SIMR Analiza 1, zadania: Zastosowania całki Riemanna, całka niewłaściwa 1. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi
(a) y = x2 , y = x + 2 , y = 2 − x (b) x = y2 , x + 2y2 = 3
(c) y = ln x , y = 0 , x = e (d) y = arc tg x , y = π4x
(e) x2 + y2 = 2 , y = x2 (f) xy = 2 , y = x , 4y = x2 (g) y = 1
1 + x2 , y = x2 2 2. Obliczyć długość krzywej:
(a) y = ln x, x ∈ [√ 3,√
8]
(b) y = ln(1 − x2), x ∈ [0, 1/2]
(c) y = ln ex+ 1
ex− 1, x ∈ [a, b]
(d) y = √
1 − x2 + arc sin x, x ∈ [−1, 1]
(e) x = 1
4y2 − 1
2ln y, x ∈ [1, e]
(f) y = 1 − ln(cos x), x ∈ [0, π/4]
3. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru 0 ¬ y ¬ y(x) dookoła osi Ox (a) y = x2 , x ∈< 0, 2 >
(b) y = √4
4 − x2 , x ∈< 0, 2 >
(c) y = x
x2 − 4 , x ∈< 0, 1 >
(d) y = sin2x , x ∈< 0, π >
(e) y =
q| cos x|
1 + sin x , x ∈< 0, π >
(f) y = 1
1 + ex , x ∈< 0, 1 >
(g) y = x2e−x2, x ∈ [0, ∞) (h) y = 1
1 + x2, x ∈ [0, ∞) (i) y = 2x − x2, x ∈ [0, 2]
(j) x2 − xy + y2 = a2
4. Oblicz pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej dookoła osi Ox (a) y = xqx/a, x ∈ [0, a]
(b) y = tg x, x ∈ [0, π/4]
(c) y = sin x, x ∈ [0, π]
(d) y = a cosπx
2b, |x| ¬ b (e) y = cosh x , |x| ¬ b 5. Oblicz całki:
(a)
Z∞
a
1 x2dx
(b)
1 Z 0
ln xdx
(c)
+∞
Z
−∞
1 1 + x2dx (d)
Z2π
0
1
2 + cos xdx (e)
1 Z
−1
√ dx
1 − x2 (f)
∞ Z 2
dx x2 + x − 2 (g)
∞ Z 0
1 x2 + x + 1
!2
dx
(h)
Z∞
0
x ln x (1 + x2)2dx (i)
Z∞
0
arc tg x (1 + x2)3/2dx (j)
∞ Z 0
e−axcos bxdx (a > 0)