• Nie Znaleziono Wyników

CAŁKA OZNACZONA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "CAŁKA OZNACZONA"

Copied!
40
0
0

Pełen tekst

(1)

CAŁKA OZNACZONA

IMiF UTP

11

(2)

DEFINICJA. Zakładamy, że f jest ograniczona w [a, b].

Dzielimy przedział [a, b] na n dowolnych cze¸ści punktami x1, . . . , xn−1 takimi, by a = x0 < x1< · · · < xn−1< xn= b.

Niech ∆i = xi− xi −1 dla i = 1, 2, . . . n. Najwie¸ksza¸ z liczb

1, . . . , ∆n oznaczamy przez δn i nazywamy norma¸ podziału. W każdym przedziale [xi −1, xi] wybieramy dowolnie punkt ξi. Tworzymy sume¸ całkowa¸

σn= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n.

Tak poste¸pujemy dla n = 2, 3, . . . otrzymuja¸c cia¸g podziałów przedziału [a, b]. Cia¸g ten nazywamy cia¸giem normalnym, jeżeli limn→∞δn= 0.

Jeżeli dla każdego cia¸gu normalnego podziałów przedziału [a, b]

istnieje skończona granica limn→∞σn (taka sama bez wzgle¸du na wybór punktów podziału xi oraz punktów ξi), to granice¸ te¸

nazywamy całka¸ oznaczona¸ (Riemanna) funkcji f w przedziale [a, b] i oznaczamy Rabf (x )dx . Mówimy wtedy, że f jest całkowalna w [a, b].

(3)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

x

a b

a = x0 x1 x2 b = xn

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

(4)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 b = xn x

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

(5)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 b = xn x

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

(6)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 b = xn x

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

(7)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 b = xn x

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

(8)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 b = xn x

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

σn=f (ξ1) · ∆1+

(9)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 b = xn x

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

σn=f (ξ1) · ∆1+f (ξ2) · ∆2+

(10)

Sumy całkowe, n = 3

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 b = xn x

1 2= δn 3

ξ1 ξ2 ξ3

f (ξ1) f (ξ2) f (ξ3)

σn=f (ξ1) · ∆1+f (ξ2) · ∆2+f (ξ3) · ∆3

(11)

Sumy całkowe, n = 5

y = f (x ) y

x

a b

a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn

(12)

Sumy całkowe, n = 5

y = f (x ) y

a = x0 x1 x2 x3 x4 b = xn x

ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5

(13)

Sumy całkowe, n = 5

y = f (x ) y

a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn x

(14)

Sumy całkowe, n = 5

y = f (x ) y

a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn x

(15)

Sumy całkowe, n = 5

y = f (x ) y

a = x0 ξ1 x1ξ2 x2ξ3x3ξ4x4 ξ5 b = xn x

(16)

Sumy całkowe, n = 10

y = f (x ) y

x

a b

(17)

Sumy całkowe, n = 20

y = f (x ) y

x

a b

(18)

Interpretacja geometryczna

y = f (x ) y

x

a b

D

Jeżeli funkcja f jest całkowalna i nieujemna w przedziale [a, b], to pole zbioru

D= {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f (x )}

jest równe Rabf (x )dx .

(19)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

a b

D

x2

ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3

Przy każdym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedy sumy całkowe

σn= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).

(20)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

a = x0 x1 x2 b = x3

ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3

Przy każdym podzialeodcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedy sumy całkowe

σn= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).

(21)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

x2

ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3

Przy każdym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedy sumy całkowe

σn= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).

(22)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

x2

ξ1= x0 ξ2= x1 ξ3= x3

Przy każdym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] najpierw punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ¬ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedysumy całkowe

σn= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n¬ pole(D).

(23)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

a b

D

ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2

Następnie przy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ­ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedy sumy całkowe

σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n­ pole(D).

(24)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

a = x0 x1 x2 b = x3

ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2

Następnieprzy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ­ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedy sumy całkowe

σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n­ pole(D).

(25)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2

Następnie przy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ­ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedy sumy całkowe

σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n­ pole(D).

(26)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

ξ1= x1 ξ2= ξ3= x2

Następnie przy dowolnym podziale odcinka [a, b] na sumę przedziałów [xi −1, xi] punkt ξi ∈ [xi −1, xi] wybieramy tak, by

f (ξi) ­ f (x ) dla x ∈ [xi −1, xi].

Wtedysumy całkowe

σn+= f (ξ1)∆1+ f (ξ2)∆2+ · · · + f (ξn)∆n­ pole(D).

(27)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

a b

D

¬ pole(D) ¬

(28)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

σn ¬ pole(D) ¬

(29)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

σn¬ pole(D) ¬σn+

(30)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

σn¬ pole(D) ¬σn+

Gdy n → ∞, to obie sumy całkoweσn orazσ+n dążą do Rb

a f (x )dx . Zatem Z b

a

f (x )dx ¬ pole(D) ¬ Z b

a

f (x )dx, czyli

(31)

Uzasadnienie dla przypadku, gdy funkcja f jest ciągła.

y = f (x ) y

x

D

σn¬ pole(D) ¬σn+

Gdy n → ∞, to obie sumy całkoweσn orazσ+n dążą do Rb

a f (x )dx . Zatem Z b

a

f (x )dx ¬ pole(D) ¬ Z b

a

f (x )dx, czyli

(32)

Rozszerzenie definicji

Przyjmujemy

Z a b

f (x )dx = − Z b

a

f (x )dx .

