Adam Góral
Zastosowanie analizy widmowej do
badania szeregów czasowych
Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 15-16, 163-175
U N I V E R S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K Ł O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A
VOL. X V /X V I, 12 SECTIO H 1981/82
Zakład Nauk Ekonomicznych Filii UMCS w Rzeszowie
A d a m G Ó R A L
Zastosow anie analizy w idm ow ej do badania szeregów czasowych
П ри лож ен и е спектрального анализа в исследован ии врем енны х рядов A p p lication of S p ectral A n a ly sis in Tim e S eries S tu d ies
WPROWADZENIE
Na w stępie rozw ażań należy zwrócić uw agę na w szechstronne w yko rzy stanie fu n kcji w idm a mocy. A naliza w idm ow a (spektralna) jest jedną z m etod badania szeregów czasowych. Dostarcza ona inform acji dotyczą cych całkow itej w ariancji procesu, o m ijając jednocześnie problem a u to korelacji. 1 Szacowane w idm a mogą być rów nież w y korzystane do roz w iązyw ania niek tó ry ch zagadnień taksonom icznych. Porów nanie fu n k cji sp e k tra ln e j d anych sym ulow anych i odpow iadających im danych rzeczy w istych może stanow ić podstaw ę w eryfikacji m odelu system u ekono micznego. Pow yższe fak ty zadecydow ały o w yborze te m a tu pracy. P o niew aż celem niniejszych rozw ażań jest zaprezentow anie w ybran y ch zastosow ań analizy w idm ow ej w badaniach szeregów czasowych, a rty k u ł m a c h a ra k te r m etodyczny.
Część d ru g ą i trzecią p rac y poświęcono podstaw ow ym inform acjom odnoszącym się do fu n k cji w idm a mocy. Część czw arta zaw iera zagadnie nia zw iązane z w ykorzystaniem ocen fu n kcji w idm ow ej do analizy sze regów czasow ych oraz do rozw iązyw ania n iek tó ry ch problem ów tak so nom icznych. Z aprezentow any w części p iątej p rzy kład em piryczny s ta nowi ilu stra c ję om aw ianej m etody analizy danych.
1 P ro b lem au tok orelacji jest sp ecy ficzn y dla szeregów cza so w y ch i trudno go pom inąć prow adząc b ad an ie m etod am i klasyczn ym i.
164 A dam G óral
FUNKCJA WIDMA MOCY
Załóżm y, że |X t ) je s t sta c jo n arn y m w szerszym s e n s ie 2 procesem stochastycznym . Dla jX t j istnieje m ożliwość sko nstru ow an ia fu n kcji zw a nej w idm ow ą gęstością mocy. F u n k c ja ta p rz y jm u je n astęp u jącą postać:
d F (co)
f M = — (2. 1)
d (co)
gdzie dF (co) re p re z e n tu je udział czynnika o częstotliw ościach z przedziału (co, co + dco) w ogólnej w a ria n c ji procesu. W ydaje się, że z praktycznego p u n k tu w idzenia najw iększe znaczenie m a p rzed staw ien ie w idm ow ej gę stości m ocy w y nik ające z tw ierd zen ia N. W ienera— A. C hinczyna 3. T w ier dzenie to w y raża się zależnością:
f(w) = ~ _I P(r)e~joJT dr = —■ lp(T)e~i0JT dT = ^ f p(r) cos cor dr , (2.2) gdzie: p(x) to fu n k cja au to k o relacji procesu {Xt }. F u n k c ję q(t) m ożna przedstaw ić jako tra n sfo rm ac ję F o u rie ra rzeczyw istej fu n k cji F(w), k tó ra je st d y s try b u a n tą tzw . w idm ow ego rozkład u procesu. Jeżeli w m iejsce fu n k cji a u to k o relacji w prow adzi się do w zoru (2.2) fun k cję kow ariancji, o trzy m u je się tzw . w idm o m ocy procesu, k tó re określone jest w n a stę p u jąc y sposób:
2 oo
f * (co) = — J j ( t ) cos cor dr . (2.3)
TT O
W ariancja procesu w y raża się wów czas w zorem 4:
81 = _ / f *(cu)dco . (2-4)
W idać więc, że widm o m ocy procesu in fo rm u je o ty m , w jak i sposób łączna w a ria n c ja rozk ład a się n a d rg an ia o poszczególnych częstotliw oś ciach. W p rzy p ad k u , gdy proces jest czysto losow y zarów no fun k cja gęstości, jak i w idm o m ocy m a ją w przedziale ( “ II, TI) w artość stałą.
2 M ów im y, że p roces sto ch a sty czn y jest sta cjo n a rn y w szerszym se n sie (słabo stacjon arn y), je ż e li jego w a rto ść oczek iw an a jest sta ła , a k o w a ria n cje zależą je d y n ie od różn icy tj — tj (nie zależą od w a rto ści ti, tj).
3 Por. R. K . O a t n e s, L. E n o c h s o n: A n a li z a n u m e r y c z n a s z e r e g ó w c z a s o w y c h , W arszaw a 1972.
