CAŁKA OZNACZONA
IMiF UTP
11
DEFINICJA. Zakładamy, że f jest ograniczona w [a, b].
Dzielimy przedział [a, b] na n dowolnych cze¸ści punktami x1, . . . , xn−1 takimi, by a = x0 < x1< · · · < xn−1< xn= b.
Niech ∆i = xi− xi −1 dla i = 1, 2, . . . n. Najwie¸ksza¸ z liczb
∆1, . . . , ∆n oznaczamy przez δn i nazywamy norma¸ podziału. W każdym przedziale [xi −1, xi] wybieramy dowolnie punkt ξi. Tworzymy sume¸ całkowa¸
σn= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n.
Tak poste¸pujemy dla n = 2, 3, . . . otrzymuja¸c cia¸g podziałów przedziału [a, b]. Cia¸g ten nazywamy cia¸giem normalnym, jeżeli limn→∞δn= 0.
Jeżeli dla każdego cia¸gu normalnego podziałów przedziału [a, b]
istnieje skończona granica limn→∞σn (taka sama bez wzgle¸du na wybór punktów podziału xi oraz punktów ξi), to granice¸ te¸
nazywamy całka¸ oznaczona¸ (Riemanna) funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy Rabf (x )dx . Mówimy wtedy, że f jest całkowalna w [a, b].
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
x
a b
a = x0 x1 x2 b = xn
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 b = xn x
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 b = xn x
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 b = xn x
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 b = xn x
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 b = xn x
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
σn=f (ξ1) · ∆1+
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 b = xn x
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
σn=f (ξ1) · ∆1+f (ξ2) · ∆2+
Sumy całkowe, n = 3
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 b = xn x
∆1 ∆2= δn ∆3
ξ1 ξ2 ξ3
f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)
σn=f (ξ1) · ∆1+f (ξ2) · ∆2+f (ξ3) · ∆3
Sumy całkowe, n = 5
y = f (x ) y
x
a b
a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn
Sumy całkowe, n = 5
y = f (x ) y
a = x0 x1 x2 x3 x4 b = xn x
ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5
Sumy całkowe, n = 5
y = f (x ) y
a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn x
Sumy całkowe, n = 5
y = f (x ) y
a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn x
Sumy całkowe, n = 5
y = f (x ) y
a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn x
Sumy całkowe, n = 10
y = f (x ) y
x
a b
Sumy całkowe, n = 20
y = f (x ) y
x
a b
Interpretacja geometryczna
y = f (x ) y
x
a b
D
Jeżeli funkcja f jest całkowalna i nieujemna w przedziale [a, b], to pole zbioru
D= {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f (x )}
jest równe Rabf (x )dx .
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
a b
D
x2
ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3
Przy każdym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedy sumy całkowe
σn−= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
a = x0 x1 x2 b = x3
ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3
Przy każdym podzialeodcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedy sumy całkowe
σn−= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
x2
ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3
Przy każdym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedy sumy całkowe
σn−= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
x2
ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3
Przy każdym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedysumy całkowe
σn−= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
a b
D
ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2
Następnie przy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedy sumy całkowe
σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
a = x0 x1 x2 b = x3
ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2
Następnieprzy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedy sumy całkowe
σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2
Następnie przy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedy sumy całkowe
σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2
Następnie przy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by
f (ξi) f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].
Wtedysumy całkowe
σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n pole(D).
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
a b
D
¬ pole(D) ¬
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
σ−n ¬ pole(D) ¬
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
σn−¬ pole(D) ¬σn+
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
σn−¬ pole(D) ¬σn+
Gdy n → ∞, to obie sumy całkoweσn− orazσ+n dążą do Rb
a f (x )dx . Zatem Z b
a
f (x )dx ¬ pole(D) ¬ Z b
a
f (x )dx, czyli
Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.
y = f (x ) y
x
D
σn−¬ pole(D) ¬σn+
Gdy n → ∞, to obie sumy całkoweσn− orazσ+n dążą do Rb
a f (x )dx . Zatem Z b
a
f (x )dx ¬ pole(D) ¬ Z b
a
f (x )dx, czyli
Rozszerzenie definicji
Przyjmujemy
Z a b
f (x )dx = − Z b
a
f (x )dx .
Ponadto,
Z a a
f (x )dx = 0.
