(G) → C zadany wzorem τ (X

g

αgg) = αe

gdzie e jest elementem neutralnym grupy G, jest stanem na C(G), czyli liniowym znormalizowanym funkcjonałem dodatnim (jest to tzw. kanoniczny ślad).

11. Mówimy, że podgrupy (Gj)j∈J grupy G są wolne jeżeli zachodzi warunek g1g2· · · gk 6= e

dla każdych g1 ∈ Gj1, . . . , gk ∈ Gjk, takich że j1 6= j2 6= · · · 6= jk. Udowodnić, że zachodzi następująca równoważność: podgrupy (Gj)j∈J są wolne ⇐⇒ algebry (C(Gj)) (traktowane jako podalgebry algebry C(G)) są wolne względem τ . In- nymi słowy, jest ścisły związek między grupami wolnymi, a algebrami grupowymi wolnymi względem kanonicznego śladu.

Romuald Lenczewski

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wykazać, że w przestrzeni unormowanej X, norma jest funkcja ciagł a, jednostajnie ciagł a, a nawet spełnia warunek Lipschitza ze stała 1 tzn.. w przestrzeni unormowanej

Można również stosować regułę de L’Hospitala przy obliczaniu wyrażeń nieoznaczonych pod warunkiem istnienia pochodnych

Na bokach BC, CD, DA czworokąta wypukłego ABCD zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne BCP , CDQ, DAR (rys. Punkt M jest środkiem od-

Słaba zbieżność i funkcje

[r]

Oblicz iloczyn długości wszystkich boków i przekątnych n-kąta foremnego wpi- sanego w okrąg o promieniu 1.

Czy jeśli zbiór A jest domknięty i spójny, to jego dopełnienie jest też zbiorem

We wn etrzu trójk , ata równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów.. W kwadracie ABCD na boku BC obrano dowolny