4 W zór (1.4) w y n ik a z tego, że <p(a)) jako fu n k cja g ęsto ści sp ełn ia w a ru nek / f ( c o ) d c o = l .
C. G ran g er i M. H atanaka s tw ie rd z a ją 5, że w ekonom icznych procesach stochastycznych w ażniejszą rolę odgryw ają w ahania o dłuższych o kre sach, czyli widm o m a k ształt zbliżony do funkcji gęstości rozkładu n o r m alnego uciętego w w artości przeciętnej.
ESTYMACJA FUNKCJI WIDMOWEJ
T rw ające już od końca X IX w. prace nad problem em szacow ania fu n k cji gęstości w idm ow ej przyczyniły się do opracow ania n astęp u jący ch m e tod estym acji tej fu n k cji 6:
1) „ stan d ard o w ej” , zw anej m etodą B lackm ana—Tukeya, 2) m etody tran sfo rm acji F ou riera,
3) m etody filtra cy jn e j.
N ajw iększe znaczenie w szacow aniu funkcji w idm ow ej ekonom icznych procesów stochastycznych m a m etoda standardow a. Ogólnie rzecz biorąc, m etoda ta polega na obliczeniu ocen fu nk cji kow ariancji, a następnie na w yznaczeniu jej tra n sfo rm a ty F ouriera. N. W iener i A. Chinczyn w y k a zali w sw ych pracach, że obliczanie w idm oparte na fu n k cji kow arian cji jest efektyw niejsze w porów naniu z m etodą bezpośredniej tra n sfo rm ac ji F ou riera. Zastosow ana do estym acji w idm a m ocy m etoda standardo w a •w ykorzystuje esty m ato r postaci:
= T f f t M ' » + 2 " f ' AkCk cosWjk) , (3 J ) gdzie: n — liczba obserw acji w szeregu czasowym,
IF- j
wj = ---; (i = o, 1, ...m ) , m
m — p u n k t odcięcia fu n kcji kow ariancji (liczba opóźnień czasowych), Ak — odpow iednie czynniki wagowe u średniające widm o w paśm ie czę- totliw ości, którego środkiem jest Wj (przyjm uje się Xk= 0 dla k > m ) .
C. G ran ger i M. H a ta n a k a 7 p ro p o n u ją obliczenie ocen fu n k cji ko w arian cji z w zoru:
ck =
{nf k xtxtłk - - L "£k xt S
X,}.
(3.2)
n — k t = i n — k t = i t = i + k
5 Zob. C. W. J. G r a n g e r , M. H a t a n a k a : S p e c tr a l A n a ly s i s of Economic
T im e Series, P rin ceto n 1964.
6 D ok ład n e rozw ażania na tem at tych m etod zaw iera praca J. B e n d a t a, A. P i e r s o l a: Iz m ie r ie n i je i analiz s ł u c z a jn y c h p ro c e s so w , M osk w a 1972.
166 A dam G óral
E sty m ato r (3.1) je st zgodnym oraz asym ptotycznie nieobciążonym esty m ato rem fu n k cji w idm a m o c y .8 Jego w y ko rzy stan ie jest poprzedzo ne doborem w ag Xk. N ależy zauw ażyć, że ze w zględu na podział w p ro cesie esty m acji podstaw ow ego zakresu częstotliw ości na (m + 1) rozłą cznych przedziałów , n ajk o rzy stn iejsze byłoby zastosow anie w ag o postaci filtru , którego fu n k cja przenoszenia jest rów na:
g(u) II , II 1 dla c o ; — < co < co; + —— J 2 m J 2 ni 0 w pozostałych wypadkach. (3.3)
B rak m ożliwości znalezienia prostego f iltru o fu n k cji przenoszenia w yrażonej w zorem (3.3) zadecydow ał o w yk o rzy stan iu do estym acji w i dm a m ocy filtró w zw anych ,,ok nam i” . 9
Z zastosow aniem c h a ra k te ry s ty k częstotliw ościow ych „okien” wiąże się zjaw isko tzw . p rzecieku w idm a. P ojaw ia się w tak im p rzy p ad k u m o żliwość p rzen ik an ia części m ocy zw iązanej z częstotliw ością o dużym znaczeniu, ale różnej od tok do oceny w idm a dla częstotliw ości wk. W lite ra tu rz e z zak resu analizy sp e k tra ln e j sp o ty k a się różne propozycje „o k ien ” w id m o w y c h .10 W p rak ty c e w y k o rzy stu je się najczęściej n a stę p u jące wagi:
1) R. B lackm ana—J. T ukeya - 1 ~~ 2a -f 2 a c o s - ^ - (3.4)
ni 2) B. T. „ H a n n i n g ” >> Xk = I ( i + gos l i i i ) (3.5) 2 ni U k 3) B. T. „H an n in g ” 12 - 0,54 4 0,46 cos ■— (3.6) ni 4) E. P arzen a I Xk = 1 - ( — )2 v m ' (3.7)
8 D ow od y ty c h w ła sn o ś c i zaw arte są m. in. w pracy T. W. A n d e r s o n a :
T h e S ta t is ti c a l A n a l y s i s of T i m e S eries, N ew Y ork 1971.