WŁASNOŚCI
Zakładamy, że funkcja f jest całkowalna w pewnym przedziale zawieraja¸cym punkty a, b, c.
1 Rb a
f (x ) ± g (x )dx =Rabf (x )dx ±Rabg (x )dx
2 Rb
a λf (x )dx = λRabf (x )dx
3 Rb
a f (x )dx =Racf (x )dx +Rcbf (x )dx
4 Jeżeli m ¬ f (x ) ¬ M dla x ∈ [a, b], to m(b − a) ¬Rabf (x )dx ¬ M(b − a).
5 Jeżeli f jest parzysta i całkowalna w [−a, a], to Ra
−af (x )dx = 2R0af (x )dx .
6 Jeżeli f jest nieparzysta i całkowalna w [−a, a], to Ra
−af (x )dx = 0.
7 Jeżeli f jest cia¸gła w [a, b], to istnieje c ∈ (a, b) takie, że
Jak liczymy całkę oznaczoną?
TWIERDZENIE.
Funkcja f cia¸gła w [a, b] jest całkowalna w tym przedziale.
Ponadto, gdy Rf (x )dx = F (x ) + C , to Z b
a
f (x )dx = F (b) − F (a).
OZNACZENIE.
Zwykle F (b) − F (a) oznaczamy przez F (x )ba lub F (x )
b a.
Rb
a
f (x )dx =
hF (x )
iba
= F (b) − F (a).
PRZYKŁAD.
Z π 0
cos x dx =sin xπ0 = sinπ− sin0= 0.
PRZYKŁAD. Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsa¸
x2
a2 +yb22 = 1.
x y
b
a y =ba√
a2− x2
y = −ba√ a2− x2
P =
4P1= 4 Z a
0
b a
pa2− x2dx = 4b a
h1
2xpa2− x2+ 1
2a2arc sinx a
ia 0
= 4b a
0 +1
2a2arc sin 1 − 0 −1
2a2arc sin 0= 4b a ·1
2a2·π
2 = πab.
R q
q − x
2dx =
12x
qq − x
2+
12q arc sin
√xq+ C
PRZYKŁAD. Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsa¸
x2
a2 +yb22 = 1.
x y
b
0 a
y =ba√ a2− x2
y = −ba√ a2− x2
P =4P1=4 Z a
0
b a
pa2− x2dx = 4b a
h1
2xpa2− x2+ 1
2a2arc sinx a
ia 0
= 4b a
0 +1
2a2arc sin 1 − 0 −1
2a2arc sin 0= 4b a ·1
2a2·π
2 = πab.
PRZYKŁAD. Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsa¸
x2
a2 +yb22 = 1.
x y
b
a y =ba√
a2− x2
y = −ba√ a2− x2
P = 4P1= 4 Z a
0
b a
pa2− x2dx = 4b a
h1
2xpa2− x2+ 1
2a2arc sinx a
ia 0
= 4b a
0 +1
2a2arc sin 1 − 0 −1
2a2arc sin 0= 4b a ·1
2a2·π
2 = πab.
CAŁKOWANIE PRZEZ CZE ¸ŚCI:
Z b a
u(x )v0(x )dx =u(x )v (x )ba − Z b
a
u0(x )v (x )dx Zakładamy tu, że funkcje u(x ) i v (x ) maja¸ cia¸głe pochodne.
PRZYKŁAD.
Z 1 0
xexdx =
u=x v0=ex u0=1 v =ex
=xex10− Z 1
0
exdx
= 1e1− 0e0−ex10= e − (e − e0) = 1
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE:
Z b a
f (x )dx = Z β
α
f [ϕ(t)]ϕ0(t)dt, gdzie x = ϕ(t) Zakładamy tu, że funkcja f jest cia¸gła w zbiorze wartości funkcji ϕ, że funkcja ϕ ma cia¸gła¸ pochodna¸ w przedziale [α, β] oraz że a = ϕ(α), b = ϕ(β).
PRZYKŁAD.
Rπ
0cosx3dx =
x 3 = t
1
3dx = dt dx = 3dt x = 0⇒t = 0 x = π⇒t = π3
=R
π 3
0 3 cos tdt = 3 sin t
π 3
0
= 3(sinπ3 − sin 0) = 3(
√3
2 − 0) = 3
√3 2