Matematyka Dyskretna
Zestaw zada´n 2 1. Udowodni´c : (n+12 )2 =Pni=1i3.
2. Udowodni´c : (n+23 ) =Pni=1i(n + 1 − i).
3. Udowodni´c : n2(2n−2n−1 ) =Pi=1n i2(ni)2. 4. Udowodni´c : n2n−1=Pni=1i(ni).
5. Niech G = (V, E) be,dzie grafem, w kt´orym |E| 6= ∅ i w kt´orym ka˙zdy wierzchoÃlek ma stopie´n parzysty. Rozwa˙zaja,c nietrywialne skÃladowe ( a wie,c takie w kt´orych ka˙zdy wierzchoÃlek ma stopie´n conajmniej 2) pokaza´c, ˙ze G zawiera cykl. Pokaza´c, ˙ze je´sli usuniemy wszystkie krawe,dzie nale˙za,ce do tego cyklu, to w nowym grafie ka˙zdy wierzchoÃlek w dalszym cia,gu ma stopie´n parzysty. Wywnioskowa´c, ˙ze istnieje zbi´or cykli zawieraja,cy ka˙zda,krawe,d´z z E dokÃladnie raz.
6. Pokaza´c, ˙ze ka˙zde drzewo o conajmniej dwu wierzchoÃlkach ma conajm- niej dwa wierzchoÃlki o stopniu 1.
7. Niech G = (V, E) be,dzie grafem sp´ojnym i |E| = |V | − 1. Pokaza´c, ˙ze G jest drzewem.
8. Pokaza´c, ˙ze dla grafu G = (V, E) o k skÃladowych zachodzi
|V | − k ≤ |E| ≤ 0, 5(|V | − k)(|V | − k + 1).