9 N azw a „okno w id m o w e ” w ią że się z tym , że filtr y te dają w g lą d jed y n ie w p e w ie n w y cin ek zbioru c zęsto tliw o ści.
10 Z agad n ien iem doboru w a g za jm o w a li się w sw o ich p racach m. in.: G. J e n kins, E. P arzeń, R. B la ck m a n i J. T ukey.
11 W aga ta z o sta ła u zy sk a n a po p o d sta w ien iu do w zoru (3.4) a = 0 ,2 5 . 12 W agę tę o trzym u je s ię w sta w ia ją c do w zoru (3.4) a = 0 ,2 3 .
N ależy podkreślić, że esty m ato ry widm owe uzyskane w w yn ik u za
stosow ania pow yższych wag ch arak tery zu ją się podobnym i w łasnościa
mi. Ciekaw ą system aty k ę c h a ra k te ry sty k 13 pozw alających porów nyw ać efektyw ność w ykorzystyw anych okien w idm ow ych m ożna znaleźć w p r a cy A. Sokołowskiego. 14
Szczególny w pływ na oceny w idm a mocy w yw iera dobór p u n k tu od cięcia m (liczba opóźnień czasowych w funkcji kow ariancji) oraz liczby obserw acji n. Dotychczasowe badania w ykazują, że dobre oszacowania fu nkcji sp ek traln ej otrzym yw ane są, gdy 100<n<C200. W łaśnie tak i w nio sek w y su n ięty został przez C. G rangera 15 i G. Jenkin sa 16. Ci sam i a u to rzy stw ierdzają, że przy w yborze liczby opóźnień czasowych pow inno brać się pod uw agę jedną z następ ujący ch zależności:
m <C n/3, m = n/5, m = n/6.
N ależy rów nież pam iętać, że w przy pad ku , gdy w szeregu czasowym w y stęp u ją określone w ahania cykliczne liczba m pow inna być w ielo krot nością częstotliw ości odpow iadającej tym w ahaniom . W ym aga się więc spełnienia następ ujący ch równości:
j = (2m)/a gdzie: a — okres, j — liczba całkow ita.
Na zakończenie rozw ażań dotyczących estym acji w idm a m ocy p ro cesu stochastycznego należy poruszyć problem rozkładu esty m ato ra w próbie. G. Jen k in s stw ierdza w p racy 17, że p rzy założeniu norm alności
/ \
rozkładu zm iennej X(t) każda składow a esty m ato ra f * (co) m a rozkład w próbie określony w n astęp u jący sposób:
, i f S ł = X ? , < 3 - 8 >
f*(<Oj)
gdzie: s — liczba stopni swobody, Xs2 — sta ty sty k a chi k w a d ra t o s stop niach swobody.
13 W śród tych ch arak terystyk na szczególną u w agę zasługują: szerokość okna
w id m ow ego, w arian cja estym atora w idm a, p orów n yw aln a liczba stopni sw ob od y i p orów n yw aln a liczba n iezależn ych ocen.
14 A. S o k o ł o w s k i : M e t o d y badania stacjon arn ości j e d n o w y m i a r o w y c h c ią
g ó w lo s o w y c h , K raków 1977 (praca doktorska). 15 G r a n g e r , H a t a n a k a : op. cit.
16 G. M. J e n k i n s , D. W a t t s : S p i e k t r a l n y j analiz i je g o prilożen ija, M oskw a 1972.
168 A d am G óral
Założenie o norm alności rozkładu procesu {Xtj pow oduje, że często zaleca się w yk o rzy sty w an ie zm iennej log f * (w), k tó ra m a rozkład no r m alny, niezależny od częstotliw ości w i słabo zależny od norm alności p ro cesu w yjściow ego. W arto zwrócić uw agę, że zależność (3.8) dotyczy je d y nie e sty m a to ra w idm a m ocy uzyskanego m etodą standardow ą. J. B endat i A. P ie r s o l18 w y k azu ją bowiem , że w p rzy p a d k u zastosow ania np. m e to d y tra n sfo rm a c ji F o u rie ra rozkład e sty m a to ra fu n k cji w idm ow ej n a leży aproksym ow ać rozkładem c h i-k w a d ra t o 2 stopniach swobody.