Ponadto,

Z a a

f (x )dx = 0.

(33)

WŁASNOŚCI

Zakładamy, że funkcja f jest całkowalna w pewnym przedziale zawieraja¸cym punkty a, b, c.

1 Rb a

f (x ) ± g (x )dx =Rabf (x )dx ±Rabg (x )dx

2 Rb

a λf (x )dx = λRabf (x )dx

3 Rb

a f (x )dx =Racf (x )dx +Rcbf (x )dx

4 Jeżeli m ¬ f (x ) ¬ M dla x ∈ [a, b], to m(b − a) ¬Rabf (x )dx ¬ M(b − a).

5 Jeżeli f jest parzysta i całkowalna w [−a, a], to Ra

−af (x )dx = 2R0af (x )dx .

6 Jeżeli f jest nieparzysta i całkowalna w [−a, a], to Ra

−af (x )dx = 0.

7 Jeżeli f jest cia¸gła w [a, b], to istnieje c ∈ (a, b) takie, że

(34)

Jak liczymy całkę oznaczoną?

TWIERDZENIE.

Funkcja f cia¸gła w [a, b] jest całkowalna w tym przedziale.

Ponadto, gdy Rf (x )dx = F (x ) + C , to Z b

a

f (x )dx = F (b) − F (a).

OZNACZENIE.

Zwykle F (b) − F (a) oznaczamy przez F (x )ba lub F (x )

b a.

(35)

Rb

a

f (x )dx =

h

F (x )

ib

a

= F (b) − F (a).

PRZYKŁAD.

Z π 0

cos x dx =sin xπ0 = sinπ− sin0= 0.

(36)

PRZYKŁAD. Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsa¸

x2

a2 +yb22 = 1.

x y

b

a y =ba

a2− x2

y = −ba a2− x2

P =

4P1= 4 Z a

0

b a

pa2− x2dx = 4b a

h1

2xpa2− x2+ 1

2a2arc sinx a

ia 0

= 4b a

0 +1

2a2arc sin 1 − 0 −1

2a2arc sin 0= 4b a ·1

2a2·π

2 = πab.

(37)

R q

q − x

2

dx =

12

x

q

q − x

2

+

12

q arc sin

xq

+ C

PRZYKŁAD. Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsa¸

x2

a2 +yb22 = 1.

x y

b

0 a

y =ba a2− x2

y = −ba a2− x2

P =4P1=4 Z a

0

b a

pa2− x2dx = 4b a

h1

2xpa2− x2+ 1

2a2arc sinx a

ia 0

= 4b a

0 +1

2a2arc sin 1 − 0 −1

2a2arc sin 0= 4b a ·1

2a2·π

2 = πab.

(38)

PRZYKŁAD. Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsa¸

x2

a2 +yb22 = 1.

x y

b

a y =ba

a2− x2

y = −ba a2− x2

P = 4P1= 4 Z a

0

b a

pa2− x2dx = 4b a

h1

2xpa2− x2+ 1

2a2arc sinx a

ia 0

= 4b a

0 +1

2a2arc sin 1 − 0 −1

2a2arc sin 0= 4b a ·1

2a2·π

2 = πab.

(39)

CAŁKOWANIE PRZEZ CZE ¸ŚCI:

Z b a

u(x )v0(x )dx =u(x )v (x )ba Z b

a

u0(x )v (x )dx Zakładamy tu, że funkcje u(x ) i v (x ) maja¸ cia¸głe pochodne.

PRZYKŁAD.

Z 1 0

xexdx =

u=x v0=ex u0=1 v =ex

=xex10 Z 1

0

exdx

= 1e1− 0e0ex10= e − (e − e0) = 1

(40)

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE:

Z b a

f (x )dx = Z β

α

f [ϕ(t)]ϕ0(t)dt, gdzie x = ϕ(t) Zakładamy tu, że funkcja f jest cia¸gła w zbiorze wartości funkcji ϕ, że funkcja ϕ ma cia¸gła¸ pochodna¸ w przedziale [α, β] oraz że a = ϕ(α), b = ϕ(β).

PRZYKŁAD.

Rπ

0cosx3dx =

x 3 = t

1

3dx = dt dx = 3dt x = 0t = 0 x = π⇒t = π3

=R

π 3

0 3 cos tdt = 3 sin t

π 3

0

= 3(sinπ3 − sin 0) = 3(

3

2 − 0) = 3

3 2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wartość całki oznaczonej nie zaleŜy od wyboru funkcji pierwotnej... Mówimy teŜ, Ŝe całka niewłaściwa

Pasem przestrzennym o szerokości d nazywamy obszar przestrzeni zawarty po- między dwiema płaszczyznami równoległymi odległymi o d, wraz z tymi płaszczyznami.. Czy sferę można

[r]

Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi (określonymi opisem lub rów-

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.. Udowodnić

[r]

Z figury, którą chcemy zmierzyć (w sensie Eudoksosa), wyjmujemy jej część, której miarę znamy (najczęściej wielokąt, wielościan), przy czym musi być ona większa od

Załózmy, ˙ze funkcja f jest ci ˛ agła na przedziale [a, b].. dla funkcji przedziałami ci