Oceny fu n k cji sp e k tra ln e j m ożna w ykorzystać do obliczenia w a ria n cji em pirycznej procesu {X t}. W ty m celu stosuje się w zór o postaci:
л л
■ 1 f*(0) m -1 / \ f*(I!)
s = m t — r ~ + S
1 2 j = i+ — H 3 •
21 ’
R. B lackm an i J. T u k ey 19 w ykazali w jednej z prac, że sta ty sty k a
n s2/S2 m a rozkład chi k w a d ra t o liczbie stopni sw obody określonej
w p rzy b liżen iu jako:
i * ( 0 ) m - i / \ i * ( I I ) [ — - + .Z f*(coj) + — ) - ] 2 2 j = i 2 к = --- :--- X( n/ m) . (3.10) A . A [ f * ( 0 ) ] 2 m - i / \ , f f :!:( I I ) ] 2 + 2 [ \ * ( c oj ) f 4 V -2 j= i ' 2
ZASTOSOWANIE OCEN WIDMA MOCY DO ANALIZY SZEREGÓW CZASOWYCH
Z aprezen tow an e w pierw szych częściach p rac y rozw ażania odnoszące się do podstaw analizy s p e k tra ln e j o p arte b y ły na założeniu dotyczącym stacjonarności badanego procesu stochastycznego. O kazuje się, że szaco w anie fu n k cji w idm a m ocy d aje dobre re z u lta ty zarów no w p rzy p ad k u procesów stacjo n arn y ch , jak i niestacjo n arn y ch . C. G ran g er i E. P a rze ń stw ie rd z ają w sw ych p racach, że p rzy w yznaczaniu w idm a m ocy nie jest konieczne badanie, czy d a n y szereg jest stacjo n arn y . Z daniem E. P arzen a, istn ieje n aw et m ożliw ość o kreślenia stacjonarności bądź n iestacjonarności procesu na p odstaw ie oszacow anego w idm a mocy.
Załóżm y, że dokonano estym acji fu n k cji sp e k tra ln e j m etodą s ta n dardow ą. Na podstaw ie w zoru (3.9) łatw o zauw ażyć, że analiza sp e k tra ln a
18 B e n d a t , P i e r s o l : op. cit.
19 Por. T. H. N a y l o r : M o d e l o w a n i e c y f r o w e s y s t e m ó w e k o n o m ic z n y c h ,
daje możliwość dekom pozycji całkow itej w arian cji badanego procesu na sum ę składników odpow iadających pew nem u okresow i i przedstaw ionych za pom ocą m iary am p litu dy . Widać więc, że s tra ta inform acji zw iązana ze specyfiką szacow ania w idm a mocy (z dużej liczby obserw acji (n) uzy-skuje się jedynie (m + 1 ) ocen esty m ato ra f * (oj)), jest ty lko pozorna. Po jaw ia się bowiem możliwość określenia, które z częstotliw ości coj (j = 0, 1, ... m) w decydującym stopniu w p ły w ają na poziom w arian cji p ro cesu. F u n k cja w idm ow a dostarcza rów nież cennych inform acji odnośnie do poszczególnych składników 20 danego szeregu czasowego. W term in o logii sp e k tra ln e j składniki te stanow ią realizacje w ah ań harm onicznych o różnych częstotliw ościach. T rend jest realizacją w ahań o częstotliw oś ciach z p rzedziału (0, n /2 m ), gdzie m jest p u n k tem odcięcia fu n k cji ko w ariancji. D rgania harm oniczne o okresie M/k (M jest p a rz y stą liczbą rów nych podokresów m ieszczących się w okresie rocznym , a k jest n u m erem h arm oniki ( k = l , 2, ..., M/2)) o kreślają składnik sezonow y danego procesu. S kładnik przypadkow y nie m a ograniczonego zakresu, a jego w kłady do w idm a m ogą być rozciągnięte w całym przedziale częstotli wości (0, r i) . Pow yższe rozw ażania w sk azu ją na korzyści w ynikające z bezpośredniego zastosow ania analizy w idm ow ej do badania ekonom icz nych procesów stochastycznych. O kazuje się, że oceny w idm a m ocy m ogą być rów nież w ykorzystyw ane do rozw iązyw ania jednego z problem ów tak so n o m iczn y ch 21, a m ianowicie do grupow ania obiektów jednocecho- w ych m etodą odległości w id m o w e j.22
Niech fi* (oo) oraz fk* (w) będą esty m atoram i fu n k cji w idm ow ej u zy skanym i z dw u różnych realizacji pew nego procesu Xt. Do w eryfikacji hipotezy:
H 0 : f k*(a>) = fi* (w)
w ykorzystać m ożna sta ty sty k ę zaproponow aną przez J. B endata i A. P ie r- sola 23, w yrażoną n astęp u jący m w zorem 24:
2 2 m
Dh = (I T + i r r
w n k n i j =o2
/ l o g . / \ ’^
I j,: (OJ j )
20 A u tor m a na m y śli trend, w ah an ia ok resow e i sk ład n ik lo so w y .
21 T aksonom ia jest dziedziną zajm ującą się w yod ręb n ian iem zbiorów jed n o
rodnych ze w zg lęd u na ok reślon e cechy.
22 M etoda ta została zastosow an a po raz p ierw szy przez A. S ok o ło w sk ieg o w
pracy: M etody badania stacjon arności jed n o w ym iarow y ch ciągów losow ych.
23 L. D z i e m b a ł a , K. Z a d o r a : Zastosow anie analizy w idm o w ej do b a
dania w ah ań cy k liczn y ch, „P rzegląd S ta ty sty c z n y ”, 1971, nr 19.
24 S ta ty sty k a Dkl n azw an a została przez A. S ok ołow sk iego o d leg ło ścią w id
170 A d am G óral
gdzie: (m + 1 ) — liczba p u n k tó w estym acji, n k, nj — liczba stopni swobody odpowiednio dla
/ \ / \
fk M 1 7 0 * 0 •
S ta ty sty k a (4.1) m a rozkład chi k w a d r a t25 o (m + 1 ) stopniach swobody. N ależy podkreślić, że jeśli obliczona w artość Dkł2 spełnia nierówność:
Djd < X * ( m + l ) a , (4 -2)
(gdzie: x 2 j est w artością odczytaną z tablic rozkładu chi k w a d ra t dla (m + 1) stopni sw obody oraz poziom u istotności a), to przy poziomie isto t ności a nie m a podstaw do odrzucenia hipotezy H G.
Załóżm y, że w y k o rz y stu je m y do rozw ażań p różnych estym atorów fu n k cji w idm ow ej. Dla każdej p a ry ty ch estym atorów w yznaczam y w a r tości Dkl2 (k, 1 = 1 , 2, ... p). O trzy m aną tą drogą m acierz odległości w idm o w ych D p rzek ształcam y na m acierz b in arn ą P, w k tó re j O oznacza, że dw a e sty m a to ry są rów now ażne, nato m iast 1, że isto tnie różnią się od siebie. W ykorzy stu jąc w kolejnym etapie postępow ania m etodę elim i nacji w e k to ró w 26, d o k o n u jem y takiego podziału analizow anego zbioru, a b y w każdej z w yodrębnionych gru p znalazły się tylko elem en ty p aram i do siebie podobne (w sensie k ry te riu m odległości). P rzedstaw ion a m etoda może być rów nież w y k o rzy stan a do w yodręb nian ia zbioru realizacji d a nego procesu stochastycznego. B adanie tego procesu sta je się w tak im p rzy p ad k u bard ziej w iarygodne (om ija się w ery fik ację hipotezy o tzw. ergodyczności).27
A naliza w idm ow a zasłu g uje na szczególną uw agę rów nież z innych względów. Stanow ić ona może m etodę analizy dan y ch generow anych w e k sp ery m en tach s y m u la c y jn y c h 28 w oparciu o m odele ekonomiczne. Dzięki fu n k cji w idm ow ej m ożna porów nyw ać sym ulow ane w yniki w p rzy p ad k u stosow ania dw óch lub w ielu a lte rn a ty w n y c h p o lity k gospo darczych. P orów n anie w idm a dan ych sym ulow anych i odpow iadających im danych rzeczyw istych pozw ala dokonać w e ry fik a c ji m odelu sy stem u ekonomicznego.
25 U za sa d n ien ie fak tu , że Dkl2 m a rozkład chi k w ad rat o (m + 1 ) stop n iach sw o b o d y m ożna zn aleźć w p racy: B e n d a t , P i e r s o l : op. cit.
26 D ok ład n e rozw ażan ia na ten tem at za w arte są w p racy S o k o ło w sk ieg o : M e
t o d y bad a n ia st a c jo n a r n o ś c i j e d n o w y m i a r o w y c h c ią g ó w lo s o w y c h .
27 P roces je st ergod yczn y, je ż e li r e z u lta ty jego badania na p od staw ie jednej rea liza cji m ożna u ogóln ić na c a ły p roces.
28 S y m u la cja jest tech n ik ą n u m eryczn ą, słu żącą do opisu przy p om ocy m a sz y n y cy fro w ej zach ow an ia złożon ego sy stem u w ciągu p ew n eg o czasu.
ZASTOSOWANIE ANALIZY WIDMOWEJ DO BADANIA KSZTAŁTOWANIA SIĘ CEN WOLNORYNKOWYCH OWSA W POLSCE W LATACH 1959—1973
Do badania procesu kształtującego ceny w olnorynkow e owsa w Polsce w latach 1959— 1973 w ykorzystano dane pochodzące z opracow ania GUS „ S taty sty k a cen”. Źródłem inform acji o cenach uzyskiw anych przez ro l ników w tran sak cjach w o ln o ry n k o w y ch 29 jest m iesięczna spraw ozdaw czość GUS. P rzeciętne ceny dla każdego z 17 w ojew ództw obliczono jako średnie arytm ety czn e w szystkich notow ań z tere n u danego w ojew ódz tw a. W badaniach dysponow ano 17 szeregam i czasowymi, z k tó ry ch każ dy zaw ierał 180 obserw acji. Ze w zględu na rozm iary ty ch szeregów w opracow aniu nie przytacza się zebranych danych.
P rzed przystąpieniem do analizy k ształtow ania się cen w olnorynko w ych w Polsce w latach 1959— 1973 postaw iono hipotezę, że w śród 17 w o jew ództw w y stę p u ją grupy, w któ ry ch dane zjaw isko jest generow ane przez ten sam proces stochastyczny. Do w ery fik acji takiej hipotezy m oż na w ykorzystać m. in. m etodę odległości w idm ow ej. W pierw szym etapie badania przystąpiono więc do szacowania widm mocy szeregów czaso wych, rep rezen tu jący ch przebieg procesu w poszczególnych w ojew ódz tw ach. E stym ację fu n k cji w idm ow ej przeprow adzono dla m = 2 4 , gdyż spodziewano się w ystąpienia w analizow anych szeregach głównie w ahań sezonowych. Do w zoru (3.1) zastosowano „okno” H anninga ze w zględu na jego m ałą szerokość (własność ta zapew nia niską k orelację m iędzy
/ \ / \
f* (coj) a f* (o)j j 2) oraz m ałe praw dopodobieństw o p rz e c ie k u ).30
R ezu ltaty szacow ania w idm a mocy w poszczególnych w ojew ództw ach zamieszczono w tabeli 1. A naliza ocen fu n k cji sp ek traln ej pozw ala ziden tyfikow ać cykle w ystępujące w badanych szeregach czasowych. P rz e prow adzone badania n asu w ają n astępujące wnioski:
1) b rak cyklu rocznego zauw aża się jedynie w w ojew ództw ach w daw nym obszarze: w arszaw skim , łódzkim, lubelskim , kieleckim i białostoc kim,
2) w przew ażającej części w ojew ództw w y stęp uje cykl półroczny oraz k w artaln y ,
3) potw ierdza się stw ierdzenie, że w przy p ad k u ekonom icznych sze regów czasow ych szczególny w kład do w arian cji wnoszą w ahania o d łuż szych okresach.
N ależy zwrócić uwagę, że w ojew ództw a, w których stw ierdzono b rak cyklu rocznego w badanych latach sąsiadow ały ze sobą.
28 T ran sak cje w o ln o ry n k o w e obejm ują obroty sąsied zk ie oraz sprzedaż to w a rów lu d n ości m iejsk iej.
30 W przypadku okna „H anninga” tzw . listk i boczne nie sta n o w ią n igd y w ię cej niż 2% w ierzch ołka głów n ego.
172 Adam Góral M T3 fi 0 fi " CC c K j* “ W) Eh .S fi W £03 -O ® -2 H CD H od 5 ^ 03 ^ TS w O) >> fi N -3 •3 Ć3-ł^> 0-1 ^
II ^
c N6 II
>■> s N ^ s-l a 03 t! s fi « S s Ctf .+Js s
1 s C a <D <v £ a O w . Jh t - h ( p «’ o H * R Z E 2 0 1 4 1 5 7 2 2 5 2 3 0 9 5 5 3 2 9 2 37 23 CO CM 10 LO CM 13 c- lO0 5 LO COCO <N CMCM CM K R A 2 5 0 0 2 4 1 8 7 9 0 4 6 4 5 4 8 3 27 86 63 37 27 24 39 49 29 10 H05 24 19 rH 17 IO 10 0 12 K A T 2 8 1 1 2 2 1 9 4 3 6 2 5 6 3 5 4 2 8 7 49 5 5 67 36 05 lOCMCO10 05IOrH rH LO LO CMCO co O Pi O 36 6 5 2 1 7 4 20 1 2 0 3 32 1 CO 0 5 47 52 73 70 51 41 44 53 58 59 58 50 00 53 50 45 46 50 LO Z IE 3 1 2 3 2 0 2 7 251 00 0 5 rH 32 5 1 8 4 2 4 2 0 CMlO tO 12 19 CO lOIO IO COco co CM CM S Z C 2 9 9 4 2 2 0 2 4 4 5 3 5 2 51 1 3 0 5 5 8 9 39 4 4 29 10 19 30 22 CM co LO 10 co K O S 2 9 8 8 1 9 6 9 30 7 2 2 9 3 5 6 2 2 5 43 23 28 17 L - 19 29 00rH CO CO CM05 COLO co aj £ N T3 -o £ <D ' 0 £ O L S G D A i 20 35 1 9 9 3 18 80 1 4 5 9 70 4 3 3 7 00 <M rH 0 00 985 3 2 7 61 2 2 1 9 34 4 60 39 1 41 33 5 4 6 24 6 2 8 21 8 1 0 21 4 2 1 19 5 3 2 C5 O co c o LO CM 95 1 2 lO CM 00 77 9 58 6 39 9 28 9 17 7 co 0 5 co 10 CM IO 03 £ N 03 £ W R O 2 4 4 6 17 4 1 3 1 9 2 3 2 CO C"-co 24 7 63 36 26 C - 05 20 LO 00 03 00D—c— 00 CO co co B I A 1 5 7 2 2 6 3 8 1 6 3 5 6 6 2 3 2 7 3 9 8 CO co 0 98 O00 CO 94 1 3 2 1 2 4 0 00 69 68 63 57 57 62 71 CM00 00 72 L U B 3 6 6 0 4 2 1 6 1 6 4 9 7 3 4 4 5 8 4 5 9 3 5 6 3 0 0 3 2 8 2 4 2 137 12 4 156 CO0 0 rH 95 00 co 09 rHLO rH LO COco H tr— LO K I E 2 4 8 8 2 8 6 9 1 2 0 0 9 6 4 4 1 0 2 6 2 0 5 O rH 86 t> 47 2 2 2 2 28 22 13 23 00 0 5 0 5 CM 10 0 5 tr- co Ł Ó D 00 T f CO 30 6 2 9 4 7 4 4 0 211 15 5 lO 0 5 2 2 9 2 3 9 179 0 5 O rH 9 7 117 13 6 CM rH OCO 73 co CO 85 000 85 06 CM Lr-CM rH P O Z 3 3 3 7 2 6 3 2 5 5 3 2 5 9 CO 0 co 20 0 rH [> 74 COCO 45 rH 15 20 14 tr— 12 15 0 5 CD D— CO co 00 B Y D 3 1 9 7 2 2 0 2 3 4 9 2 5 0 t -co 23 2 09 CO coL - 40 0 5 CM 16 H £- 00 0 5 LO co CO 0 5 tr— CM W A R 2 2 8 4 4 1 0 6 2 0 7 9 6 7 7 33 5 2 7 4 O CM rH 11 3 co CM 70 0 5 2 5 26 O rH O 14 17 CMCO 0 5 CD 0 5 t-~ 000 5 O k r e s 1 OCO 2 4 .0 O CO 1 2 .0 9.6 O c d 6.9 6.0 5. 3 00 4 .4 4 .0 CO* 3.4 3.2 3.0 2.8 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2 CM* 2.0 Ź r ó d ł o : O b lic z e n ia w ła sn e (w g programu A S 20).T ab . 2. Macie rz o d le g ło śc i w id m o w y c h p rz y m = 2 4 T h e m atr ix of sp ec tr u m d is ta n c e s at m = 2 4 H co O s O 05 t> LO* LO CO LO rH o coco 05 05 00 co* rH O CO* O co CO co CO O 8 1 'O T I 1 .5 7 1 4 0 .2 4 0. 41 (M o 4 6 .4 7 9 2 .4 3 8 .7 3 O 00 o co co I> 00 rH O 1 9 .9 8 1 7 .6 9 CO csj co* co 9 .8 7 <N# co co N co 05 05 o rH o 3 8 .9 1 ero 6 0 .8 7 05 co 9 .8 7 N o 1 1 2 .1 7 05 O 6 1 4 .1 1 9 6 0 .1 7 6 4 1 .9 6 O co c o co o 36 1 .3 2 4 0 3 .2 3 7 5 6 .4 0 CO t o cd co co O 8 8 8 .9 2 2 .6 4 3 1 .3 6 O o co05 c ó lO 21 .1 3 2 8 .0 7 4 8 .9 3 co 00 co t™ O 8 7 .2 4 1 4 1 .1 0 9 9 .0 0 2 0 7 .6 0 1 0 7 .6 2 4 5 8 .1 2 1 6 8 .0 7 1 5 5 .7 9 2 9 .7 0 2 5 5 .7 7 co O 28.2 6 6 0 .7 8 1 2 ,9 3 8 5 .5 6 7 9 .4 2 2 6 .1 0 1 3 0 .5 6 1 1 8 .6 9 9 9 .0 9 1 7 .9 7 3 2 .4 5 lO o 1.9 2 Oco £> 1.3 9 1 2 0 .0 4 7 .9 9 3 .1 2 7 .5 8 8 .4 3 9 .3 6 3 .3 7 1 2 .1 7 1 3 .9 9 O 9.6 3 4 0 .9 2 2 6 .0 7 6 4 .0 1 5 6 .0 7 5 1 .3 6 6 7 .5 3 7 .7 8 9 9 .6 3 9 3 .5 0 4 5 .8 3 0 .4 4 1 9 .5 2 co O 4 5 .5 2 9 4 .0 2 1 8 7 .1 3 1 8 4 .0 2 5 0 .2 9 9 .2 4 3 8 .0 5 5 3 .7 8 7 .2 5 9 7 .0 5 1 5 9 .4 7 O co 2 0 .0 8 9 6 .0 7 csj O 4.95 1 6 .9 4 1 0 .9 0 6 1 .0 5 5 .0 5 8 .6 6 3 .9 3 2 6 .5 3 1. 97 oO o CO o 0 .0 3 o o 1.3 5 1 7 .7 9 rH O 17.6 7 2 2 .4 6 2 6 .5 1 1 .1 4 O c~ co 21 .8 8 0 .7 3 2 .0 8 2 .9 0 O co co 1 1 .4 5 1 5 .2 9 3 4 .9 4 6 .7 3 1 .2 6 LV Z W o je w ó d z tw o W A R B Y D P O Z Q O K IE L U B B IA W R O ( ■ f i l w! 0 . G D A K O S S Z C Z IE O P O K A T K R A R Z E Ź r ó d ł o : O b li cz en ia w ła sn e (w g programu A S 3 3 ).
174 A dam G óral
K olejnym etapem badania było w yodrębnienie w zbiorze 17 w oje w ództw gru p ch a ra k te ry z u ją c y ch się jednorodnością (w sensie k ry te riu m odległości). W ykorzystano w ty m celu m etodę odległości w idm ow ej dla m = 2 4 . W yniki obliczonych tą drogą c h a ra k te ry sty k Dki2 (k, 1—1, 2, ... 17) określonych w zorem (4.1) zaw arto w tabeli 2.
Poniew aż o trzym an a w ten sposób m acierz c h a ra k te ry z u je się sym e- trycznością, w ypełniono jedynie części pod główrną p rzek ątną. Dkl2 ma rozkład chi k w a d ra t z (m + 1 ) stopniam i swobody. Z t a b e l i 31 rozkładu x2 przy danym poziom ie istotności a = 0,01 32 i dla 25 stopni swobody od czytano w artość k ry ty czn ą ya2 w ynoszącą 44,31. N astępnie utw orzono m acierz b in arn ą o 17 w ierszach i 17 kolum nach (p = 1 7 ), p rzy jm u ją c w tej m acierzy 0, gdy Dkl2 <C ya2, n atom iast 1 p rzy spełnieniu nierów ności p rze ciw nej. W celu w yodrębnienia jednorodnych podzbiorów, w całym zbio rze w ojew ództw zastosow ano do otrzy m an ej m acierzy m etodę elim inacji w ektorów (m etoda ta polega n a kolejnej elim inacji p u n któ w em pirycz nych niepodobnych do najw iększej liczby, pu nk tów pozostałych na da nym etapie rozw ażań). W yniki d elim itacji zaw iera tab ela 3.
Tab. 3. G rupy w o je w ó d z tw w y o d ręb n io n y ch m etod ą od ległości w id m ow ej przy m .= 24
G roups o f voiv o d esh ip s selected by th e spectru m d istan ce m ethod at m = 24
N um er grupy I II III IV V
N um er
w o jew ó d ztw a 1, 2, 5, 8, 10, 12, 17 15, 6, 7, 4 11, 16 9, 14 3, 13
Ź r ó d ł o : O b liczenia w ła sn e .
Znalezienie in te rp re ta c ji dokonanego podziału w ym agałoby g ru n to w nej analizy m ery to ry czn ej przebiegu om aw ianego zjaw iska w poszczegól nych w ojew ództw ach. W ykracza to jednakże poza ram y niniejszych roz ważań.
Na p rzykładzie procesu generującego ceny w olnorynkow e owsa w Pol sce w latach 1959— 1973 zaprezentow ano niektóre m ożliwości w ykorzy stania analizy sp e k tra ln e j do b adań ekonom icznych. U zyskane rez u lta ty p otw ierdzają, że w p rzy p a d k u gdy badacz dysponuje długim i szeregam i czasowymi, analiza w idm ow a d aje in teresu jące rez u lta ty . Na zakończenie w arto podkreślić, że tem atem ciekawego opracow ania z om aw ianego po wyżej zakresu może być zastosow anie fu n k cji w idm ow ej do badań sym u lacyjnych.
31 R. Z i e l i ń s k i : T a b lic e s t a t y s t y c z n e , W arszaw a 1972.
32 P r zy jęcie tak iego poziom u isto tn o ści ogranicza m o żliw o ść zn a lezien ia się w w yod ręb n ion ej grupie elem en tu zn aczn ie różniącego się od p ozostałych (w se n sie k ryteriu m od ległości).
Р Е З Ю М Е В статье представлены некоторы е методы анализа врем енны х рядов при использовании спектральной ф ункции. Автор обращ ает внимание на эту соб ственность спектрального анализа, которая даёт возм ож ность определить у ч а стие отдельны х частот в дисперсии исследоваемого процесса. Много места посвящ ено так ж е м етоду спектрального расстояния, который позволяет р а зр е шить одн у из таксоном ических проблем. П редставленны й в работе эмпирический пример подтвердил пригодность упом януты х методов анализа врем енны х рядов. S U M M A R Y
In th e article th e m ethods of tim e series an alysis w h ich are con n ected w ith th e sp ectral fu n ction are p resented. The author pays a sp ecial a tten tio n to this property of sp ectral an alysis w h ich lets d efin e participation of in d iv id u a l fr e q u encies in varian ce of th e process. This a rticle contains descrip tion of so -ca lled ’’sp ectral distance m eth od ”, w h ich is based on th e com parative stu d ies of spectra derived from tw o d ifferen t realization s of th e stoch astic process. The m ethods described in th e a rticle w ere v erified as ex em p lified by th e process w h ich g en era t ed oat m arket prices in P oland in th e years 1959— 1973.
